人教版数学九年级上册第24章 24.4弧长及扇形的面积 同步练习
一、单选题
1．（2017·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定；切线的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ∵O为BC中点.BC=2.
∴OA=OB=OC=.
又∵AC、AB是⊙O的切线，
∴OD=OE=r.OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A＝90°.
∴四边形ODAE为正方形.
∴∠DOE=90°.
∴（2r）2+（2r）2=.
∴r=1.
∴弧DE===.
故答案为B.
【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度.
2．（2017·湖州）如图是按 的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：】根据比例关系，可通过三视图知这是一个底面直径为10cm，高为20cm的圆柱体.
∴S侧面积=10π×20=200πcm2.
故答案为D.
【分析】根据比例关系，可通过三视图知这是一个底面直径为10cm，高为20cm的圆柱体，因此可求出其侧面积.
3．（2017·河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 ﹣ C．2 ﹣ D．4 ﹣
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）= ×1×2 ﹣（ ﹣ ×2× ）=2 ﹣ ．
故选C．
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
4．（2017·湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣4 C．4π D．2π
【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB=90°
∴AE=EB，∠AOE=∠BOC=45°，
∴S△AOE=S△OEB，
∴S阴=S扇形OBC= =2π，
故选D．
【分析】首先证明S△AOE=S△OEB，可得S阴=S扇形OBC，由此即可解决问题．
5．（2017·宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由勾股定理得：母线l= = =5，
∴S侧= 2πr l=πrl=π×3×5=15π．
故选B．
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
6．（2017·东营）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积= lr=πrR，
∵侧面积是底面积的3倍，
∴3πr2=πrR，
∴R=3r，
设圆心角为n，有 = πR，
∴n=120°．
故选C．
【分析】根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得圆锥的母线长=3×底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数．
7．（2017·达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
【答案】D
【知识点】弧长的计算；图形的旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动一次A的路线长是： =2π，
转动第二次的路线长是： = π，
转动第三次的路线长是： = π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为： π+ π+2π=6π，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，
故选D．
【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
8．（2017·杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（ ）
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，
l2=2π×AB=4π，
∴l1：l2=1：2，
∵S1= ×2π× = π，
S2= ×4π× =2 π，
∴S1：S2=1：2，
故选A．
【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．
9．（2017·新疆）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．5π
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l= =2，
∴S侧= 2πr l= ×2π× ×2=2π．
故选B．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
10．（2017·黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为 ．
【答案】2π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径是R，则 =6π，
解得：r=6，
设扇形的弧长是l，则 lr=6π，即2l=6π，
解得：l=2π．
故答案是：2π．
【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形= lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
二、填空题
11．（2017·鹤岗）圆锥底面半径为3cm，母线长3 cm则圆锥的侧面积为
cm2．
【答案】9 π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3=6π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π，
∵圆锥的母线长3 ，
∴圆锥侧面展开图的半径为：3
∴圆锥侧面积为： ×3 ×6π=9 π；
故答案为：9 π；
【分析】根据题意可求出圆锥底面周长，然后利用扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积．
12．（2017·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 的 ， ，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
【答案】（32+48π）cm
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
因为弧AB的度数是90°，
所以圆心角∠AOB=90°，
则S空白=S扇形AOB-S△AOB=
=
（cm2）,
S阴影=S圆-S空白=64
-（
）=32+48
（cm2）。
故答案为（32+48π）cm
【分析】先求出空白部分的面积，再用圆的面积减去空白的面积就是阴影部分的面积.连接OA，OB，则S空白=S扇形AOB-S△AOB，由弧AB的度数是90°，
可得圆心角∠AOB=90°，即可解答.
13．（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则
弧BC的长为 cm（结果保留 ）
【答案】20
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：依题可得：弧BC的长===20.
【分析】根据弧长公式即可求得.
