人教版数学九年级上册第23章 23.2.3关于原点对称的点的坐标 同步练习
一、单选题
1．（坐标与图形变化-旋转++）点A（﹣1，2）绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得到的点A'的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1）
C．（1，﹣2） D．（2，1）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点A（﹣1，2）绕原点逆时针方向旋转90°后得到的点A'的坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【分析】作出图形，根据旋转的性质，旋转后的点的横坐标与纵坐标的长度分别等于旋转前的点的纵坐标与横坐标的长度，然后写出点的坐标即可．
2．（坐标与图形变化-旋转++）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2 ） B．（2，﹣2 ）
C．（2 ，2） D．（2 ，2）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：在直角△OAB中，∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∠AOA'=120°，
则∠BOA'=∠AOA'﹣∠AOB=120°﹣60°=60°，
作A'C⊥OB于点C．
在直角△OA'C中，OA'=OA=4，
则A'C=OA' sin∠BOA'=4sin60°=4× =2 ，OC=OA' cos∠BOA'=4cos60°=4× =2，
则A'的坐标是（2，﹣2 ）．
故选B．
【分析】在直角△OAB中利用直角三角形的性质求得∠AOB的度数，作A'C⊥OB于点C，在直角△OA'C中利用三角函数求得A'C和OC的长，则C'的坐标即可求得．
3．（初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标练习题 (1)）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，5），将点A向右平移2个单位、再向下平移3个单位得到点A1；再将线段OA1绕原点O顺时针旋转90°得到OA2．则A2的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（3，﹣1）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，点A向右平移两个单位再向下平移3个单位得A1（1，2），再将线段OA1绕原点O顺时针旋转90°得到OA2，A2坐标（2，﹣1）．
故选C．
【分析】根据平移、中心旋转的定义画出图形，即可解决问题．
4．（坐标与图形变化-旋转++）在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣3，﹣1）
C．（3，1） D．（﹣2，﹣3）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点A1的坐标为（2，3），
故选A．
【分析】根据旋转的性质作出图形即可得到答案．
5．（坐标与图形变化-旋转++）如图，直线y= x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB以x轴为对称轴翻折得到△AOB′，再将△AOB′绕点A顺时针旋转90°，得到△AO′B″，则点B″的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（4，4） C．（7，3） D．（7，4）
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：令x=0得y=﹣4，则OB=4，令y=0得，x=3，则OA=3，
由旋转的性质可知：O′A=3，O′B″=4．
则点B″（7，3）．
故选C
【分析】令x=0，求得点B的坐标，令y=0，求得点A的坐标，由旋转的性质可知：AO′=AO，O′B″=OB，从而可求得点B′的坐标．
6．（2017·苏州模拟）在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0， ）
C．（0， ） D．（0，3）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BC边上的一点，
∴AM=AM′，
∴AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′=AM′+DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD=120°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AO=3，
∴DE= ×3= ，AE= ，
∴D（ ， ），
∴D′（﹣ ， ），
设直线AD′的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AD′的解析式为y=﹣ x+ ，
当x=0时，y= ，
∴M（0， ），
故选A．
【分析】根据旋转的性质得到AM=AM′，得出AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′=AM′+DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE= ×3= ，AE= ，求出D（ ， ），根据轴对称的性质得到D′（﹣ ， ），求出直线AD′的解析式为y=﹣ x+ ，于是得到结论．
7．（2017·泸州）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a=4，b=﹣1，
a+b=3，
故选：C．
【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
8．（2017·市北区模拟）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣5，﹣4）
C．（﹣3，1） D．（﹣1，﹣3）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点N的对应点N1的坐标为（﹣3，1）．
【分析】根据网格结构作出图形，然后根据平面直角坐标系写出点N1的坐标即可．
9．（2017·博山模拟）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1）
C．（ ，0） D．（0，﹣ ）
【答案】B
【知识点】菱形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得
45°×60=2700°，
2700°÷360=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
10．（2017·乐清模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1， ），将△AOB绕点O逆时针旋转30°，此时点A对应点A′的坐标是（ ）
A．（0， ） B．（2，0） C．（0，2） D．（ ，1）
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A坐标为（1， ），
∴OA= =2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵△AOB绕点O逆时针旋转30°，
