冀教版数学七年级下册同步课件：11.3 第2课时 用完全平方公式分解因式（22张PPT）

(共22张PPT)
第十一章 因式分解
11.3 第2课时 用完全平方公式分解因式
知识回顾
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
问题导入
多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？
a2＋2ab＋b2
=a2＋ab＋ab＋b2
=a(a＋b)＋b(a＋b)
=(a＋b)(a＋b)
a2－2ab＋b2
=a2－ab－ab＋b2
=a(a－b)－b(a－b)
=(a－b)(a－b)
=(a＋b)2
=(a－b)2
提公因式
提公因式
分组
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
整式乘法
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
(a－b)2=a2－2ab＋b2
a2＋2ab＋b2=(a＋b)2
a2－2ab＋b2=(a－b)2
因式分解
前边我们学习了乘法公式：
根据乘法公式，你能将多项式 与多项式 分解因式吗？
知识点
用完全平方公式分解因式
1
获取新知
　　 把整式的乘法公式——完全平方公式
反过来就得到因式分解的完全平方公式：
这样，我们也可以利用完全平方公式把一些多项式分解因式了.
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
③ a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
② m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
① x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x+2
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
2
m
3
做一做
例1 把下列各式分解因式：
(1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn
解：(1)t2＋22t＋121
=t2＋2×11t＋112
=(t＋11)2；
例题讲解
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
获取新知
知识点
完全平方公式的结构特征
2
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
=(a ± b)
a2
首2 +
+尾2
±2×首×尾
=(首±尾)2
下面的多项式能否用完全平方公式分解因式 请说明理由.
(1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l；
(3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2.
(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.
(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.
(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.
(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.
火眼金睛
解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4
=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
=(x＋y－2)2
例2 把下列各式分解因式：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ .
例题讲解
方法点拨：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解.
例3 把下列各式因式分解：
(1) ax2＋2a2x＋a3；(2)－2x2－8y2＋8xy.
解：(1) ax2＋2a2x＋a3 ＝ a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a+b)2
(2)－2x2－8y2＋8xy＝ －2(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2
2 a b
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，
一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．
注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
练一练：把多项式4a2b＋4ab2＋b3因式分解，正确的是( )
A.a(2a＋b)2
B.b(2a＋b)2
C.b(a＋2b)2
D.4b(a＋b)2
B
例4 计算下列各题：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算。
=1.
＝2500.
随堂演练
1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
2. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　)
A．64 B．48
C．32 D．16
A
3. 分解因式：
（1）x2-12x+36； （2）－4a2－8ab－4b2 ；
（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1.
解：(1)原式 =x2-2·x·6+62=(x-6)2;
(2)原式 =－4(a2＋2ab＋b2)=－4(a＋b)2;
(3)原式 =[2(2a+b)] - 2·2(2a+b)·1+1 =(4a+2b - 1)2.
4.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
课堂小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
完全平方公式分解因式