14．（2017·河池）圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是 ．
【答案】10
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该半圆的半径长为x，根据题意得：
2πx÷2=2π×5，
解得x=10．
故答案为：10．
【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．
15．（2017·埇桥模拟）如图，点O是线段AB上一点，AB=4cm，AO=1cm，若线段AB绕点O顺时针旋转120°到线段A′B′的位置，则线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为
cm2．（结果保留π）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：OA=1，OB=3；
∵S扇形A′OA= = ，S扇形BOB′= =3π，
∴线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积= +π= （cm2），
故答案为 ．
【分析】将线段AB在旋转过程中扫过的图形看作两个扇形，运用扇形的面积公式求出两个扇形的面积，即可解决问题．
16．（2017·兰州模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E，若∠COB=3∠AOB，OC=2 ，则图中阴影部分面积是 （结果保留π和根号）
【答案】3π﹣2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；
∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2 ，
∴OE=OC tan∠OCE=2 tan30°=2 × =2，
∴S△OEC= OE OC= ×2×2 =2 ，
∴S扇形OBC= =3π，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2 ．
故答案为：3π﹣2 ．
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°，根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
17．（2017·东莞模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是 cm2．（结果保留π）．
【答案】36π
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C是直角，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴BC= AB= ×12=6cm，
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，
∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC
=S扇形ABE﹣S扇形BCD
= ﹣
=48π﹣12π
=36πcm2．
故答案为：36π．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC= AB，然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD，列式计算即可得解
18．（2017·惠阳模拟）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4，C为 的中点，D、E分别为OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π+2 ﹣2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA=4，C为 的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE=2，OC=4，∠AOC=45°，
∴CF=2 ，
∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积
= ﹣ ×2×2
=2π﹣2 ，
三角形ODE的面积= OD×OE=2，
∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积
= ﹣（2π﹣2 ）﹣2
=2π+2 ﹣2．
故答案为：2π+2 ﹣2．
【分析】连接OC、EC，由△OCD≌△OCE、OC⊥DE可得DE= =2 ，分别求出S扇形OBC、S△OCD、S△ODE面积，根据S扇形OBC+S△OCD﹣S△ODE=S阴影部分可得．
19．（2017·荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为 ．
【答案】2 ﹣ π
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
20．（2017·营口）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为 ．
【答案】 π﹣2
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，
∴∠DEC=30°，
∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2 ，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′﹣S△CDE= ﹣ ×2×2 = ，
故答案为： ．
【分析】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2 ，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
三、解答题
21．（2017·湖州）如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ．
（1）求 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB= = =2 .
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
又∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
（2）解：在Rt△ABC中，sinA= ==.
∴∠A=30°.
∵AB切⊙O于点D.
∴OD⊥AB.
∴∠AOD=90°-∠A=60°.
∵=tanA=tan30°.
∴=.
∴OD=1.
S阴影==.
【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
22．（2017·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
23．（2017·枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】解：（Ⅰ）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= = ，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（Ⅱ）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
四、综合题
24．（2017·张家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG= OD=6 ，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.4弧长及扇形的面积 同步练习
一、单选题
1．（2017·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
2．（2017·湖州）如图是按 的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 ﹣ C．2 ﹣ D．4 ﹣
4．（2017·湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣4 C．4π D．2π
5．（2017·宁夏）圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
6．（2017·东营）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
7．（2017·达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
8．（2017·杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（ ）
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
9．（2017·新疆）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．5π
10．（2017·黄石）如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为 ．
二、填空题
11．（2017·鹤岗）圆锥底面半径为3cm，母线长3 cm则圆锥的侧面积为
cm2．
12．（2017·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 的 ， ，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
13．（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则
弧BC的长为 cm（结果保留 ）
14．（2017·河池）圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是 ．
15．（2017·埇桥模拟）如图，点O是线段AB上一点，AB=4cm，AO=1cm，若线段AB绕点O顺时针旋转120°到线段A′B′的位置，则线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为
cm2．（结果保留π）
16．（2017·兰州模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E，若∠COB=3∠AOB，OC=2 ，则图中阴影部分面积是 （结果保留π和根号）
17．（2017·东莞模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是 cm2．（结果保留π）．
18．（2017·惠阳模拟）如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=4，C为 的中点，D、E分别为OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
19．（2017·荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为 ．
20．（2017·营口）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
21．（2017·湖州）如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ．
（1）求 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
22．（2017·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
23．（2017·枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
四、综合题
24．（2017·张家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定；切线的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ∵O为BC中点.BC=2.
∴OA=OB=OC=.
又∵AC、AB是⊙O的切线，
∴OD=OE=r.OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A＝90°.
∴四边形ODAE为正方形.
∴∠DOE=90°.
∴（2r）2+（2r）2=.
∴r=1.
∴弧DE===.
故答案为B.
【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度.
2．【答案】D
【知识点】圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：】根据比例关系，可通过三视图知这是一个底面直径为10cm，高为20cm的圆柱体.
∴S侧面积=10π×20=200πcm2.
故答案为D.
【分析】根据比例关系，可通过三视图知这是一个底面直径为10cm，高为20cm的圆柱体，因此可求出其侧面积.
