2017-2018学年人教版数学九年级下册27.1 图形的相似 同步练习
一、单选题
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
3．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （ ）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似，
故选：A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
4．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
5．（2017九上·深圳期中）如图，ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（ ）
A．2∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶2
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴AD∶AB=DE：BC，
又∵AD∶DB=2∶1，
∴AD∶AB=DE：BC=2：3，
故答案为：C．
【分析】由平行线所截线段成比例得AD∶AB=DE：BC，又由AD∶DB=2∶1，从而得出AD∶AB=DE：BC=2：3，由此即可得出答案.
6．（2017九上·鄞州月考）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵两个相似多边形面积的比为1：5
∴它们的相似比为：1：.
故答案为：D.
【分析】根据相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
7．（2017九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）来
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴=，
又∵BD=2AD，
==
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案.
8．（2017·兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、两边都除以2y，得 = ，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得 = ，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
9．（2017·黄石模拟）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ = ；
∵AO=2，DO=4，BO=3，
∴ = ，解得：CO=6，
∴BC=BO+CO=3+6=9．
故选B．
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到 = ；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC=BO+CO即可解决问题．
10．（2017·港南模拟）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ，得
a= b，
= =﹣ ，
故选：D．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
11．（2017·石家庄模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，A错误；
= ，B错误；
= ，
∴ = ，C正确；
= ，D错误，
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
12．（2017·河北模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）
A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4
C．3，5，9，12 D．2，3，6，12
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
答案中，只有B中，3×（﹣8）=﹣6×4，
故答案为：B．
【分析】其中两数的比等于两外两个数的比，那么这四个数成比例.
13．（2017·苏州模拟）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A，B，C和点D，E，F．若 = ，DE=4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
即 ，
解得：EF=6．
故答案为：C．
【分析】依据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可.
14．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、3×9≠6×7，所以A选项错误；
B、2×8≠5×6，所以B选项错误；
C、3×18=6×9，所以C选项正确；
D、1×4≠2×3，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断．
二、填空题
15．（2017·娄底）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
【答案】5500
【知识点】比例线段
【解析】【解答】我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
【分析】比例尺就是相似比，实际距离是图上距离的67000000倍，因此82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km）.
16．（2017·青浦模拟）若x：y=2：3，那么x：（x+y）= ．
【答案】2：5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故答案为2：5．
【分析】利用合比性质计算．
17．（2017·重庆模拟）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴ ，
即 ，
解得：EC= ．
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例，由DE∥AC，得到 ，求出EC的值即可．
18．若线段x是9和16的比例中项，则线段x的值为 ．
【答案】12
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段x是9和16的比例中项，
∴x2=9×16，
解得x=12．
故答案为：12．
【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可．
19．（2016·深圳模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：DB=1：2，AE=2，则AC= ．
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵ = ，AE=2，
∴EC=4，
∴AC=AE+EC=2+4=6．
故答案为：6．
【分析】根据DE∥BC，求证 = ，将已知数值代入即可求出EC，再将AE加EC即可得出答案．
三、解答题
20．（2016九上·朝阳期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
【答案】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ，∠C=α，∠D=∠D′=140°．
∴x=12， ，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．
21．（2016九上·浦东期中）已知： = = ，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z的值．
【答案】解；设 = = =k，
可得：x=2k，y=3k，z=4k，
把x=2k，y=3k，z=4k代入x﹣y+z=6，
可得：2k﹣3k+4k=6，
解得：k=2，
所以x=4，y=6，z=8，
把x=4，y=6，z=8代入3x﹣2y+z=12﹣12+8=8
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据比例的性质，可用设 = = =k，进而解答即可．
22．（2016九上·九台期中）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
【答案】解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，DF=EC
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴ ，
∵AC=8，BC=12，
∴AF=2，DF=3
∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6，
∴DE=FC=6，DF=EC=3
∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．
答：四边形DECF的周长是18
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出 ，代入求出DF、AE即可求出答案．
23．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
24．如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．
【答案】解：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】欲证点D是AC的黄金分割点，就是证明AC：AD=AD：DC，根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：AD=AD：DC；最后由等腰三角形的性质得到：BC=BD=DA，代换即可．
1 / 12017-2018学年人教版数学九年级下册27.1 图形的相似 同步练习
一、单选题
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个矩形
3．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （ ）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
4．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
