北师大版八年级数学下册同步练习第4章因式分解复习题（word版 含解析）

北师大版八年级数学下册同步练习 第4章 因式分解 复习题
一、单选题
1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
2．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ 　　 ）
A． B．
C． D．
3．下列多项式：①；②；③；④，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．将分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
6．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
8．下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
9．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（ ）
A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
12．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）
A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
13．如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
14．若，，则代数式的值为（ ）
A．90 B．45 C． D．
15．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4-■=（x2+4）（x+2）（x-▲）中的两个数字弄污了，则式子中“■”和“▲”对应的一组数字可能是（ ）
A．8和1 B．16和2
C．24和3 D．64和8
二、填空题
16．如果x2+ax+9=（x+3）2，那么a的值为______．
17．把下列各式分解因式：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________；
（7）________．
18．________．
19．分解因式：
（1）( )( )( )( )；
（2）( )( )( )( )( )( )( )．
20．小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值， 其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7. 你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝ _________．
三、解答题
21．已知，求代数式的值．
22．已知：，求的值．
23．用提公因式法分解因式．
（1）4x2－ 4xy＋8xz ；
（2）6x4－ 4x3＋2x2 ；
（3）6m2n－15mn2＋30m3n ；
（4）（a＋b）－（a＋b）2 ；
（5）x（x－y）＋y （y－x） ；
（6）（m＋n）2－2（m＋n） ．
24．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式．
25．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则 ．我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）若，则 ；
（2）如果，求的值；
（3）若，，求的值．
26．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，
得，
则，
∴．
解得：，．
∴另一个因式为，的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
27．定义一种新运算，观察下列式子：
；
；
；
；；
（1）计算：的值；
（2）猜想：________；
（3）若，求的值．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．
2．A
【解析】
【分析】
根据因式分解的概念分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、，是因式分解，故此选项符合题意；
B、，是整式乘法，故此选不项符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了因式分解的判断，掌握因式分解的概念是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据平方差公式的性质解答即可．
【详解】
解：③，④可以用平方差公式分解因式；
①；②不可以用平方差公式分解因式．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平方差公式性质，熟悉相关性质是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
直接利用提取公因式法进行分解因式即可．
【详解】
解：＋＝＝；
故选C．
【点睛】
本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可．
【详解】
故选C．
【点睛】
本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式．
【详解】
解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故选D．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
将所求式子变形，然后将x2﹣2x﹣1＝0代入，即可解答本题．
【详解】
解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴2x3﹣7x2+4x+2023
＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020
＝0+0+2020
＝2020，
故选：A．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
8．C
【解析】
【分析】
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【详解】
A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；
B、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
C、＝（4b）2 a2,能用平方差公式分解因式；故正确；
D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为5a（x-y）（x+y）（a-b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．
【详解】
解：5a2（x2-y2）-5ab（x2-y2）=5a（x2-y2）（a-b）=5a（x-y）（x+y）（a-b）， 信息中的汉字有：我、爱、会、运、城． 所以经密码翻译呈现准确的信息是我爱城运会，
故选B．
【点睛】
本题主要考查因式分解的方法，解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
10．D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，平方差公式逐个判断即可．
【详解】
解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，平方差公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【详解】
解：根据题意设，
∴-p=-a-2，2a=-6，
