北师大版八年级数学下册同步练习第5章分式与分式方程复习题（word版 含解析）

北师大版八年级数学下册同步练习 第5章 分式与分式方程 复习题
一、单选题
1．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式成立的是( )
A． B．
C． D．
4．下列分式运算或化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零
B．当时，有意义
C．无论x为何值，不可能得正整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
6．有理式,,,中，属于分式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．的结果是（ ）
A． B． C． D．1
9．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，用a表示c的代数式为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则代数式的值（ ）
A．4 B．9 C．－4 D．－8
14．丽英是山区的孩子，她的家和学校在两座相邻的山顶上，去学校时先下坡再上坡，下坡路占全程的，下坡速度是上坡速度的2倍，从家走到学校要花2个半小时，那么她从学校回家需要多少时间？（ ）
A．2小时40分 B．2个半小时 C．2小时 D．1小时40分
15．已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
二、填空题
16．分式，当字母x、y满足________时，值为1；当字母x、y满足________________时，值为．
17．若分式的值为零，则x的值为__________．
18．若x＜2，且，则x＝_______．
19．已知，则的值是_____________．
20．若关于x的分式方程+2＝的解为正数，则k的取值范围是 __________________．
三、解答题
21．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．先化简，再求代数式的值，其中．
23．解方程：．
24．已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值；
25．小明解答“先化简，再求值：，其中”的过程如下：
解： ① ② ③ 当时，原式 ④ ⑤
请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
26．某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价；
(2)若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？
27．冰墩墩（如图）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商店第一次用1200元购进冰墩墩手办若干个，第二次又用相同价格购进冰墩墩饰扣若干个，已知每个冰墩墩饰扣的进价是冰墩墩手办进价的，购进冰墩墩手办数量比饰扣少了10个．
(1)冰墩墩饰扣的进价是多少元？
(2)若冰墩墩饰扣的售价要比冰墩墩手办的售价少30元，且销售完毕后获利不低于1100元，问每个冰墩墩手办的售价至少是多少元？
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．
【详解】
根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A、是最简分式，所以，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、是最简分式，所以，故选项C不符合题意；
D、，正确，
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式的约分，以及最简分式的判断，分式的约分关键是找公因式，约分时，分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，最简分式即为分式的分子分母没有公因式．
3．D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质进行判断.
【详解】
解：A、分子、分母同时除以-1，则原式=，故本选项错误；
B、分子、分母同时乘以-1，则原式=，故本选项错误；
C、分子、分母同时除以a，则原式= ，故本选项错误；
D、分子、分母同时乘以b，则原式=，故本选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质.特别要注意：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变.
4．C
【解析】
【分析】
根据分式的性质，分式的约分，分式的加减以及除法运算进行化简，逐项分析即可
【详解】
A．原式，正确，不符合题意；
B．原式，正确，不符合题意；
C．原式，错误，符合题意；
D．原式，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的计算，掌握分式的性质以及分式的约分，分式的加减是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
A、当分子为0，分母不为0时，分式的值为0；
B、当分母不为0时，分式有意义；
C、可举出一个反例；
D、只要证明是正数即可，在根据同号得正可得出．
【详解】
A．当时，无意义，故A错误，不符合题意；
B．当时，有意义，故B错误，不符合题意；
C．当或时，得正整数值，故C错误，不符合题意；
D．分母，分子，故无论x为何值，的值总为正数，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，以及分式等于0的条件．
6．B
【解析】
【分析】
根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
【详解】
解：分式的有 ,,
故选B．
【点睛】
本题考查分式的定义，解题关键是掌握分母中含字母，π是无理数，不是字母．
7．A
【解析】
【分析】
根据新定义，把转化为分式的运算即可．
【详解】
解：根据定义运算*，，
，
去分母得，，
代入得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y之间的关系，再整体代入．
8．B
【解析】
【分析】
先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解．
【详解】
解：
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；根据根的判别式即可判断B；根据算术平方根的非负性得出且，即可判断C；方程两边都乘以，再求出方程的解，进行检验后即可判断D．
【详解】
解：A、，
移项，得，
不论为何值，，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B、，
△，
此方程无解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C、，
且，
此时不存在，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D、，
方程两边都乘以，得，
解得：，
经检验是增根，是原方程的解，
即原方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：；
故选D．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
A、B两项利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可得到结果；C、D通过能否继续进行因式分解，继续化简，即可得到答案．
【详解】
A. ，故此项正确；
B. ，故此项正确；
C. 为最简分式，不能继续化简，故此项错误；
D. ，故此项正确；
故选C．
【点睛】
此题考查了分式的加减法、约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．D
【解析】
【分析】
将代入消去b，进行化简即可得到结果．
【详解】
解：把代入，得
，
，
，
，
，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．A
【解析】
【分析】
由＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.
