冀教版数学七年级下册同步课件：11.3 第1课时 用平方差公式分解因式(共17张PPT)

(共17张PPT)
第十一章 因式分解
11.3 第1课时 用平方差公式分解因式
知识回顾
1.什么叫把多项式分解因式
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把多项式分解因式.
2.已学过哪一种分解因式的方法
提公因式法
问题导入
填空:
(1)(x＋5)(x－5)=　　　　;
(2)(3x＋y)(3x－y)=　　　　;
(3)(3m＋2n)(3m－2n)=　　　　.
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x2－25=　　 　　;
(2)9x2－y2=　 　　　;
(3)9m2－4n2=　　 　　.
x2－25
9x2－y2
9m2－4n2
(x＋5)(x－5)
(3x＋y)(3x－y)
(3m＋2n)(3m－2n)
获取新知
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
知识点
平方差公式的结构特点
1
平方差公式的特点
公式左边
公式右边
共有___项，
两项符号______，
且都是________.
两个数的和乘以这两个数的差.
√
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
（6）m2-1
火眼金睛
×
√
试一试：试着将下面的多项式分解因式.
(1)p2－16=　　 　　;
(2)y2－4=　 　　　;
(3)x2－ =　　 　　;
(4)4a2－b2=　　 　　.
(p＋4)(p－4)
(y＋2)(y－2)
(2a＋b)(2a－b)
知识点
用平方差公式进行因式分解
2
例1 把下列各式分解因式:
(1)4a2-9b2;
(2)(3m-1)2-9.
(1)4a2-9b2=
解：
(2a)2-(3b)2
=(2a+3b)(2a-3b)
a2 - b2 = (a+b) (a-b)
(2)(3m-1)2-9=
(3m-1)2 - 32
=(3m-1+3）(3m-1-3)
=(3m+2)(3m-4)
例题讲解
练一练：分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
解：(1)原式＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)；
(2)原式＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝4(2m＋n)(m＋2n) ．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
例2 把下列各式分解因式.
(1)a3－16a; (2)2ab3－2ab.
(2)2ab3－2ab
=2ab(b2－1)
=2ab(b＋1)(b－1).
解:(1)a3－16a
=a(a2－16)
=a(a＋4)(a－4).
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
知识点
提公因式法和平方差公式的综合运用
3
练一练： 把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A.x(x2－9)
B.x(x－3)2
C.x(x＋3)2
D.x(x＋3)(x－3)
D
归纳：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
温馨提示：
（1）公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解;
（2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式；
（3）注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
例3 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
随堂演练
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.若a+b=3，a-b=7，则a2-b2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
B
3.把下列各式分解因式：
x2－4＝______________．
a2－4b2＝______________．
a3－a＝______________；
9xy3-36x3y=_________________.
(x＋2)(x－2)
(a＋2b)(a－2b)
a(a＋1)(a－1)
9xy(y+2x)(y-2x)
4.分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a-1).
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.