人教版数学九年级上册第22章 22.1.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 同步练习
一、单选题
1．（2017·宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ∵y=x2-2x+m2+2.
∴y=（x-1）2+m2+1.
∴顶点坐标（1，m2+1）.
∴顶点坐标在第一象限.
故答案为A.
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.
2．（2017·广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
3．（2017·哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ ，﹣3） B．（﹣ ，﹣3）
C．（ ，3） D．（﹣ ，3）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=﹣ （x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）．
故选B．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
4．（2017·绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2-8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2-4x+3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）.
由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，
则抛物线的函数表达式为y=x2，经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，
故选A.
【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2，就怎样平移到新的抛物线.
5．函数y=﹣21（x﹣2）2+5的顶点坐标为（ ）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（2，﹣5） D．（﹣2，-5）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：因为y=﹣21（x﹣2）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，5）；
故选A．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解．
6．（2017·随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
7．（2017·长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
8．（2017·玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a=﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选D．
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
9．抛物线y=x2﹣2x+3 的对称轴为（ ）
A．直线x=﹣1 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=2
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
∴对称轴为x=1，
故选C．
【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案．
10．二次函数y=x2+2x﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣4）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣4）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），
故选D．
【分析】把二次函数化为顶点式可求得答案．
11．抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（ ）
A．（5，0） B．（3，5） C．（-3，5） D．（﹣5，0）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（5，0）．
故选A．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…
求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：
（1 ）过点（3，0）
（2 ）顶点是（1，﹣2）
（3 ）在x轴上截得的线段的长度是2
（4 ）c=3a
正确的个数（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确；（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；（3）抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；（4）图象过点（1，0），且对称轴是直线x=﹣ =2时，则b=﹣4a，即a﹣4a+c=0，即可得出c=3a，正确．
正确个数为3．
故选B．
【分析】分别利用二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标性质进而得出答案．
二、填空题
13．（2017·广州）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
【答案】1；5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
14．（2017·百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
【答案】y=﹣ x2+ x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，
故答案为y=﹣ x2+ x+3．
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
15．（2017·上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）
【答案】y=2x2﹣1
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，
故答案为：y=2x2﹣1．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
16．（2017·河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
【答案】；2或﹣1
【知识点】无理数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x≤0.5时，x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
故答案为： ；2或﹣1．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案．
17．（2017·新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
【答案】3；18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．
三、解答题
18．已知抛物线的顶点为（﹣1，2），且过 点（2，1），求该抛物线的函数解析式．
【答案】解：∵抛物线的顶点为（﹣1，2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，
∵经过点（2，1），
∴代入得：1=a（2+1）2+2，
解得：a=﹣ ，
即y=﹣ （x+1）2+2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，把点（1，4）代入得出1=a（1+2）2+2，求出a即可．
19．已知当x=2时，二次函数有最大值8，且图象过点（0，4），求此函数的关系式．
【答案】解：∵当x=2时，二次函数有最大值8，
∴顶点坐标为（2，8）；
设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+8；
将点（0，4）代入得，a=﹣1，
∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+8
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为x=2，函数的最小值为8，可知其顶点坐标为（2，8）；因此本题可用顶点式设所求的二次函数解析式，然后将点（0，4）的坐标代入抛物线中即可求得函数的解析式．
四、综合题
20．（2017·通辽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，
，
解得： ，
∴抛物线函数表达式为：y=﹣ x2+ x+2
（2）解：y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ；
∴对称轴是：直线x=1，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，
∴C与B关于x=1对称，
∴CD=BD，
连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，
∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，
∴AB= =2 ，
AC= =2 ，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；
答：△ACD的周长的最小值是2 +2
（3）解：存在，
分两种情况：
①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，
过P作PD⊥y轴于D，
设P（1，y），
则△CGP∽△AOC，
∴ ，
∴ ，
∴CG=1，
∴OG=2﹣1=1，
∴P（1，1）；
②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，
设P（1，y），
则△PEA∽△AOC，
∴ ，
∴ = ，
∴PE=3，
∴P（1，﹣3）；
综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．
21．（2017·烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；
（2）解：在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，
∴当m=﹣ 时，l有最大值，最大值为 ；
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣ x2﹣ x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣ ，当x=﹣4时，y= ，
∴M点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣ ，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
1 / 1人教版数学九年级上册第22章 22.1.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 同步练习
一、单选题
