北师大版八年级数学下册同步练习第5章 分式与分式方程复习题（word版 含解析）

北师大版八年级数学下册同步练习 第5章 分式与分式方程 复习题
一、单选题
1．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零
B．当时，有意义
C．无论x为何值，不可能得正整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．某玩具店用6000元购进甲、乙两种陀螺，甲种单价比乙种单价便宜5元，单独买甲种比单独买乙种可多买40个．设甲种陀螺单价为x元，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
6．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣3 C．x＜2且x≠﹣3 D．x=3
7．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算中，正确的是 ( )
A． B． C． D．
9．下列各式中，分式的个数是（　　）
，，，，，．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知，则分式与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
11．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A． B． C． D．
12．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
13．随着计算机技术的发展，电脑的价格不断降低，某品牌的电脑原价为m元，降低a元后，又降低，则该电脑的现售价为多少元（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则代数式的值（ ）
A．4 B．9 C．－4 D．－8
15．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
二、填空题
16．若分式的值为负数，则x的取值范围为________．
17．若分式的值为零，则x的值为__________．
18．若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．
19．若实数满足，则__．
20．若关于x的分式方程+2＝的解为正数，则k的取值范围是 __________________．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．先化简，再从﹣2＜a≤2中选一个合适的整数a代入求值．
23．先化简:，再选取一个合适的x值代入求值．
24．如图，AC//BD，AD和BC相交于点E，EF//AC交AB于点F，且AC＝p，BD＝q，EF＝r．
(1)求证：；
(2)若AC＝20，BD＝80，试求EF的值．
25．若关于x的方程无解，求a的值
26．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某超市用2400元购进一批冰墩墩玩偶出售．若进价降低20%，则可以多买50个．市场调查发现：当每个冰墩墩玩偶的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．
(1)求每个冰墩墩玩偶的进价；
(2)设每个冰墩墩玩偶的售价是x元（x是大于20的正整数），每周总利润是w元．
①直接写出w关于x的函数解析式，并求每周总利润的最大值；
②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩玩偶的售价．
27．温州某新开发景区管理委员会计划采购，两种休闲长椅供游客景区内休息．已知一张型长椅可坐3人，一张型长椅可坐5人；型长椅单价是型长椅单价的0.75倍，用8000元购买型长椅的数量比用4800元购买型长椅的数量多10张．设景区计划购进张休闲长椅，总费用为元．
(1)求，两种休闲长椅的单价．
(2)当时，若要保证至少可容纳1200个座位，则应如何安排购买方案最节省费用？求出最低费用的值．
(3)现总费用有42000元（可结余少许费用，不一定用完），问是否存在一种购买方式，使得可共容纳至少1308个座位？若有，请直接给出一种具体的购买方式，并写出相应的值；若没有，则说明理由．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】
解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
A、当分子为0，分母不为0时，分式的值为0；
B、当分母不为0时，分式有意义；
C、可举出一个反例；
D、只要证明是正数即可，在根据同号得正可得出．
【详解】
A．当时，无意义，故A错误，不符合题意；
B．当时，有意义，故B错误，不符合题意；
C．当或时，得正整数值，故C错误，不符合题意；
D．分母，分子，故无论x为何值，的值总为正数，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，以及分式等于0的条件．
3．D
【解析】
【分析】
先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；根据根的判别式即可判断B；根据算术平方根的非负性得出且，即可判断C；方程两边都乘以，再求出方程的解，进行检验后即可判断D．
【详解】
解：A、，
移项，得，
不论为何值，，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B、，
△，
此方程无解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C、，
且，
此时不存在，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D、，
方程两边都乘以，得，
解得：，
经检验是增根，是原方程的解，
即原方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
首先设甲种陀螺单价为x元，则乙种陀螺单价为元，根据关键语句“单独买甲种比单独买乙种可多买40个”可得方程．
【详解】
首先设甲种陀螺单价为x元，则乙种陀螺单价为元，
根据题意可得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是正确解读题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，列出方程．
5．B
【解析】
【分析】
先通过去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，求出参数m，即可．
【详解】
解：把原方程去分母得：，
∵原分式方程有增根：x=1，
∴，即：m=1，
故选B．
【点睛】
本题主要考查分式方程增根的意义，理解使分式方程的分母为零的根，是分式方程的增根，是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
【详解】
由题意，得
2﹣x≥0且x+3≠0，
解得x≤2且x≠﹣3，
故选：B．
【点评】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A、是最简分式，所以，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、是最简分式，所以，故选项C不符合题意；
D、，正确，
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式的约分，以及最简分式的判断，分式的约分关键是找公因式，约分时，分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，最简分式即为分式的分子分母没有公因式．
8．C
【解析】
【分析】
根据分式的加减法运算法则和分式的基本性质、零指数幂、负指数幂和同底数幂的乘法进行解答．
【详解】
解：A、不能化简，故不对；
B、a=0时不成立，故不对；
C、 ，故正确；
D.
故选C.
【点睛】
本题主要考查分式的加减运算法则和性质，解题关键是熟练掌握性质．
9．B
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【详解】
,的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式;
的分子不是整式,因此不是分式.
,,的分母中含有字母,因此是分式.
故选B.
【点睛】
本题考查了分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.注意π不是字母,是常数,所以不是分式,是整式.
10．A
【解析】
【分析】
将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
11．D
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则逐一计算即可得答案．
【详解】
A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．D
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
解：原式
．
故选：．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．C
【解析】
【分析】
先计算降价的价格,再计算降低的价格,判断即可．
【详解】
根据题意得电脑原价为m元，降低a元后售价是元，又降低后，售价是元，即
故选C．
【点睛】
本题考查了连续降价问题，熟练掌握原价，降价，新售价三者之间的关系是解题的关键．
14．A
【解析】
【分析】
由＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.