5．（2017九上·深圳期中）如图，ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（ ）
A．2∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶2
6．（2017九上·鄞州月考）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
7．（2017九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）来
A． B． C． D．
8．（2017·兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
9．（2017·黄石模拟）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
10．（2017·港南模拟）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2017·石家庄模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
12．（2017·河北模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）
A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4
C．3，5，9，12 D．2，3，6，12
13．（2017·苏州模拟）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A，B，C和点D，E，F．若 = ，DE=4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
14．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4
二、填空题
15．（2017·娄底）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
16．（2017·青浦模拟）若x：y=2：3，那么x：（x+y）= ．
17．（2017·重庆模拟）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．
18．若线段x是9和16的比例中项，则线段x的值为 ．
19．（2016·深圳模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：DB=1：2，AE=2，则AC= ．
三、解答题
20．（2016九上·朝阳期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
21．（2016九上·浦东期中）已知： = = ，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z的值．
22．（2016九上·九台期中）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
23．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
24．如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
2．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
3．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似，
故选：A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
4．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
5．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴AD∶AB=DE：BC，
又∵AD∶DB=2∶1，
∴AD∶AB=DE：BC=2：3，
故答案为：C．
【分析】由平行线所截线段成比例得AD∶AB=DE：BC，又由AD∶DB=2∶1，从而得出AD∶AB=DE：BC=2：3，由此即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵两个相似多边形面积的比为1：5
∴它们的相似比为：1：.
故答案为：D.
【分析】根据相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴=，
又∵BD=2AD，
==
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、两边都除以2y，得 = ，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得 = ，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
9．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴ = ；
∵AO=2，DO=4，BO=3，
∴ = ，解得：CO=6，
∴BC=BO+CO=3+6=9．
故选B．
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到 = ；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC=BO+CO即可解决问题．
10．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ，得
a= b，
= =﹣ ，
故选：D．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
11．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，A错误；
= ，B错误；
= ，
∴ = ，C正确；
= ，D错误，
故选：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
12．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
答案中，只有B中，3×（﹣8）=﹣6×4，
故答案为：B．
【分析】其中两数的比等于两外两个数的比，那么这四个数成比例.
13．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
即 ，
解得：EF=6．
故答案为：C．
【分析】依据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可.
14．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、3×9≠6×7，所以A选项错误；
B、2×8≠5×6，所以B选项错误；
C、3×18=6×9，所以C选项正确；
D、1×4≠2×3，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断．
15．【答案】5500
【知识点】比例线段
【解析】【解答】我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
【分析】比例尺就是相似比，实际距离是图上距离的67000000倍，因此82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km）.
16．【答案】2：5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故答案为2：5．
【分析】利用合比性质计算．
17．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴ ，
即 ，
解得：EC= ．
故答案为： ．
【分析】根据平行线分线段成比例，由DE∥AC，得到 ，求出EC的值即可．
18．【答案】12
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段x是9和16的比例中项，
∴x2=9×16，
解得x=12．
故答案为：12．
【分析】根据比例中项的定义列方程求解即可．
19．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵ = ，AE=2，
∴EC=4，
∴AC=AE+EC=2+4=6．
故答案为：6．
【分析】根据DE∥BC，求证 = ，将已知数值代入即可求出EC，再将AE加EC即可得出答案．
20．【答案】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ，∠C=α，∠D=∠D′=140°．
∴x=12， ，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．
21．【答案】解；设 = = =k，
可得：x=2k，y=3k，z=4k，
把x=2k，y=3k，z=4k代入x﹣y+z=6，
可得：2k﹣3k+4k=6，
解得：k=2，
所以x=4，y=6，z=8，
把x=4，y=6，z=8代入3x﹣2y+z=12﹣12+8=8
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据比例的性质，可用设 = = =k，进而解答即可．
22．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，DF=EC
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴ ，
∵AC=8，BC=12，
∴AF=2，DF=3
∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6，
∴DE=FC=6，DF=EC=3
∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．
答：四边形DECF的周长是18
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出 ，代入求出DF、AE即可求出答案．
23．【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
24．【答案】解：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】欲证点D是AC的黄金分割点，就是证明AC：AD=AD：DC，根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：AD=AD：DC；最后由等腰三角形的性质得到：BC=BD=DA，代换即可．
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