人教版数学九年级上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习
一、单选题
1．（2017·天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S阴影=（ ）
A．2π B． π C． π D． π
2．（2017·黔东南）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．4
3．（2017·广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
4．（2017·湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣4 C．4π D．2π
5．（2017·河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
6．（2017·呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
7．把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度刻恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（ ）
A．3 cm B．3.25 cm C．2 cm D．4 cm
8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．OD⊥AC于D，OC与BD交于E，若BD=6，则DE等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若 的度数为60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．30° C．35° D．45°
10．下面说法正确的是（ ）
A．圆上两点间的部分叫做弦
B．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
C．圆周角度数等于圆心角度数的一半
D．90度的角所对的弦是直径
11．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A=60°，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∠ADC=25°，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．50° C．30° D．45°
二、填空题
13．（2017·襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
14．（2017·大连）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm．
15．（2017·内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 ，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是 ．．
16．（2017·随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
17．（2017·遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
18．（2017·长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．
19．（2017·惠阳模拟）如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．
20．（2017·荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为 ．
三、解答题
21．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB长为6．求弦AB与 所围成的阴影部分的面积．
22．已知：如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，且CD=24，BE=8，求⊙O的半径．
23．（2012·南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
24．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF DA．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE cot60°=2 × =2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE CE= ﹣2 +2 = ．
故选B．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE= OC=1，最后由垂径定理得出结论．
3．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB=90°
∴AE=EB，∠AOE=∠BOC=45°，
∴S△AOE=S△OEB，
∴S阴=S扇形OBC= =2π，
故选D．
【分析】首先证明S△AOE=S△OEB，可得S阴=S扇形OBC，由此即可解决问题．
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ = ，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
【分析】根据垂径定理推出 = ，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
6．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ，
∴OA= ×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
故选B．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM= AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA= ×13，于是得到结论．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r= =3.25cm．
故选B．
【分析】连接OA交BC于点E，根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CB，如图：
∵AC是弦，OD⊥AC于D，
∴AD=DC，
∵OA=OB，
∴OD= BC，OD∥BC，
∴△DEO∽△BCE，
∴ ，
∵BD=6，
∴DE=2．
故选B
【分析】根据相似三角形的判定和性质进行解答．
9．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴ ，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠BDC= ∠BOC=30°，
故选：B．
【分析】由垂径定理得出相等的弧，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根据圆周角定理求解．
10．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、错误．圆上两点间的部分叫做弧．
B、正确．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C、错误．同弧所对的圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半．
D、错误.90度的圆周角所对的弦是直径．
故选B．
【分析】根据弧、垂径定理、圆周角定理、90度圆周角的性质一一判断即可．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD= =30°．
∴BD=OB cos30°=5× = ．
∵OD⊥BC，
∴BC=2BD=5 ．
故选C．
【分析】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由三角形的性质得出∠OBD度数，根据垂径定理可知BC=2BD，进而可得出结论．
12．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA⊥BC，
∴ = ，
∴∠AOB=2∠ADC=2×25°=50°．
故选B．
【分析】由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得： = ，然后由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数．
13．【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
14．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
∵OC=3，
∴OA= = =5．
故答案为：5．
【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
15．【答案】π﹣
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE= ，
∵OC= ，
∴OE= ，
∴∠OCE=30°，
∴∠COD=120°，
∴图中阴影部分面积= ﹣ ×3× =π﹣ ，
故答案为：π﹣ ．
【分析】根据垂径定理得到CE= ，根据勾股定理得到OE= ，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．
16．【答案】35
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= AOC=35°，
故答案为35．
【分析】首先利用垂径定理证明， = ，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC= AOC=35°．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE= OM= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE= = ，
∴CD=2DE= ；
故答案为： ．
【分析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE= OM= ，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE= ，得出CD=2DE= 即可．
18．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD= ×6=3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE= CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
19．【答案】4
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAD=30°，BE=2，
∴∠C=∠BAD=30°．
∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，CD=2CE，
∴BC=2BE=4，
∴CE= = =2 ，
∴CD=2CE=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由CD⊥AB可知∠CEB=90°，CD=2CE，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
20．【答案】2 ﹣ π
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
21．【答案】解：∵OA=OB=AB=6，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
作OC⊥AB于C，则AC=BC=3，
∴OC= ，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB= = ．
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】利用扇形面积公式以及三角形面积求法计算得出即可．
22．【答案】解：连接OD，设⊙O的半径为r，
则OE=r﹣8，
∵直径AB⊥弦CD于点E，且CD=24，
∴DE= CD=12，
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=r﹣8，DE=12，OE2+DE2=OD2，
∴（r﹣8）2+122=r2，解得r=13．
答：⊙O的半径是13．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣8，再根据勾股定理求出r的值即可．
23．【答案】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE= AB= ×30=15cm，CF= CD= ×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE= = =8cm，
在Rt△OCF中，
OF= = =15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
24．【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF DA，
∴DE2=DF DA．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF DA，据此可得DE2=DF DA．