【详解】
解：由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，
则===4．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．
15．C
【解析】
【分析】
设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米，
根据题意得：，
去分母得：
，
即，
解得：或（舍去），
经检验分式方程的解，且符合题意，
，
则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键．
16．且
【解析】
【分析】
根据分子为非负数，可得分母为负，分子不为零，即可求解．
【详解】
依题意可得
解得且
故答案为：且．
【点睛】
此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式为负的条件．
17．-3
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件，分子为0且分母不为0即可求出x的值．
【详解】
解：由分式的值为零的条件得，，
∴x=±3且x≠3且x≠-1，
∴x=-3时，分式的值为0．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
18．且
【解析】
【分析】
根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．
【详解】
解：
根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．
19．2020
【解析】
【分析】
由等式性质可得，，再整体代入计算可求解．
【详解】
解：，
，，
．
故答案为：2020．
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为，是解题的关键．
20．k＜且k≠﹣
【解析】
【分析】
先求出方程的解，根据解是正数列出不等式，即可解答．
【详解】
解：
方程两边同乘（x-1）得，1+2x-2=-2k，
解得
∵方程的解为正数
∴且
∴且
故答案为：且.
【点睛】
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
21．，．
【解析】
【分析】
【详解】
原式
，
当时，
原式
．
22．，
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】
解：原式

，
∵a为0，1，﹣1时，原式无意义，
∴把a＝2代入得：
原式
．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
23．原式=；当时，原式=4.
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算先化简，再带入求值，即原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选值时，必须满足分式有意义．
【详解】
解：
，
当时，原式（x不能取1，2）．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)16
【解析】
【分析】
（1）由EF//AC，得到∠EFB＝∠BAC，∠BEF＝∠BCA，证得△BEF∽△BCA，得到，由EF//BD，得到∠AEF＝∠ADB，∠AFE＝∠ABD，可证△AFE∽△ABD，得到，两式相加得到＝＝1，即可得到结论；
（2）由（1）知，代入数据即可得到结果．
(1)
证明：∵EF//AC，
∴∠EFB＝∠BAC，∠BEF＝∠BCA，
∴△BEF∽△BCA，
∴
∵AC//BD，EF//AC，
∴EF//BD，
∴∠AEF＝∠ADB，∠AFE＝∠ABD，
∴△AFE∽△ABD．
∴．
∴＝＝1．
∴ ＝1．
∴．
(2)
解：由(1)知，，
∵AC＝20，BD＝80，
∴
∴EF＝16，经检验，符合题意；
∴EF的值为16．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25．或或．
【解析】
【分析】
方程可化为方程，利用方程无解，求a的值．
【详解】
解：方程
可化为方程，
∴ 1 2x=ax+2，把1代入可得a= 5,2代入可得a=，此时方程无解；
又a= 2时方程无解，
∴a= 5或，或 2，
【点睛】
本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简.
26．(1)每个冰墩墩玩偶的进价为12元
(2)①w关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+520x﹣4800，每周总利润的最大值为1960元；②售价为24元或25元或26元或27元或28元
【解析】
【分析】
(1)设每个冰墩墩玩偶的进价为x元，根据题意列分式方程解答即可；
(2)①根据w=销售量×每件的利润列出关系式，再通过配方得到最大值；
②根据二次函数的性质解答即可．
(1)
解：设每个冰墩墩玩偶的进价为x元，
由题意得，50，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
答：每个冰墩墩玩偶的进价为12元；
(2)
解：①w＝（x﹣12）[200﹣10（x﹣20）]＝﹣10x2+520x﹣4800＝﹣10（x﹣26）2+1960，
答：w关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+520x﹣4800，每周总利润的最大值为1960元；
②由题意得，﹣10x2+520x﹣4800＝1870，
解得x＝23或29，
∵抛物线开口向下，
∴当23＜x＜29时，每周总利润大于1870元，
∴售价为24元或25元或26元或27元或28元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题的关键是吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
27．(1)A、B两种休闲长椅的单价分别为120元，160元
(2)A、B两种长椅各购买150张最节省费用，最低费用为42000元
(3)有，B型长椅的数量可分别购买262张，m 的值为262
【解析】
【分析】
（1）设B型长椅的单价为元，则A型长椅的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用8000元购买B型长椅的数量比用4800元购买A型长椅的数量多10张，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可求出B型长椅的单价，再将其代入0.75a中即可求出A型长椅的单价；
（2）设购买x张A型长椅，则购买(300 - x)张B型长椅，根据要保证至少可容纳1200个座位，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，利用总价=单价×数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）比较两种长椅的单价及可供乘坐的人数可知：购买B型长椅人均费用最低，利用数量=总价÷单价，可求出全部用来购买B型长椅可购买的数量，结合一张B型长椅可坐5人可求出此时可乘坐1310人，再结合1310 > 1308即可得出购买方案及m的值．
(1)
解：设B型长椅的单价为元，则A型长椅的单价为元，根据题意，
得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴；
(2)
设A型长椅买了张，则型长椅买了张，根据题意，
得，
解得，
又∵，
∵-40＜0，
∴y随x的增大而减少，
∴当时，最小，最小值为-40×150+48000=42000，
300-x=300-150=150；
(3)
∵42000÷160=262（张）……80（元），262×5=1310（人），1310＞1308，
∴存在符合题意得方案，
即购买方案为：购买262张B型长椅，此时的值为262．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及有理数的混合应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据给定的限制条件，找出符合题意的方案．