北师大版八年级数学下册同步练习第4章 因式分解复习题（word版 含解析）

北师大版八年级数学下册同步练习 第4章 因式分解 复习题
一、单选题
1．下列变形是因式分解且正确的是( )
A． B．
C． D．
2．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
3．已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为（ ）
A． B． C． D．
4．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
5．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是（ ）
A．a3＋2a2＋a＝a（a＋1）2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．x4﹣1＝（x2＋1）（x2﹣1） D．ax2﹣abx＋a＝a（x2﹣bx）＋a
6．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
9．若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．将分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．把分解因式的结果是（ ）．
A． B．
C． D．
12．如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
13．下列因式分解正确的是
A．4m2-4m+1=4m（m-1） B．a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b）
C．x2-7x-10=（x-2）（x-5） D．10x2y-5xy2=5xy（2x-y）
14．把分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4-■=（x2+4）（x+2）（x-▲）中的两个数字弄污了，则式子中“■”和“▲”对应的一组数字可能是（ ）
A．8和1 B．16和2
C．24和3 D．64和8
二、填空题
16．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫_________．
17．分解因式：____．
18．计算：________．
19．若是一个完全平方式，则m=____________．
20．（1）________；
（2）________．
三、解答题
21．（1）利用因式分解进行计算：
，其中；
（2）求的值，其中；
（3）已知，求多项式的值．
22．某小组同学布置教室时，准备为一幅边长为a的正方形书法作品镶边（如图），要求四边的宽都为b．为此，需要准备一张镶边用的长方形花纸．当这张花纸的长与宽分别为多少时，恰好可以完成镶边任务而又没有任何多余（接缝忽略不计）？至少给三种方案．
23．如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去半径为r的四个小圆，计算当，时剩余部分的面积（取3.14）．
24．求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，，求的值；
（4）当时，的值是10，求时，该代数式的值；
（5）已知，求的值；
（6）已知，求代数式的值；
（7）已知，求代数式的值．
25．利用乘法公式简便计算：
（1）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12；
（2）1252﹣50×125+252．
26．已知，，求代数式的值．
27．阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐项分析即可．
【详解】
A、，是整式的乘法，故此选项错误；
B、，右边不是积的形式，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
2．A
【解析】
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．B
【解析】
【分析】
把题中的积分别分解因式后，确定出甲乙丙各自的整式，即可解答．
【详解】
解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，
甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相乘的积为，
故选：B．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．
5．A
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可；
【详解】
A、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；
B、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形属于因式分解但分解不彻底，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解；
6．A
【解析】
【分析】
根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答．
【详解】
解：；
故选A．
【点睛】
本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，平方差公式逐个判断即可．
【详解】
解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，平方差公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【详解】
解：根据题意设，
∴-p=-a-2，2a=-6，
解得：a=-3，p=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
9．C
【解析】
【分析】
有完全平方式的特征，列式进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
解得：或；
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方式的应用，解题的关键是掌握完全平方式的特征进行解题．
10．C
【解析】
【分析】
直接利用提取公因式法进行分解因式即可．
【详解】
解：＋＝＝；
故选C．
【点睛】
本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．
11．B
【解析】
【分析】
先用平方差公式分解因式，在提取公因式即可得出结果．
【详解】
解：a2+2a-b2-2b，
=（a2-b2）+（2a-2b），
=（a+b）（a-b）+2（a-b），
=（a-b）（a+b+2），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．B
【解析】
【分析】
作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5．
【详解】
解：作EF⊥AC，垂足为F
∴∠EFD=