∴旋转后点A对应点A′在y轴正半轴，
∴点A′的坐标为（0，2）．
故选C．
【分析】根据点A的坐标求出OA的长度，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，再判断出点A′在y轴正半轴上，然后写出点A′坐标的即可．
11．（2017·岳阳）已知点A在函数y1=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A（a，﹣ ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（-a， ），在直线y2=kx+1+k上，
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0或ka﹣1=0，
则a=1或ka﹣1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点B（-a， ）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．
12．（2017·宁夏）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，﹣2） D．（3，2）
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
二、填空题
13．（2017·东莞模拟）已知点P坐标为（1，1），将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 ．
【答案】（0， ）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，连结OP，
∵点P坐标为（1，1），
∴OP与y轴正方向的夹角为45°，
∴点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，点P1在y轴上，OP1=OP= = ．
∴点P1的坐标为（0， ）．
故答案为（0， ）．
【分析】利用点P的坐标特征可判断OP与y轴正方向的夹角为45°，于是可判断点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1在y轴上，根据OP1=OP可得点P1的纵坐标．
14．（2017·苍溪模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则线段C′E的长度为 ．
【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵OC=OC′，CC′⊥y轴，A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），
∴点C到y轴的距离：7﹣6=1．
∴O′C=O′C′=1，O点到CC′的距离是3，
∴OC=OC′= ，S△OCC′= ×2×3=3．
如图，过点C作CD⊥OC′于点D，则 OC′ CD=3，
∴CD= ，sin∠COC′= = ，tan∠COC′= ．
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，
∴∠COC′=∠AOE，
∴tan∠AOE=tan∠COC′= ．
如图，过E作x轴的垂线，交x轴于点F，则EF=OO'=3．
∵tan∠AOE= ，
∴OF= =4，
∵OF=O′E=4，
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．
故答案为：5．
【分析】过点C作CD⊥OC′于点D．利用旋转的性质和面积法求得CD的长，然后通过解直角三角形推知：tan∠COC′= ．结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE，自点E向x轴引垂线，交x轴于点F，则EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′= = ，进而求得OF的长度，则C′E=O′E+O′C=4+1=5．
15．（2017·海陵模拟）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1， ）．若反比例函数y= （x＞0）的图象经过A点，则k= ．
【答案】8
【知识点】反比例函数的实际应用；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
∵BA⊥OB于点B，
∴∠ABD=90°．
∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′′=60°，
∴∠B′BD=90°﹣60°=30°．
∵点B′的坐标为（1， ），
∴OD=1，B′D= ，
∴BB′=2B′D=2 ，BD= =3，
∴OB=1+3=4，AB=BB′=2 ，
∴A（4，2 ），
∴k=4×2 =8 ．
故答案为：8 ．
【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论．
16．（2017·宿迁）如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y= （k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：设A（m，n），
则OB=m，OC=n，
∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，
∴O′C′=n，B′O′=m，
∴O′（m+n，n﹣m），
∵A，O′在此反比例函数图象上，
∴（m+n）（n﹣m）=mn，
∴m2+mn﹣n2=0，
∴m= n，
∴ = ，（负值舍去），
∴ 的值是 ，
故答案为： ．
【分析】设A（m，n），则OB=m，OC=n，根据旋转的性质得到O′C′=n，B′O′=m，于是得到O′（m+n，n﹣m），于是得到方程（m+n）（n﹣m）=mn，求得 = ，（负值舍去），即可得到结论．
17．（2017·盐城）如图，曲线l是由函数y= 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，
由 ，解得 或 ，
∴M（1.6），N（3，2），
∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN= 4 6﹣ 4 2=8，
故答案为8
【分析】由题意A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可．
18．（2017·扬州）如图，已知点A是反比例函数y=﹣ 的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为 ．
【答案】y=
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y=﹣ 的图象上的一个动点，
设A（m，n），
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，
∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中 ，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，
∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为y= ，
故答案为：y= ．