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习
一、单选题
1．（2017·天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S阴影=（ ）
A．2π B． π C． π D． π
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE cot60°=2 × =2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE CE= ﹣2 +2 = ．
故选B．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．
2．（2017·黔东南）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE= OC=1，最后由垂径定理得出结论．
3．（2017·广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD=2OB B．CE=EO
C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
4．（2017·湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣4 C．4π D．2π
【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB=90°
∴AE=EB，∠AOE=∠BOC=45°，
∴S△AOE=S△OEB，
∴S阴=S扇形OBC= =2π，
故选D．
【分析】首先证明S△AOE=S△OEB，可得S阴=S扇形OBC，由此即可解决问题．
5．（2017·河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ = ，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
【分析】根据垂径定理推出 = ，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．
6．（2017·呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ，
∴OA= ×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
故选B．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM= AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA= ×13，于是得到结论．
7．把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度刻恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（ ）
A．3 cm B．3.25 cm C．2 cm D．4 cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r= =3.25cm．
故选B．
【分析】连接OA交BC于点E，根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．
8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．OD⊥AC于D，OC与BD交于E，若BD=6，则DE等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CB，如图：
∵AC是弦，OD⊥AC于D，
∴AD=DC，
∵OA=OB，
∴OD= BC，OD∥BC，
∴△DEO∽△BCE，
∴ ，
∵BD=6，
∴DE=2．
故选B
【分析】根据相似三角形的判定和性质进行解答．
9．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若 的度数为60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．30° C．35° D．45°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴ ，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠BDC= ∠BOC=30°，
故选：B．
【分析】由垂径定理得出相等的弧，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根据圆周角定理求解．
10．下面说法正确的是（ ）
A．圆上两点间的部分叫做弦
B．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
C．圆周角度数等于圆心角度数的一半
D．90度的角所对的弦是直径
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、错误．圆上两点间的部分叫做弧．
B、正确．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C、错误．同弧所对的圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半．
D、错误.90度的圆周角所对的弦是直径．
故选B．
【分析】根据弧、垂径定理、圆周角定理、90度圆周角的性质一一判断即可．
11．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A=60°，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD= =30°．
∴BD=OB cos30°=5× = ．
∵OD⊥BC，
∴BC=2BD=5 ．
故选C．
【分析】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由三角形的性质得出∠OBD度数，根据垂径定理可知BC=2BD，进而可得出结论．
12．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∠ADC=25°，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．50° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA⊥BC，
∴ = ，
∴∠AOB=2∠ADC=2×25°=50°．
故选B．
【分析】由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得： = ，然后由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数．
二、填空题
13．（2017·襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
14．（2017·大连）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
∵OC=3，
∴OA= = =5．
故答案为：5．
【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
15．（2017·内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 ，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是 ．．
【答案】π﹣
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE= ，
∵OC= ，
∴OE= ，
∴∠OCE=30°，
∴∠COD=120°，
∴图中阴影部分面积= ﹣ ×3× =π﹣ ，
故答案为：π﹣ ．
【分析】根据垂径定理得到CE= ，根据勾股定理得到OE= ，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．
16．（2017·随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
【答案】35
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= AOC=35°，
故答案为35．
【分析】首先利用垂径定理证明， = ，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC= AOC=35°．
17．（2017·遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE= OM= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE= = ，
∴CD=2DE= ；
故答案为： ．
【分析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE= OM= ，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE= ，得出CD=2DE= 即可．
18．（2017·长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD= ×6=3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE= CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
19．（2017·惠阳模拟）如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．
【答案】4
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAD=30°，BE=2，
∴∠C=∠BAD=30°．
∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，CD=2CE，
∴BC=2BE=4，
∴CE= = =2 ，
∴CD=2CE=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由CD⊥AB可知∠CEB=90°，CD=2CE，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
20．（2017·荆门）已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为 ．
【答案】2 ﹣ π
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S△OCD﹣S扇形BOC﹣ 2×2 ﹣ =2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°， = ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结论．
三、解答题
21．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB长为6．求弦AB与 所围成的阴影部分的面积．
【答案】解：∵OA=OB=AB=6，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
作OC⊥AB于C，则AC=BC=3，
∴OC= ，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB= = ．
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】利用扇形面积公式以及三角形面积求法计算得出即可．
22．已知：如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，且CD=24，BE=8，求⊙O的半径．
【答案】解：连接OD，设⊙O的半径为r，
则OE=r﹣8，
∵直径AB⊥弦CD于点E，且CD=24，
∴DE= CD=12，
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=r﹣8，DE=12，OE2+DE2=OD2，
∴（r﹣8）2+122=r2，解得r=13．
答：⊙O的半径是13．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣8，再根据勾股定理求出r的值即可．
23．（2012·南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
【答案】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE= AB= ×30=15cm，CF= CD= ×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE= = =8cm，
在Rt△OCF中，
OF= = =15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
24．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF DA．
【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF DA，
∴DE2=DF DA．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF DA，据此可得DE2=DF DA．
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