3．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）= ×1×2 ﹣（ ﹣ ×2× ）=2 ﹣ ．
故选C．
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB=90°
∴AE=EB，∠AOE=∠BOC=45°，
∴S△AOE=S△OEB，
∴S阴=S扇形OBC= =2π，
故选D．
【分析】首先证明S△AOE=S△OEB，可得S阴=S扇形OBC，由此即可解决问题．
5．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由勾股定理得：母线l= = =5，
∴S侧= 2πr l=πrl=π×3×5=15π．
故选B．
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
6．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积= lr=πrR，
∵侧面积是底面积的3倍，
∴3πr2=πrR，
∴R=3r，
设圆心角为n，有 = πR，
∴n=120°．
故选C．
【分析】根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得圆锥的母线长=3×底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数．
7．【答案】D
【知识点】弧长的计算；图形的旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动一次A的路线长是： =2π，
转动第二次的路线长是： = π，
转动第三次的路线长是： = π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为： π+ π+2π=6π，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，
故选D．
【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
8．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，
l2=2π×AB=4π，
∴l1：l2=1：2，
∵S1= ×2π× = π，
S2= ×4π× =2 π，
∴S1：S2=1：2，
故选A．
【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．
9．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l= =2，
∴S侧= 2πr l= ×2π× ×2=2π．
故选B．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
10．【答案】2π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径是R，则 =6π，
解得：r=6，
设扇形的弧长是l，则 lr=6π，即2l=6π，
解得：l=2π．
故答案是：2π．
【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形= lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．
11．【答案】9 π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3=6π，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π，
∵圆锥的母线长3 ，
∴圆锥侧面展开图的半径为：3
∴圆锥侧面积为： ×3 ×6π=9 π；
故答案为：9 π；
【分析】根据题意可求出圆锥底面周长，然后利用扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积．
12．【答案】（32+48π）cm
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
因为弧AB的度数是90°，
所以圆心角∠AOB=90°，
则S空白=S扇形AOB-S△AOB=
=
（cm2）,
S阴影=S圆-S空白=64
-（
）=32+48
（cm2）。
故答案为（32+48π）cm
【分析】先求出空白部分的面积，再用圆的面积减去空白的面积就是阴影部分的面积.连接OA，OB，则S空白=S扇形AOB-S△AOB，由弧AB的度数是90°，
可得圆心角∠AOB=90°，即可解答.
13．【答案】20
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：依题可得：弧BC的长===20.
【分析】根据弧长公式即可求得.
14．【答案】10
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该半圆的半径长为x，根据题意得：
2πx÷2=2π×5，
解得x=10．
故答案为：10．
【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：OA=1，OB=3；
∵S扇形A′OA= = ，S扇形BOB′= =3π，
∴线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积= +π= （cm2），
故答案为 ．
【分析】将线段AB在旋转过程中扫过的图形看作两个扇形，运用扇形的面积公式求出两个扇形的面积，即可解决问题．
16．【答案】3π﹣2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；
∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2 ，
∴OE=OC tan∠OCE=2 tan30°=2 × =2，
∴S△OEC= OE OC= ×2×2 =2 ，
∴S扇形OBC= =3π，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2 ．
故答案为：3π﹣2 ．
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°，根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
17．【答案】36π
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C是直角，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴BC= AB= ×12=6cm，
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，
∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC
=S扇形ABE﹣S扇形BCD
= ﹣
=48π﹣12π
=36πcm2．
故答案为：36π．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC= AB，然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD，列式计算即可得解
18．【答案】2π+2 ﹣2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA=4，C为 的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE=2，OC=4，∠AOC=45°，
∴CF=2 ，
∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积
= ﹣ ×2×2
=2π﹣2 ，
三角形ODE的面积= OD×OE=2，
∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积
= ﹣（2π﹣2 ）﹣2
=2π+2 ﹣2．
故答案为：2π+2 ﹣2．
【分析】连接OC、EC，由△OCD≌△OCE、OC⊥DE可得DE= =2 ，分别求出S扇形OBC、S△OCD、S△ODE面积，根据S扇形OBC+S△OCD﹣S△ODE=S阴影部分可得．
19．【答案】2 ﹣ π
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
20．【答案】 π﹣2
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，
∴∠DEC=30°，
∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2 ，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′﹣S△CDE= ﹣ ×2×2 = ，
故答案为： ．
【分析】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2 ，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
21．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB= = =2 .
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
又∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
（2）解：在Rt△ABC中，sinA= ==.
∴∠A=30°.
∵AB切⊙O于点D.
∴OD⊥AB.
∴∠AOD=90°-∠A=60°.
∵=tanA=tan30°.
∴=.
∴OD=1.
S阴影==.
【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
22．【答案】解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
23．【答案】解：（Ⅰ）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= = ，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（Ⅱ）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
24．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG= OD=6 ，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
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