人教版数学九年级上册第24章 24.3正多边形和圆 同步练习
一、单选题
1．（2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2017·石狮模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则 的长度为（ ）
A．π B．2π C．5π D．10π
3．（2017·滦县模拟）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为（ ）
A．6π B．18 C．18π D．20
4．（2017·微山模拟）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2018次后，所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（ ）
A．（ ）2016倍 B．（ ）2017倍
C．（ ）2018倍 D．（ ）2019倍
5．（2017·淳安模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分．例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规等分的是（ ）
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分．
A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
6．（2017·兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
7．（2017·日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
8．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．（2017·兰州模拟）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
10．（2017·承德模拟）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．3
11．（2017·龙华模拟）如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
二、填空题
13．（2017·台州）如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是
14．（2017·济宁）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
15．（2017·毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
16．（2017·宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
17．（2017·普陀模拟）正八边形的中心角等于 度．
18．（2017·海曙模拟）如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB=70°，则这个正多边形的内角和为 ．
19．（2017·上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．
20．（2017·绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
21．（2017·玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
22．（2017·衡阳模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为 ．
三、解答题
23．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
24．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
25．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
26．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
27．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= OA= ．
故选A．
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
2．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°÷5=72°，
∴ 的长度= =2π，
故选：B．
【分析】连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
3．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴ 的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积= ×12×3=18．
故选：B．
【分析】由正六边形的性质得出 的长=12，由扇形的面积= 弧长×半径，即可得出结果．
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°﹣120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD= AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC= AC，
∴∠2=30°，
∴AB= BC= CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（ ）2倍，
∴经过2018次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（ ）2018，
故选C．
【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2018次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
5．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：可以将圆①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分．
五等分的步骤：
（i）设该圆中心为O点，做圆O直径AB；
（ii）在此圆中再作一直径CD，使CD垂直于AB；
（iii）以半径OA的中点M为圆心，以MC为半径作弧交线段AB于点N；
（iv）连结NC．则线段NC即该圆的内接正五边形边长．
故选D．
【分析】利用圆规可以将圆①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分．
6．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD= =2 ，
圆内接正方形的边长为2 ，所以阴影部分的面积= [4π﹣（2 ）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的 ，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；
故选：A．
【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
9．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为 ，正多边形的一个外角等于 ，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
【分析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
10．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
两平行的边之间距离是： ，
则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×（ ﹣ ）=3 ．
故选：D．
【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．
11．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴ = = = ，
易知△EOA≌△AOB≌△BOC≌△COD，
∴△AOE、△AOB、△BOC、△COD的面积相等，
∴S阴=S扇形OAC
=
= π，
故选B
【分析】五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，推出 = = = ，由此可知S阴=S扇形OAC．
12．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故选C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
13．【答案】（ ）
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；计算器—三角函数；解直角三角形
【解析】【解答】解：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.
①当 A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，
∵正六边形的边长为1，
∴AC=，
∴a2+a2=AC2=.
∴a==.
②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.
设A′（t，）时，正方形边长最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（-，t）
设直线MN解析式为：y=kx+b，M（-1，0），N（-，-）（如下图）
∴.
∴.
∴直线MN的解析式为：y=（x+1），
将B′（-，t）代入得：t=-.
此时正方形边长为A′B′取最大.
∴a==3-.
故答案为：≤a≤3-.
【分析】分情况讨论.① 当A、C都在对边中点时，a最小.②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大.根据题意求出正方形对角线的长度，再根据勾股定理即可求出a.从而得出a的范围.
14．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2= A1B1= ，
∴A2B2= A1B2=B1B2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（ ）2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6× ×1× = ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积= × = ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（ ）3× = ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，由直角三角形的性质得出B1B2= A1B1= ，A2B2= A1B2=B1B2= ，由相似多边形的性质得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ，求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ，得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积.