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵S△BDE+ S△BDC+ S△ADE
∴
=
化简得：
，
∵n是的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴
故答案选：B
【点睛】
本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．
13．D
【解析】
【分析】
A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
【详解】
A、4m2-4m+1=（2m-1）2，故本选项错误；
B、a3b2-a2b+a2=a2（ab2-b+1），故本选项错误；
C、（x-2）（x-5）=x2-7x+10，故本选项错误；
D、10x2y-5xy2=xy（10x-5y）=5xy（2x-y），故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
14．D
【解析】
【详解】
试题分析：x3﹣9x，
=x（x2﹣9），
=x（x+3）（x﹣3）．
故选D．
考点：1、提公因式法分解因式；2、公式法分解因式
15．B
【解析】
【分析】
可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】
由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则■=16．
故选B．
【点睛】
此题考查了学生用平方差公式分解因式的掌握情况，灵活性比较强．
16．提公因式法
【解析】
略
17．
【解析】
【分析】
先提取公因式，再用平方差公式进行分解．
【详解】
解：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是先提取公因式，再利用公式进行分解．注意：因式分解要彻底．
18．
【解析】
【分析】
根据多项式乘以多项式以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】
解：原式，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式以及二次根式的混合运算，熟知运算法则是解题的关键．
19．±2
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】
解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴m=±2，
故答案为：±2．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．
【解析】
【分析】
（1）先计算中括号里的完全平方式，整理之后除以后面的单项式即可；
（2）先计算括号里的乘方和乘法，再计算多项式除以单项式即可．
【详解】
（1）
故答案为：；
（2）
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了多项式除以单项式，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．（1）2512；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）提取公因式m后，再把数值代入计算即可；
（2）提取公因式z后，再把数值代入计算即可；
（3）提取公因式后ab，再代入计算即可；
【详解】
（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】
本题考查了提公因式的应用，先提后计算．
22．当这张花纸的长与宽分别为长，宽或者长，宽或者长，宽时，恰好可以完成镶边任务而又没有任何多余
【解析】
【分析】
根据用于镶边的花纸面积整个图案的面积正方形书法作品，列出算式即可求出答案．
【详解】
解：用于镶边的花纸面积
，
由图形可知：，
当这张花纸的长与宽分别为长，宽或者长，宽或者长，宽时，恰好可以完成镶边任务而又没有任何多余．
【点睛】
此题考查了用平方差公式分解因式的应用，熟练掌握乘法公式是关键，同时要仔细观察图形，确定长方形白纸的长与宽．
23．
【解析】
【分析】
根据图形可知，剩余部分的面积等于大圆的面积减四个小圆的面积，然后代入数据计算即可解答本题．
【详解】
解：由图可得：
剩余部分的面积
，
当，，＝3.14时，
S＝3.14×（7.8+2.2）×（7.8﹣2.2）
＝3.14×10×5.6
＝175.84（cm2），
答：剩余部分的面积是175.84cm2．
【点睛】
本题考查因式分解的应用、圆的面积公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（1）108；（2）8；（3）1；（4）；（5）；（6）；（7）0
【解析】
【分析】
（1）根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可；
（3）根据，，然后两式相减即可求解；
（4）时，的值是10，即可得到即，再把x=3代入求解即可；
（5）根据，得到，由则最后可以得到，由此即可求解；
（6）先利用多项式乘以多项式求得，从而得到，，由此求解即可；
（7）根据，即可得到，求出x、y、z的值即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴；
（4）∵时，的值是10，
∴即，
∴时，代数式的值；
（5）∵，
∴，
∴
、
；
（6）∵，
∴，
∴，，
∴；
（7）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，整式的乘法，幂的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．（1）5050；（2）10000.
【解析】
【分析】
（1）利用平方差公式，可得，即可求解；
（2）利用完全平方公式，即可求解．
【详解】
解：（1） 1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12
；
（2）1252﹣50×125+252
=1252-2×25×125+252
=（125-25）2
=1002
=10000．
【点睛】
本题主要考查了乘法公式的应用，熟练掌握是解题的关键．
26．39．
【解析】
【分析】
先把分解因式，再利用完全平方公式变形，再整体代入求值即可.
【详解】
解： ，，
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键.
27．（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【解析】
【分析】
（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：loga（M N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
【详解】
解：（1）①∵，∴5，
②∵，∴3，
③∵，∴0；
（2）设logaM=m，logaN=n，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）
=
=
=2．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．