解得：a=-3，p=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
12．D
【解析】
【分析】
利用完全平方公式因式分解计算即可．
【详解】
解：∵x2+mx+4＝（x±2）2，
即x2+mx+4＝x2±4x+4，
∴m＝±4．
故选：D．
【点睛】
本题要熟记完全平方公式，解题的关键是需要进行分类讨论求解．
13．B
【解析】
【分析】
作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5．
【详解】
解：作EF⊥AC，垂足为F
∴∠EFD=
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵S△BDE+ S△BDC+ S△ADE
∴
=
化简得：
，
∵n是的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴
故答案选：B
【点睛】
本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．
14．A
【解析】
【分析】
将多项式提取公因式2xy后再根据完全平方公式分解因式，再将，代入计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴
=
=
=
=90，
故选：A．
【点睛】
此题考查多项式的求值，掌握多项式分解因式的方法是解题的关键．
15．B
【解析】
【分析】
可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】
由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，
则（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-16，则■=16．
故选B．
【点睛】
此题考查了学生用平方差公式分解因式的掌握情况，灵活性比较强．
16．6
【解析】
【分析】
根据题意可知：将（x+3）2展开，再根据对应项系数相等求解．
【详解】
解：x2+ax+9=（x+3）2=x2+6x+9． 故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
17．
【解析】
【分析】
根据平方差公式和完全平方公式同时对原式变形即可得到分解．
【详解】
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【点睛】
本题考查利用平方差和完全平方进行的因式分解，灵活掌握这两种公式是解题关键．
18．-1
【解析】
【分析】
根据平方差公式：和多项式乘多项式法则计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=
=-1
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查的是整式的乘法，掌握平方差公式和多项式乘多项式法则是解决此题的关键．
19．
【解析】
【分析】
（1）先运用平方差公式分解，再运用提公因式进行分解即可；
（2）运用提公因式和平方差公式进行分解即可．
【详解】
解（1）
（2）
故答案为：；；；；；；；；；；．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，熟悉掌握因式分解的公式是解题的关键．
20．5
【解析】
【分析】
先进行化简，令化简的代数式等于7求得a值即可
【详解】
∵
=
=
=4a-13，
∴4a-13=7，
解得a=5，
故答案为：5
【点睛】
本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式的加减，一元一次方程，熟练运用乘法公式化简，构造一元一次方程求解是解题的关键．
21．1
【解析】
【分析】
方法1，通过因式分解得到这个整体，再整体代入求解即可；
方法2，用含有b的代数式表示a ，从而将所求式子中的字母a消去，进而求得代数式的值．
【详解】
方法1，整体法．
．
将代入，原式．
方法2，消元法．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，将已知代数式与所求代数式建立联系是解题的关键．
22．3
【解析】
【分析】
先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b+c的值．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴.
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．
23．（1）4x（x－y＋2z）；（2）2x2（3x2－2x＋1）；（3）3mn（2m－5n＋10m2）；（4）（a＋b）（1－a－b）；（5）＝（x－y）2；（6）（m＋n）（m＋n－2）
【解析】
略
24．见解析
【解析】
【分析】
设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0），然后分别把两位同学因式分解的结果化为多项式，即可求出a、b、c的值，从而得到原多项式为，然后进行分解因式即可．
【详解】
解：设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0）．
∵，
∴＝2，＝18；
又∵，
∴＝－12．
∴原多项式为，将它分解因式，得
．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘以多项式和因式分解的方法．
25．（1）2022；（2）15；（3）36
【解析】
【分析】
（1）把已知等式变形，整体代入计算即可得；
（2）原式变形后，把a+b＝3代入计算即可求出值；
（3）已知第一个等式，加上第二个等式两边乘以2求出原式的值即可．
【详解】
解：（1）∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x2+x+2021＝1+2021＝2022，
故答案为：2022；
（2）∵a+b＝3，
∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣6+21＝15；
（3）∵，，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键．
26．（1）另一个因式是：x＋4，k＝20；（2）另一个因式是3x＋1，a＝1或3x 1，a＝ 1．
【解析】
【分析】
（1）设另一个因式是（x＋b），则（2x 5）（x＋b）＝2x2＋2bx 5x 5b＝2x2＋（2b 5）x 5b＝2x2＋3x k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．
（2）设另一个因式是（3x＋m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）设另一个因式是（x＋b），则
（2x 5）（x＋b）＝2x2＋2bx 5x 5b＝2x2＋（2b 5）x 5b＝2x2＋3x k，
则，
解得：，
则另一个因式是：x＋4，k＝20；
（2）设另一个因式是（3x＋m），则
（x＋a）（3x＋m）＝3x2＋（m＋3a）x＋am＝3x2＋4ax＋1，
则，
解得，或，
另一个因式是3x 1或3x＋1，
故另一个因式是3x＋1，a＝1或3x 1，a＝ 1．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
27．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法求解即可；
（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．
【详解】
解：（1）∵；
；
；
；；
∴；
（2）由（1）可得：．
故答案为：．
（3），
解得：．
【点睛】
此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键．