【分析】设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC=n，OC=﹣m，根据全等三角形的性质得到AC=OD=n，CO=BD=﹣m，于是得到结论．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，1），如果将线段OA绕点O旋转135°，得线段OB，求点B的坐标？
【答案】解：∵A（1，1），
由勾股定理得：OA==，
分两种情况：
①线段OA绕点O按逆时针方向旋转135°，则点B在x轴负半轴上，
∴B（﹣，0）；
②线段OA绕点O按顺时针方向旋转135°，则点B在y轴负半轴上，
∴B（0，﹣）；
综上所述：点B的坐标为（﹣，0）或（0，﹣）．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】由A的坐标和勾股定理求出OA，利用旋转性质求出点A旋转后的对应点的坐标即可；注意分两种情况讨论．
20．如图：三角形DEF是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并观察它们的关系，如果三角形ABC中任一点M的坐标（x，y），那么它的对应点N的坐标是什么？
【答案】解：由图中平移规律可知，各点的坐标分别为A（4，3），D（﹣4，﹣3）；B（3，1），E（﹣3，﹣1）；C（1，2），F（﹣1，﹣2）；由上面的规律可知，当M的坐标（x，y）时，那么它的对应点N的坐标是（﹣x，﹣y）．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】观察图形可知：两个图形一定关于原点成中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标一定互为相反数即可求解．
21．（2016九上·兖州期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【答案】解：①如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）
②因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）
③如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】①利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；②因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；③利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
22．（2016九上·封开期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
①写出A、B、C的坐标．
②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1．
【答案】解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；
②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示：
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】①根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；②首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可．
1 / 1人教版数学九年级上册第23章 23.2.3关于原点对称的点的坐标 同步练习
一、单选题
1．（坐标与图形变化-旋转++）点A（﹣1，2）绕坐标原点O逆时针方向旋转90°得到的点A'的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1）
C．（1，﹣2） D．（2，1）
2．（坐标与图形变化-旋转++）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2 ） B．（2，﹣2 ）
C．（2 ，2） D．（2 ，2）
3．（初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标练习题 (1)）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，5），将点A向右平移2个单位、再向下平移3个单位得到点A1；再将线段OA1绕原点O顺时针旋转90°得到OA2．则A2的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（3，﹣1）
4．（坐标与图形变化-旋转++）在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣3，﹣1）
C．（3，1） D．（﹣2，﹣3）
5．（坐标与图形变化-旋转++）如图，直线y= x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB以x轴为对称轴翻折得到△AOB′，再将△AOB′绕点A顺时针旋转90°，得到△AO′B″，则点B″的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（4，4） C．（7，3） D．（7，4）
6．（2017·苏州模拟）在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0， ）
C．（0， ） D．（0，3）
7．（2017·泸州）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
8．（2017·市北区模拟）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣5，﹣4）
C．（﹣3，1） D．（﹣1，﹣3）
9．（2017·博山模拟）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1）
C．（ ，0） D．（0，﹣ ）
10．（2017·乐清模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1， ），将△AOB绕点O逆时针旋转30°，此时点A对应点A′的坐标是（ ）
A．（0， ） B．（2，0） C．（0，2） D．（ ，1）
11．（2017·岳阳）已知点A在函数y1=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
12．（2017·宁夏）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，﹣2） D．（3，2）
二、填空题
13．（2017·东莞模拟）已知点P坐标为（1，1），将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 ．
14．（2017·苍溪模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），将平行四边形OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则线段C′E的长度为 ．
15．（2017·海陵模拟）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1， ）．若反比例函数y= （x＞0）的图象经过A点，则k= ．
