人教版数学九年级上册第22章 22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质 同步练习
一、单选题
1．（2017·宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2017·广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017·哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ ，﹣3） B．（﹣ ，﹣3）
C．（ ，3） D．（﹣ ，3）
4．（2017·随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小
5．（2017·长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
6．（2017·玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交
7．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2） D．（1，﹣2）
8．已知二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，5），则a﹣b+c的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．5
10．顶点为（5，1），形状与函数y= x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ）
A．y=﹣ +1 B．y=﹣ x2﹣5
C．y=﹣ （x﹣5）2﹣1 D．y= （x+5）2﹣1
11．二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
12．已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（ ）
A．h≥﹣2 B．h≤﹣2 C．h＞﹣2 D．h＜﹣2
13．（2017·绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2-8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2-4x+3
二、填空题
14．（2017·枣庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
15．（2017·奉贤模拟）如果抛物线y=ax2﹣3的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是 ．
16．（2017·新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
17．（2017·广州）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
18．（2017·河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
三、综合题
19．（2017·荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
20．（2017·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
21．（2017·齐齐哈尔）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）
22．（2017·天门）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ （m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．
23．（2017·安徽模拟）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c，若y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当﹣3≤x≤3时，y2的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ∵y=x2-2x+m2+2.
∴y=（x-1）2+m2+1.
∴顶点坐标（1，m2+1）.
∴顶点坐标在第一象限.
故答案为A.
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=﹣ （x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）．
故选B．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a=﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选D．
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
故选B．
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴图象的开口向下，故①正确；
②图象的对称轴为直线x=3，故其图象的对称轴为直线x=﹣3错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故其图象顶点坐标为（3，﹣1）错误；
④当x＜3时，y随x的增大而增大，故④正确；
综上所述，说法正确的有①④共2个．
故选B．
【分析】根据二次函数的性质得二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的开口向上，对称轴为直线x=3，抛物线的顶点坐标为（3，1）；当x＜3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x的增大而减小，然后依次对各命题进行判断．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，
∴P（3，5）对称点坐标为（﹣1，5），
∴当x=﹣1时，y=5，
即a﹣b+c=5，
故选D．
【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为P′（﹣1，5），故当x=﹣1时可求得y值为5，即可求得答案．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵形状与函数y= x2的图象相同且开口方向相反，
∴a=﹣ ，
∵抛物线顶点坐标为（5，1），
∴抛物线解析式为y=﹣ （x﹣5）2+1，
故选A．
【分析】根据抛物线的开口方向由a的正负决定可求得a的值，再利用抛物线的顶点式可求得其解析式．
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+5x+4=（x+ ）2﹣ ，
二次项系数是1＞0，则函数开口向上，故A错误；
函数的对称轴是x=﹣ ，顶点是（﹣ ，﹣ ），B错误；
则D正确，函数有最小值是﹣ ，选项C错误．
故选D．
【分析】首先利用配方法把二次函数化成顶点式的形式，然后利用二次函数的性质判断．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵a=﹣3，
∴二次函数开口向下，
∴二次函数对称轴的右边y随x的增大而减小，
∴h≤﹣2．
故选：B．
【分析】先确定抛物线的开口，再判定它的增减性，即可求出答案．
13．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）.
由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，
则抛物线的函数表达式为y=x2，经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，
故选A.
【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2，就怎样平移到新的抛物线.
14．【答案】15
【知识点】菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC= =5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，
∵﹣ ＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
15．【答案】a＞0
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵原点是抛物线y=ax2﹣3的最低点，
∴a＞0．
故答案为a＞0．
【分析】由于原点是抛物线y=ax2﹣3的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．
16．【答案】3；18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．
17．【答案】1；5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
18．【答案】；2或﹣1
【知识点】无理数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x≤0.5时，x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
故答案为： ；2或﹣1．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案．
19．【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1 x2=1﹣k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1 x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5﹣k，x1 x2=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜ ．
则k的最大整数值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
20．【答案】（1）解：由函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2
（2）解：当y=0时（x+a）(x-a-1)=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0）（a+1，0），
当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；
当y2=ax+b经过（a+1,0）时，a2+a+bb=0，即b=-a2-a
（3）解：当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
当m当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m综上所述：m【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案（3）根据二次函数的性质，可得答案．
21．【答案】（1）解：由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（3）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），
S△COE= ×1×3= ，S△ABP= ×4y=2y，
∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4× ，
∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，
∴P（2，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．
22．【答案】（1）解：对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0，
△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，
∵方程有实数根，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m=1．
（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
图象如图所示：
平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．
（3）解：由 消去y得到x2+6x+n+2=0，
由题意△≥0，
∴36﹣4n﹣8≥0，
∴n≤7，
∵n≤m，m=1，
∴1≤n≤7，
令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，
∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，
n=7时，y′的值最大，最大值为21，
∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；
23．【答案】（1）解：二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”是y=﹣2（x﹣2）2+1；
（2）解：∵y1=x2﹣3x+1，y2=ax2+bx+c，
∴y1﹣y2=（1﹣a）x2﹣（3+b）x+1﹣c=（1﹣a） [x﹣ ]2+ ．
又y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，y1=x2﹣3x+1=（x﹣ ）2﹣ ，
∴ ，解得 ，
∴y2=2x2﹣6x+ ，
∴y2=2（x﹣ ）2，
∴y2的对称轴为直线x= ，
∵2＞0，且﹣3≤x≤3，
∴当x=﹣3时，y2最大值=2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+ = ．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据“对称二次函数”的定义即可求解；（2）根据y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
1 / 1人教版数学九年级上册第22章 22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质 同步练习
一、单选题
1．（2017·宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ∵y=x2-2x+m2+2.
