人教版数学九年级上册第24章 24.1.4圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2017·哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）
A．43° B．35° C．34° D．44°
2．（2017·咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则 的长为（ ）
A．π B． C．2π D．3π
3．（2017·烟台）如图， ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则 的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
4．（2017·海南）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
5．（2017·青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
6．（2017·河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
7．（2017·毕节）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
8．（2017·张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
9．（2017·潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
10．（2017·山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
11．（2017·福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
12．（2017·黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2017·湖州）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆 ，交 于点 ．若 ，则 的度数是 度．
14．（2017·十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 ．
15．（2017·湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
16．（2017·东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE CO，其中正确结论的序号是 ．
17．（2017·恩施）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
18．（2017·株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM= ．
19．（2017·永康模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= ．
20．（2017·扬州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC= °．
21．（2017·靖远模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
三、解答题
22．（2017·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
23．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF DA．
24．（2017·苏州）如图，已知 内接于 ， 是直径，点 在 上， ，过点 作 ，垂足为 ，连接 交 边于点 ．
（1）求证： ∽ ；
（2）求证： ；
（3）连接 ，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ，求 的值．
25．（2017·南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．
如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠D=∠A=42°，
∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，
故选B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．
2．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= =2π；
故选：C．
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴ 的长= = ；
故选：B．
【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠B=25°．
∵AC∥OB，
∴∠B=∠CAB=25°，
∴∠BOC=2∠CAB=50°．
故选B．
【分析】先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，
故选B．
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数．
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ = ，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
【分析】根据垂径定理推出 = ，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴ ，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故选C．
【分析】根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得： ，则∠DBC=2∠EAD=80°．
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO于△CDO的面积=△AOD与△BOD 的面积，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2× =10π，
故选B．
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=72°，于是得到结论．．
11．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．
【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
12．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
故选D．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE= AD，∠ODE= ∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
13．【答案】140
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD（如图），
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BAD=20°，∠B=70°，
∴弧AD度数为140°.
故答案为140.
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角为直角，可知AD⊥BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分∠BAC，可得∠BAD=20°，然后求得∠B=70°，再根据同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，从而得出答案.
14．【答案】8
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5 ．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB= = =10．
∵AC=6，
∴BC= = =8．
故答案为：8．
【分析】连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
15．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB= ∠AOB=60°．
故答案为：60°
【分析】根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．
16．【答案】①②③
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵OC⊥AB，
∴∠BOC=∠AOC=90°．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵AC∥OD，
∴∠BOD=∠CAO=45°，
∴∠DOC=45°，
∴∠BOD=∠DOC，
∴OD平分∠COB．故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，
∴BD=CD．故②正确；
③∵∠AOC=90°，
∴∠CDA=45°，
∴∠DOC=∠CDA．
∵∠OCD=∠OCD，
∴△DOC∽△EDC，
∴ ，
∴CD2=CE CO．故③正确．
故答案为：①②③．
【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出 ，得出CD2=CE CO．
17．【答案】3 ﹣ π
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：设半圆的圆心为O，连接DO，过D作DG⊥AB于点G，过D作DN⊥CB于点N，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，
∵以AD为边作等边△ADE，
∴∠EAD=60°，
∴∠EAB=60°+30°=90°，
可得：AE∥BC，
则△ADE∽△CDF，
∴△CDF是等边三角形，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2 ，
∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，
则AO=BO=3，
故DG=DO sin60°= ，
则AD=3 ，DC=AC﹣AD= ，
故DN=DC sin60°= × = ，
则S阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF
= ×2 ×6﹣ ×3× ﹣ ﹣ × ×
=3 ﹣ π．
故答案为：3 ﹣ π．
【分析】根据题意结合等边三角形的性质分别得出AB，AC，AD，DC的长，进而利用S阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF求出答案．
18．【答案】80°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°
∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，
故答案为：80°．
【分析】连接EM，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，进而求出∠AMD=70°，于是得到结论．
19．【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C= ∠AOB=35°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=35°．
故答案为：35°．
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
20．【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CO，
∵∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
∴∠OAC=（180°﹣80°）÷2=50°．
故答案为：50．
【分析】连接CO，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC的度数．
21．【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=115°
∴∠C=180°﹣∠A=65°
∴∠BOD=2∠C=130°．
故答案为：130°．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．
22．【答案】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
23．【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF DA，
∴DE2=DF DA．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF DA，据此可得DE2=DF DA．
24．【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠ACB，
∵OD//BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE~△ABC，
（2）证明：∵△DOE~△ABC，
∴∠ODE=∠A，
∵∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODF=∠BDE。
（3）解：因为△DOE~△ABC ,
所以，
即=4=4
因为OA=OB，
所以=，即=2,
因为=,S2=++=2S1+S1+,
所以=，
所以BE=OE,即OE=OB=OD，
所以sinA=sin∠ODE==
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）易证∠DEO=∠ACB=90°和∠DOE=∠ABC，根据“有两对角相等的两个三角形相似”判定△DOE~△ABC；
（2）由△DOE~△ABC，可得∠ODE=∠A，由∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，则∠A=∠BDC，从而通过角的等量代换即可证得；
（3）由∠ODE=∠A，可得sinA=sin∠ODE==；而由△DOE~△ABC ,可得，即=4=4=，即=2,又因为=,S2=++=2S1+S1+,则可得=，可求得OE与OB的比值.