16．（2017·宿迁）如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y= （k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是 ．
17．（2017·盐城）如图，曲线l是由函数y= 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．
18．（2017·扬州）如图，已知点A是反比例函数y=﹣ 的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为 ．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，1），如果将线段OA绕点O旋转135°，得线段OB，求点B的坐标？
20．如图：三角形DEF是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并观察它们的关系，如果三角形ABC中任一点M的坐标（x，y），那么它的对应点N的坐标是什么？
21．（2016九上·兖州期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
22．（2016九上·封开期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
①写出A、B、C的坐标．
②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点A（﹣1，2）绕原点逆时针方向旋转90°后得到的点A'的坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【分析】作出图形，根据旋转的性质，旋转后的点的横坐标与纵坐标的长度分别等于旋转前的点的纵坐标与横坐标的长度，然后写出点的坐标即可．
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：在直角△OAB中，∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∠AOA'=120°，
则∠BOA'=∠AOA'﹣∠AOB=120°﹣60°=60°，
作A'C⊥OB于点C．
在直角△OA'C中，OA'=OA=4，
则A'C=OA' sin∠BOA'=4sin60°=4× =2 ，OC=OA' cos∠BOA'=4cos60°=4× =2，
则A'的坐标是（2，﹣2 ）．
故选B．
【分析】在直角△OAB中利用直角三角形的性质求得∠AOB的度数，作A'C⊥OB于点C，在直角△OA'C中利用三角函数求得A'C和OC的长，则C'的坐标即可求得．
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，点A向右平移两个单位再向下平移3个单位得A1（1，2），再将线段OA1绕原点O顺时针旋转90°得到OA2，A2坐标（2，﹣1）．
故选C．
【分析】根据平移、中心旋转的定义画出图形，即可解决问题．
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点A1的坐标为（2，3），
故选A．
【分析】根据旋转的性质作出图形即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：令x=0得y=﹣4，则OB=4，令y=0得，x=3，则OA=3，
由旋转的性质可知：O′A=3，O′B″=4．
则点B″（7，3）．
故选C
【分析】令x=0，求得点B的坐标，令y=0，求得点A的坐标，由旋转的性质可知：AO′=AO，O′B″=OB，从而可求得点B′的坐标．
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BC边上的一点，
∴AM=AM′，
∴AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′=AM′+DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD=120°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AO=3，
∴DE= ×3= ，AE= ，
∴D（ ， ），
∴D′（﹣ ， ），
设直线AD′的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AD′的解析式为y=﹣ x+ ，
当x=0时，y= ，
∴M（0， ），
故选A．
【分析】根据旋转的性质得到AM=AM′，得出AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′=AM′+DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE= ×3= ，AE= ，求出D（ ， ），根据轴对称的性质得到D′（﹣ ， ），求出直线AD′的解析式为y=﹣ x+ ，于是得到结论．
7．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a=4，b=﹣1，
a+b=3，
故选：C．
【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，点N的对应点N1的坐标为（﹣3，1）．
【分析】根据网格结构作出图形，然后根据平面直角坐标系写出点N1的坐标即可．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得
45°×60=2700°，
2700°÷360=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A坐标为（1， ），
∴OA= =2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵△AOB绕点O逆时针旋转30°，
∴旋转后点A对应点A′在y轴正半轴，
∴点A′的坐标为（0，2）．
故选C．
【分析】根据点A的坐标求出OA的长度，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，再判断出点A′在y轴正半轴上，然后写出点A′坐标的即可．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A（a，﹣ ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（-a， ），在直线y2=kx+1+k上，
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0或ka﹣1=0，
则a=1或ka﹣1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点B（-a， ）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．
12．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
13．【答案】（0， ）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，连结OP，
∵点P坐标为（1，1），
∴OP与y轴正方向的夹角为45°，
∴点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，点P1在y轴上，OP1=OP= = ．