【详解】
解：由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，
则===4．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．
14．C
【解析】
【分析】
把总路程看作单位“1”，下坡路占全程的，上坡路占全程的，设上坡速度为x千米/小时，则下坡的速度是千米/小时，根据从家走到学校要花2个半小时，列出分式方程解答，进一步代入求得答案即可．
【详解】
解：设上坡速度为x千米/小时，则下坡的速度是千米/小时，由题意得
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
，
则（小时）．
答：她从学校回家需要2小时．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的应用、解分式方程，理解题意，弄清楚上坡和下坡速度和路程的对应关系是解答的关键．
15．B
【解析】
【分析】
将x＝3代入分式方程中进行求解即可．
【详解】
解：把x＝3代入关于x的分式方程＝3得：，
解得：m＝﹣3，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程的解，一般直接将解代入分式方程进行求解．
16．
【解析】
【分析】
当分子、分母相同时，分式值等于1，当分子、分母互为相反数时，分式值等于-1，由此解答即可．
【详解】
解：当字母x、y满足x=y时，=1，
当字母x、y满足x=-y时，= 1．
故答案为：x=y；x=-y．
【点睛】
本题考查了分式的值，掌握分式值等于1或-1的条件是解题的关键．注意：分母不为0的条件．
17．-3
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件，分子为0且分母不为0即可求出x的值．
【详解】
解：由分式的值为零的条件得，，
∴x=±3且x≠3且x≠-1，
∴x=-3时，分式的值为0．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
18．1
【解析】
【分析】
先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】
解：|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，
即1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．1
【解析】
【分析】
代数式可化成2m(2m-5n)+5n，将代入即可得解．
【详解】
解：∵2m-5n=-1，
∴
=2m(2m-5n)+5n
=-2m+5n
=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入．
20．k＜且k≠﹣
【解析】
【分析】
先求出方程的解，根据解是正数列出不等式，即可解答．
【详解】
解：
方程两边同乘（x-1）得，1+2x-2=-2k，
解得
∵方程的解为正数
∴且
∴且
故答案为：且.
【点睛】
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
先算括号里面的，再根据分式乘除法法则计算，最后利用加减法通分化简即可；
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【点睛】
本题考查分式的混合运算，一般先算括号和乘方，再算乘除，最后算加减．熟记运算法则是解题的关键，解题时需要注意因式分解来化简分式．
22．，．
【解析】
【分析】
先运用特殊角的三角函数求出x，然后化简分式，最后代入计算即可．
【详解】
解：，
=
=
=
=
=；
当x=时，．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，灵活运用分式混合运算的法则化简分式成为解答本题的关键．
23．
【解析】
【分析】
设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】
解：设，
则，
原方程化成，
解这个方程，得，，
当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根，
当y＝－2时，，即，
解得：，
经检验，x＝－1是原分式方程的解，
∴原方程的解为x＝－1．
【点睛】
题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程．
24．（1）；（2）或或1．
【解析】
【分析】
（1）把m=4代入解分式方程即可；
（2）化原方程为整式方程，然后据原方程无解，列出关于m的方程求解即可．
【详解】
解：（1）把m=4代入原方程得
方程两边同时乘以，去分母并整理得
，
解得
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，
∴或，
当时，得；
当时，
解得：或，
当时，得；
当时，得；
所以m的值可能为1、或6．
【点睛】
此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
25．第①步，正确步骤见解析．
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可发现①错误．
【详解】
解：第①步
原式
当时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简与分式的基本性质，掌握分式的基本性质和等式的基本性质的区别是解答本题的关键．
26．(1)A种纪念品每件的进价为50元，B种纪念品每件的进价为20元
(2)最高利润是4500元
【解析】
【分析】
（1）设购进A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x﹣30）元，由题意：用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，设利润为y元，求出y关于m的一次函数，即可解决问题．
(1)
解：设购进A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x﹣30）元，
根据题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x﹣30=50﹣30=20，
答：A种纪念品每件的进价为50元，B种纪念品每件的进价为20元；
(2)
解：设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，
设利润为y元，
则y＝=20m10=﹣5m+5000，
即y=﹣5m+5000（m≥100），
∵﹣5＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m=100时，y的最大值=﹣5×100+5000=4500，
答：最高利润是4500元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
27．(1)40
(2)88
【解析】
【分析】
（1）设冰墩墩手办的进价是x元，则每个冰墩墩饰扣的进价是元，根据题意列出分式方程求解得到的值，检验后再求得即可；
（2）设每个冰墩墩手办的售价是y元，根据题意列不等式即可求解．
(1)
设冰墩墩手办的进价是x元，则每个冰墩墩饰扣的进价是元，
根据题意列方程得，
解得．
经检验是原分式方程的解，则．
答：冰墩墩饰扣的进价是40元．
(2)
（2）设每个冰墩墩手办的售价是y元．
根据题意列不等式得，
解得．
答：每个冰墩墩手办的售价至少是88元．
【点睛】
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等量关系列出方程和不等式是解题的关键．