25．【答案】解：⑴如图1
，
在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°
⑵如图2
，
在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.1.4圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2017·哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）
A．43° B．35° C．34° D．44°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠D=∠A=42°，
∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，
故选B．
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．
2．（2017·咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则 的长为（ ）
A．π B． C．2π D．3π
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= =2π；
故选：C．
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
3．（2017·烟台）如图， ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则 的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴ 的长= = ；
故选：B．
【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．
4．（2017·海南）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠B=25°．
∵AC∥OB，
∴∠B=∠CAB=25°，
∴∠BOC=2∠CAB=50°．
故选B．
【分析】先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
5．（2017·青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，
故选B．
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数．
6．（2017·河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ = ，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
【分析】根据垂径定理推出 = ，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
7．（2017·毕节）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
8．（2017·张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．
故选D．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．
9．（2017·潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴ ，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故选C．
【分析】根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得： ，则∠DBC=2∠EAD=80°．
10．（2017·山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO于△CDO的面积=△AOD与△BOD 的面积，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2× =10π，
故选B．
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=72°，于是得到结论．．
11．（2017·福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．
【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
12．（2017·黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
故选D．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE= AD，∠ODE= ∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
二、填空题
13．（2017·湖州）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆 ，交 于点 ．若 ，则 的度数是 度．
【答案】140
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD（如图），
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BAD=20°，∠B=70°，
∴弧AD度数为140°.
故答案为140.
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角为直角，可知AD⊥BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分∠BAC，可得∠BAD=20°，然后求得∠B=70°，再根据同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，从而得出答案.
14．（2017·十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5 ．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB= = =10．
∵AC=6，
∴BC= = =8．
故答案为：8．
【分析】连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
15．（2017·湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB= ∠AOB=60°．
故答案为：60°
【分析】根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．
16．（2017·东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE CO，其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵OC⊥AB，
∴∠BOC=∠AOC=90°．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵AC∥OD，
∴∠BOD=∠CAO=45°，
∴∠DOC=45°，
∴∠BOD=∠DOC，
∴OD平分∠COB．故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，
∴BD=CD．故②正确；
③∵∠AOC=90°，
∴∠CDA=45°，
∴∠DOC=∠CDA．
∵∠OCD=∠OCD，
∴△DOC∽△EDC，
∴ ，
∴CD2=CE CO．故③正确．
故答案为：①②③．
【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出 ，得出CD2=CE CO．
17．（2017·恩施）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】3 ﹣ π
【知识点】勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：设半圆的圆心为O，连接DO，过D作DG⊥AB于点G，过D作DN⊥CB于点N，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，
∵以AD为边作等边△ADE，
∴∠EAD=60°，
∴∠EAB=60°+30°=90°，
可得：AE∥BC，
则△ADE∽△CDF，
∴△CDF是等边三角形，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2 ，
∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，
则AO=BO=3，
故DG=DO sin60°= ，
则AD=3 ，DC=AC﹣AD= ，
故DN=DC sin60°= × = ，
则S阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF
= ×2 ×6﹣ ×3× ﹣ ﹣ × ×
=3 ﹣ π．
故答案为：3 ﹣ π．
【分析】根据题意结合等边三角形的性质分别得出AB，AC，AD，DC的长，进而利用S阴影=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形DOB﹣S△DCF求出答案．
18．（2017·株洲）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM= ．
【答案】80°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°
∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，
故答案为：80°．
【分析】连接EM，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，进而求出∠AMD=70°，于是得到结论．
19．（2017·永康模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= ．
【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C= ∠AOB=35°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=35°．
故答案为：35°．
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
20．（2017·扬州）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC= °．
【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CO，
∵∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
∴∠OAC=（180°﹣80°）÷2=50°．
故答案为：50．
【分析】连接CO，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC的度数．
21．（2017·靖远模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=115°
∴∠C=180°﹣∠A=65°
∴∠BOD=2∠C=130°．
故答案为：130°．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．
三、解答题
22．（2017·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
23．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF DA．
【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF DA，
∴DE2=DF DA．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF DA，据此可得DE2=DF DA．
24．（2017·苏州）如图，已知 内接于 ， 是直径，点 在 上， ，过点 作 ，垂足为 ，连接 交 边于点 ．
（1）求证： ∽ ；
（2）求证： ；
（3）连接 ，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠ACB，
∵OD//BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE~△ABC，
（2）证明：∵△DOE~△ABC，
∴∠ODE=∠A，
∵∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODF=∠BDE。
（3）解：因为△DOE~△ABC ,
所以，
即=4=4
因为OA=OB，
所以=，即=2,
因为=,S2=++=2S1+S1+,
所以=，
所以BE=OE,即OE=OB=OD，
所以sinA=sin∠ODE==
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）易证∠DEO=∠ACB=90°和∠DOE=∠ABC，根据“有两对角相等的两个三角形相似”判定△DOE~△ABC；
（2）由△DOE~△ABC，可得∠ODE=∠A，由∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，则∠A=∠BDC，从而通过角的等量代换即可证得；
（3）由∠ODE=∠A，可得sinA=sin∠ODE==；而由△DOE~△ABC ,可得，即=4=4=，即=2,又因为=,S2=++=2S1+S1+,则可得=，可求得OE与OB的比值.
25．（2017·南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．
如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
【答案】解：⑴如图1
，
在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°
⑵如图2
，
在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．
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