∴点P1的坐标为（0， ）．
故答案为（0， ）．
【分析】利用点P的坐标特征可判断OP与y轴正方向的夹角为45°，于是可判断点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1在y轴上，根据OP1=OP可得点P1的纵坐标．
14．【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵OC=OC′，CC′⊥y轴，A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），
∴点C到y轴的距离：7﹣6=1．
∴O′C=O′C′=1，O点到CC′的距离是3，
∴OC=OC′= ，S△OCC′= ×2×3=3．
如图，过点C作CD⊥OC′于点D，则 OC′ CD=3，
∴CD= ，sin∠COC′= = ，tan∠COC′= ．
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，
∴∠COC′=∠AOE，
∴tan∠AOE=tan∠COC′= ．
如图，过E作x轴的垂线，交x轴于点F，则EF=OO'=3．
∵tan∠AOE= ，
∴OF= =4，
∵OF=O′E=4，
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．
故答案为：5．
【分析】过点C作CD⊥OC′于点D．利用旋转的性质和面积法求得CD的长，然后通过解直角三角形推知：tan∠COC′= ．结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE，自点E向x轴引垂线，交x轴于点F，则EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′= = ，进而求得OF的长度，则C′E=O′E+O′C=4+1=5．
15．【答案】8
【知识点】反比例函数的实际应用；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
∵BA⊥OB于点B，
∴∠ABD=90°．
∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′′=60°，
∴∠B′BD=90°﹣60°=30°．
∵点B′的坐标为（1， ），
∴OD=1，B′D= ，
∴BB′=2B′D=2 ，BD= =3，
∴OB=1+3=4，AB=BB′=2 ，
∴A（4，2 ），
∴k=4×2 =8 ．
故答案为：8 ．
【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：设A（m，n），
则OB=m，OC=n，
∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，
∴O′C′=n，B′O′=m，
∴O′（m+n，n﹣m），
∵A，O′在此反比例函数图象上，
∴（m+n）（n﹣m）=mn，
∴m2+mn﹣n2=0，
∴m= n，
∴ = ，（负值舍去），
∴ 的值是 ，
故答案为： ．
【分析】设A（m，n），则OB=m，OC=n，根据旋转的性质得到O′C′=n，B′O′=m，于是得到O′（m+n，n﹣m），于是得到方程（m+n）（n﹣m）=mn，求得 = ，（负值舍去），即可得到结论．
17．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，
由 ，解得 或 ，
∴M（1.6），N（3，2），
∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN= 4 6﹣ 4 2=8，
故答案为8
【分析】由题意A（﹣4 ，4 ），B（2 ，2 ），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可．
18．【答案】y=
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A是反比例函数y=﹣ 的图象上的一个动点，
设A（m，n），
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，
∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中 ，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，
∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为y= ，
故答案为：y= ．
【分析】设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC=n，OC=﹣m，根据全等三角形的性质得到AC=OD=n，CO=BD=﹣m，于是得到结论．
19．【答案】解：∵A（1，1），
由勾股定理得：OA==，
分两种情况：
①线段OA绕点O按逆时针方向旋转135°，则点B在x轴负半轴上，
∴B（﹣，0）；
②线段OA绕点O按顺时针方向旋转135°，则点B在y轴负半轴上，
∴B（0，﹣）；
综上所述：点B的坐标为（﹣，0）或（0，﹣）．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】由A的坐标和勾股定理求出OA，利用旋转性质求出点A旋转后的对应点的坐标即可；注意分两种情况讨论．
20．【答案】解：由图中平移规律可知，各点的坐标分别为A（4，3），D（﹣4，﹣3）；B（3，1），E（﹣3，﹣1）；C（1，2），F（﹣1，﹣2）；由上面的规律可知，当M的坐标（x，y）时，那么它的对应点N的坐标是（﹣x，﹣y）．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】观察图形可知：两个图形一定关于原点成中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标一定互为相反数即可求解．
21．【答案】解：①如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）
②因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）
③如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】①利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；②因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；③利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
22．【答案】解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；
②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示：
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】①根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；②首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可．
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