∴y=（x-1）2+m2+1.
∴顶点坐标（1，m2+1）.
∴顶点坐标在第一象限.
故答案为A.
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.
2．（2017·广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
3．（2017·哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ ，﹣3） B．（﹣ ，﹣3）
C．（ ，3） D．（﹣ ，3）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=﹣ （x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）．
故选B．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
4．（2017·随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
5．（2017·长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
6．（2017·玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a=﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选D．
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
7．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的顶点是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2） D．（1，﹣2）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
故选B．
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
8．已知二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴图象的开口向下，故①正确；
②图象的对称轴为直线x=3，故其图象的对称轴为直线x=﹣3错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故其图象顶点坐标为（3，﹣1）错误；
④当x＜3时，y随x的增大而增大，故④正确；
综上所述，说法正确的有①④共2个．
故选B．
【分析】根据二次函数的性质得二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的开口向上，对称轴为直线x=3，抛物线的顶点坐标为（3，1）；当x＜3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x的增大而减小，然后依次对各命题进行判断．
9．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，5），则a﹣b+c的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，
∴P（3，5）对称点坐标为（﹣1，5），
∴当x=﹣1时，y=5，
即a﹣b+c=5，
故选D．
【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为P′（﹣1，5），故当x=﹣1时可求得y值为5，即可求得答案．
10．顶点为（5，1），形状与函数y= x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ）
A．y=﹣ +1 B．y=﹣ x2﹣5
C．y=﹣ （x﹣5）2﹣1 D．y= （x+5）2﹣1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵形状与函数y= x2的图象相同且开口方向相反，
∴a=﹣ ，
∵抛物线顶点坐标为（5，1），
∴抛物线解析式为y=﹣ （x﹣5）2+1，
故选A．
【分析】根据抛物线的开口方向由a的正负决定可求得a的值，再利用抛物线的顶点式可求得其解析式．
11．二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+5x+4=（x+ ）2﹣ ，
二次项系数是1＞0，则函数开口向上，故A错误；
函数的对称轴是x=﹣ ，顶点是（﹣ ，﹣ ），B错误；
则D正确，函数有最小值是﹣ ，选项C错误．
故选D．
【分析】首先利用配方法把二次函数化成顶点式的形式，然后利用二次函数的性质判断．
12．已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（ ）
A．h≥﹣2 B．h≤﹣2 C．h＞﹣2 D．h＜﹣2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵a=﹣3，
∴二次函数开口向下，
∴二次函数对称轴的右边y随x的增大而减小，
∴h≤﹣2．
故选：B．
【分析】先确定抛物线的开口，再判定它的增减性，即可求出答案．
13．（2017·绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2-8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2-4x+3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）.
由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，
则抛物线的函数表达式为y=x2，经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，
故选A.
【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2，就怎样平移到新的抛物线.
二、填空题
14．（2017·枣庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
【答案】15
【知识点】菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC= =5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，
∵﹣ ＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD= ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
15．（2017·奉贤模拟）如果抛物线y=ax2﹣3的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＞0
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵原点是抛物线y=ax2﹣3的最低点，
∴a＞0．
故答案为a＞0．
【分析】由于原点是抛物线y=ax2﹣3的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．
16．（2017·新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
【答案】3；18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．
17．（2017·广州）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
【答案】1；5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
18．（2017·河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．
【答案】；2或﹣1
【知识点】无理数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x≤0.5时，x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
故答案为： ；2或﹣1．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案．
三、综合题
19．（2017·荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1 x2=1﹣k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1 x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5﹣k，x1 x2=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜ ．
则k的最大整数值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
20．（2017·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【答案】（1）解：由函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2
（2）解：当y=0时（x+a）(x-a-1)=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0）（a+1，0），
当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；
当y2=ax+b经过（a+1,0）时，a2+a+bb=0，即b=-a2-a
（3）解：当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
当m当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m综上所述：m【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案（3）根据二次函数的性质，可得答案．
21．（2017·齐齐哈尔）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）
【答案】（1）解：由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（3）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），
S△COE= ×1×3= ，S△ABP= ×4y=2y，
∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4× ，
∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，
∴P（2，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．
22．（2017·天门）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ （m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．
【答案】（1）解：对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0，
△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，
∵方程有实数根，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m=1．
（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
图象如图所示：
平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．
（3）解：由 消去y得到x2+6x+n+2=0，
由题意△≥0，
∴36﹣4n﹣8≥0，
∴n≤7，
∵n≤m，m=1，
∴1≤n≤7，
令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，
∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，
n=7时，y′的值最大，最大值为21，
∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；
23．（2017·安徽模拟）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c，若y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当﹣3≤x≤3时，y2的最大值．
【答案】（1）解：二次函数y=2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”是y=﹣2（x﹣2）2+1；
（2）解：∵y1=x2﹣3x+1，y2=ax2+bx+c，
∴y1﹣y2=（1﹣a）x2﹣（3+b）x+1﹣c=（1﹣a） [x﹣ ]2+ ．
又y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，y1=x2﹣3x+1=（x﹣ ）2﹣ ，
∴ ，解得 ，
∴y2=2x2﹣6x+ ，
∴y2=2（x﹣ ）2，
∴y2的对称轴为直线x= ，
∵2＞0，且﹣3≤x≤3，
∴当x=﹣3时，y2最大值=2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+ = ．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据“对称二次函数”的定义即可求解；（2）根据y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
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