15．【答案】96
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD= =60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE tan60°= × =4 cm，
∴S△OCD= CD OE= ×8×4 =16 cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16 =96 cm2．
【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
16．【答案】 ﹣1
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ 或﹣1﹣ ，
∴EG= ﹣1，
故答案为 ﹣1．
【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG EB，可得22=x（x+2），解方程即可．
17．【答案】45
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为45．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
18．【答案】1260°
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠AOB=40°，
∵AB为⊙O的内接正多边形的一边，
∴正多边形的边数= =9，
∴这个正多边形的内角和=（9﹣2）×180°=1260°，
故答案为：1260°．
【分析】由圆的性质易证△OAB是等腰三角形，所以∠AOB的度数可求，再根据正多边形的性质可求出其边数，最后利用多边形内角和定理计算即可．
19．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE=30°，
∴∠BCE=90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴ =cos30°= ，
∴λ6= ，
故答案为 ．
【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．
20．【答案】1： ：
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× =1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2× ，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2× ，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1： ： ，
故答案为：1： ： ．
【分析】根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．
21．【答案】8+8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ×2=2+2 ，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ）=8+8 ，
故答案为：8+8 ．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
22．【答案】π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°× =60°，
的长为 =π．
故答案为：π．
【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
23．【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
24．【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
25．【答案】解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE==4
∴BC=2BE=2×4=8．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
26．【答案】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
27．【答案】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB，
∴PQ=PA+AB+BQ=．
故S四边形PQMN=．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.3正多边形和圆 同步练习
一、单选题
1．（2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= OA= ．
故选A．
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
2．（2017·石狮模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则 的长度为（ ）
A．π B．2π C．5π D．10π
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°÷5=72°，
∴ 的长度= =2π，
故选：B．
【分析】连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
3．（2017·滦县模拟）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为（ ）
A．6π B．18 C．18π D．20
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴ 的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积= ×12×3=18．
故选：B．
【分析】由正六边形的性质得出 的长=12，由扇形的面积= 弧长×半径，即可得出结果．
4．（2017·微山模拟）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2018次后，所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（ ）
A．（ ）2016倍 B．（ ）2017倍
C．（ ）2018倍 D．（ ）2019倍
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°﹣120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD= AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC= AC，
∴∠2=30°，
∴AB= BC= CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（ ）2倍，
∴经过2018次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（ ）2018，
故选C．
【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2018次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
5．（2017·淳安模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分．例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F．从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规等分的是（ ）
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分．
A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：可以将圆①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分．
五等分的步骤：
（i）设该圆中心为O点，做圆O直径AB；
（ii）在此圆中再作一直径CD，使CD垂直于AB；
（iii）以半径OA的中点M为圆心，以MC为半径作弧交线段AB于点N；
（iv）连结NC．则线段NC即该圆的内接正五边形边长．
故选D．
【分析】利用圆规可以将圆①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分．
6．（2017·兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD= =2 ，
圆内接正方形的边长为2 ，所以阴影部分的面积= [4π﹣（2 ）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的 ，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
7．（2017·日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；
故选：A．
【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．
8．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
9．（2017·兰州模拟）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为 ，正多边形的一个外角等于 ，
所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，
而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，
所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
【分析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
10．（2017·承德模拟）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
两平行的边之间距离是： ，
则△BCE的边EC上的高是： ，
△ACE边EC上的高是： ，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC= ×4×（ ﹣ ）=3 ．
故选：D．
【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．
11．（2017·龙华模拟）如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴ = = = ，
易知△EOA≌△AOB≌△BOC≌△COD，
∴△AOE、△AOB、△BOC、△COD的面积相等，
∴S阴=S扇形OAC
=
= π，
故选B
【分析】五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，推出 = = = ，由此可知S阴=S扇形OAC．
12．（2017·河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故选C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
二、填空题
13．（2017·台州）如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是
【答案】（ ）
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；计算器—三角函数；解直角三角形
【解析】【解答】解：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.
①当 A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，
∵正六边形的边长为1，
∴AC=，
∴a2+a2=AC2=.
∴a==.
②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.
设A′（t，）时，正方形边长最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（-，t）
设直线MN解析式为：y=kx+b，M（-1，0），N（-，-）（如下图）
∴.
∴.
∴直线MN的解析式为：y=（x+1），
将B′（-，t）代入得：t=-.
此时正方形边长为A′B′取最大.
∴a==3-.
故答案为：≤a≤3-.
【分析】分情况讨论.① 当A、C都在对边中点时，a最小.②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大.根据题意求出正方形对角线的长度，再根据勾股定理即可求出a.从而得出a的范围.
14．（2017·济宁）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2= A1B1= ，
∴A2B2= A1B2=B1B2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（ ）2= ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6× ×1× = ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积= × = ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（ ）3× = ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，由直角三角形的性质得出B1B2= A1B1= ，A2B2= A1B2=B1B2= ，由相似多边形的性质得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ，求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ，得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积.
15．（2017·毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
【答案】96
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD= =60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE tan60°= × =4 cm，
∴S△OCD= CD OE= ×8×4 =16 cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16 =96 cm2．
【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
16．（2017·宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
【答案】 ﹣1
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ 或﹣1﹣ ，
∴EG= ﹣1，
故答案为 ﹣1．
【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG EB，可得22=x（x+2），解方程即可．
17．（2017·普陀模拟）正八边形的中心角等于 度．
【答案】45
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为45．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
18．（2017·海曙模拟）如图，AB为⊙O的内接正多边形的一边，已知∠OAB=70°，则这个正多边形的内角和为 ．
【答案】1260°
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠AOB=40°，
∵AB为⊙O的内接正多边形的一边，
∴正多边形的边数= =9，
∴这个正多边形的内角和=（9﹣2）×180°=1260°，
故答案为：1260°．
【分析】由圆的性质易证△OAB是等腰三角形，所以∠AOB的度数可求，再根据正多边形的性质可求出其边数，最后利用多边形内角和定理计算即可．
19．（2017·上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE=30°，
∴∠BCE=90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴ =cos30°= ，
∴λ6= ，
故答案为 ．
【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．
20．（2017·绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
【答案】1： ：
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× =1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2× ，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2× ，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1： ： ，
故答案为：1： ： ．
【分析】根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．
21．（2017·玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
【答案】8+8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ×2=2+2 ，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ）=8+8 ，
故答案为：8+8 ．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
22．（2017·衡阳模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为 ．
【答案】π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°× =60°，
的长为 =π．
故答案为：π．
【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
三、解答题
23．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
24．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
25．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P=∠BOC=45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE==4
∴BC=2BE=2×4=8．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．
26．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
【答案】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
27．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
【答案】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB，
∴PQ=PA+AB+BQ=．
故S四边形PQMN=．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．
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