1．（2017·宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2017·广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017·哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ ，﹣3） B．（﹣ ，﹣3）
C．（ ，3） D．（﹣ ，3）
4．（2017·绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2-8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2-4x+3
5．函数y=﹣21（x﹣2）2+5的顶点坐标为（ ）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（2，﹣5） D．（﹣2，-5）
6．（2017·随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小
7．（2017·长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
8．（2017·玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交
9．抛物线y=x2﹣2x+3 的对称轴为（ ）
A．直线x=﹣1 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=2
10．二次函数y=x2+2x﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣4）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣4）
11．抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（ ）
A．（5，0） B．（3，5） C．（-3，5） D．（﹣5，0）
12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…
求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：
（1 ）过点（3，0）
（2 ）顶点是（1，﹣2）
（3 ）在x轴上截得的线段的长度是2
（4 ）c=3a
正确的个数（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．（2017·广州）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
14．（2017·百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
15．（2017·上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个）
16．（2017·河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
17．（2017·新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
三、解答题
18．已知抛物线的顶点为（﹣1，2），且过 点（2，1），求该抛物线的函数解析式．
19．已知当x=2时，二次函数有最大值8，且图象过点（0，4），求此函数的关系式．
四、综合题
20．（2017·通辽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（2017·烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ∵y=x2-2x+m2+2.
∴y=（x-1）2+m2+1.
∴顶点坐标（1，m2+1）.
∴顶点坐标在第一象限.
故答案为A.
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=﹣ （x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）．
故选B．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）.
由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，
则抛物线的函数表达式为y=x2，经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，
故选A.
【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2，就怎样平移到新的抛物线.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：因为y=﹣21（x﹣2）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，5）；
故选A．
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a=﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选D．
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
∴对称轴为x=1，
故选C．
【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案．
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），
故选D．
【分析】把二次函数化为顶点式可求得答案．
11．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（5，0）．
故选A．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确；（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；（3）抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；（4）图象过点（1，0），且对称轴是直线x=﹣ =2时，则b=﹣4a，即a﹣4a+c=0，即可得出c=3a，正确．
正确个数为3．
故选B．
【分析】分别利用二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标性质进而得出答案．
13．【答案】1；5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
14．【答案】y=﹣ x2+ x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ，
则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，
故答案为y=﹣ x2+ x+3．
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
15．【答案】y=2x2﹣1
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，
故答案为：y=2x2﹣1．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
16．【答案】；2或﹣1
【知识点】无理数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x≤0.5时，x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
故答案为： ；2或﹣1．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案．
17．【答案】3；18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．
18．【答案】解：∵抛物线的顶点为（﹣1，2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，
∵经过点（2，1），
∴代入得：1=a（2+1）2+2，
解得：a=﹣ ，
即y=﹣ （x+1）2+2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【分析】设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，把点（1，4）代入得出1=a（1+2）2+2，求出a即可．
19．【答案】解：∵当x=2时，二次函数有最大值8，
∴顶点坐标为（2，8）；
设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+8；
将点（0，4）代入得，a=﹣1，
∴二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+8
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴为x=2，函数的最小值为8，可知其顶点坐标为（2，8）；因此本题可用顶点式设所求的二次函数解析式，然后将点（0，4）的坐标代入抛物线中即可求得函数的解析式．
20．【答案】（1）解：把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，
，
解得： ，
∴抛物线函数表达式为：y=﹣ x2+ x+2
（2）解：y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ；
∴对称轴是：直线x=1，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，
∴C与B关于x=1对称，
∴CD=BD，
连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，
∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，
∴AB= =2 ，
AC= =2 ，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；
答：△ACD的周长的最小值是2 +2
（3）解：存在，
分两种情况：
①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，
过P作PD⊥y轴于D，
设P（1，y），
则△CGP∽△AOC，
∴ ，
∴ ，
∴CG=1，
∴OG=2﹣1=1，
∴P（1，1）；
②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，
设P（1，y），
则△PEA∽△AOC，
∴ ，
∴ = ，
∴PE=3，
∴P（1，﹣3）；
综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．
21．【答案】（1）解：∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；
（2）解：在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，
∴当m=﹣ 时，l有最大值，最大值为 ；
（3）解：①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣ x2﹣ x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣ ，当x=﹣4时，y= ，
∴M点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣ ，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
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