冀教版数学七年级下册同步课件：9.3三角形的角平分线、中线、高(共23张PPT)

(共23张PPT)
第九章 三角形
9.3 三角形的角平分线、中线、高
知识回顾
2.线段中点的定义：
1.角的平分线的定义：
3.垂线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
把一条线段分成两条相等的线段的点.
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
情景导入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
获取新知
知识点
三角形的角平分线
1
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
问题2 你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗
Ｃ
Ａ
Ｂ
答：∠AOC=∠BOC = ∠AOB
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
A
C
B
Ｄ
知识要点
1
2
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
A
B
C
D
∠1=∠2
注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段．
AD是△ABC的角平分线，
练一练 如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°,则∠EAD=( )
A.60°
B.40°
C.20°
D.10
C
C
A
B
D
E
问题3
分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中，画出它们的角平分线，观察它们有什么特点
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
归纳：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，三角形的三条角平分线交于一点.
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
合作探究
问题2 类比三角形的角平分线的概念，试说明什么叫三角形的中线？
知识点
三角形的中线
2
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.
如图，在△ABC中，线段AD是△ABC的边BC上的中线，则BD=DC= BC.
想一想：由三角形的中线你能得到什么结论？
知识要点
问题3 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
归纳：一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，三角形的三条中线交于一点.
B
A
C
D
E
F
O
三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心.
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O，则点O为△ABC的重心.
B
你还记得如何“过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
知识点
三角形的高线
3
A
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线
作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三
角形的高线，简称三角形的高.
B
C
D
如图, 线段AD是BC边上的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
∵AD是△ABC的高，
∴∠BDA=∠CDA=90°
几何语言：
知识要点
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形，试着画出这个三角形的三条高
锐角三角形的三条高交于一点.
O
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
A
B
C
D
E
F
直角三角形的三条高
A
B
C
画出一个直角三角形，画出直角三角形的三条高,
直角边BC边上的高是 ;
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是 ;
BD
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
归纳：三角形有三条高，这三条高(或高所在直线）相交于一点.
(1)锐角三角形的高交于三角形内一点；
(2)直角三角形的高交于直角的顶点；
(3)钝角三角形的高所在直线交于三角形外一点.
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
例题解析
例 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
随堂演练
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
3. 如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ABD边AD上的中线( )
③BE是△ABC边AC上的中线( )
④CH是△ACD边AD上的高( )
×
×
×
√
4.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°， ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵AE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，
∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
三角形的 重要线段 概念 图示 表述方式
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,_____和_____之间的_____
三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边____的____
三角形的 角平分线 三角形一个内角的________与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的____
顶点
垂足
线段
中点
线段
平分线
线段
A
B
D
C
A
B
D
C
∵ AD是△ABC的中线.
∴ BD=CD= BC.
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
∵.AD是∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
A
B
D
C
1
2
课堂小结