冀教版数学八年级下册同步课件：22.3 三角形的中位线(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二十二章 四边形
22.3 三角形的中位线
知识回顾
复行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AB=CD
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
情景导入
思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！
获取新知
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
D
E
知识点
三角形的中位线定义
1
一起探究
问题 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
A
B
C
D
E
F
延伸思考
三角形中位线和中线有什么区别？
中位线是两边中点的连线
中线是一个顶点和
对边中点的连线
问题1 △ABC中的3条中位线DE,DF,EF分出的4个小三角形，将它们叠合在一起，它们能完全重合吗？
D
E
F
A
B
C
四个三角形是全等的，所以叠合在一起能完全重合
知识点
三角形的中位线定理
2
问题2 将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°,使得点A和点C重合，四边形DBCF是平行四边形吗？由此发现的DE与BC的位置关系和数量关系有什么结论吗？
D
A
B
C
E
F
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE∥BC，且DE= BC.
A
B
C
D
E
证明猜想
证明：延长DE到点F，使EF=DE.连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴ △ADE≌△CFE.
∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AD∥CF，即BD∥CF.
又∵BD=AD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DE∥BC，且DF=BC.
∴DE= DF= BC.
A
B
C
D
E
F
同学们还有其他添加辅助线的方法吗？
A
B
C
E
D
F
证法二：如图，延长DE至F，
使EF=DE，
连接CD、AF、CF，
∵AE=EC
∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD FC
又D为AB中点，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE// BC 且DE=EF= BC ．
C
E
D
F
B
A
证法三：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴ AD=FC
又DB=AD，
∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DE// BC 且DE=EF= BC ．
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
归纳总结
几何语言描述：
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.
D
E
位置关系
数量关系
三角形中位线定理是证明两线的平行关系、线段的倍分关系重要理论依据之一.
例题讲解
例1 已知：如图，在三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，AC=12，BC=16， 求四边形DECF的周长.
解：在△ABC中，
∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE=FC= AC=6.
同理DF=EC= BC=8.
∴四边形DECF的周长= DE+FC+DF+EC=28.
B
C
F
D
E
A
例题讲解
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点. 求证：PMN是等腰三角形.
A
B
C
D
M
N
P
证明：在△ABD中，
∵N，P分别为AB，BD的中点，
∴PN= AD.
同理PM= BC.
又∵AD=BC，
∴PN=PM.
∴ △PMN是等腰三角形.
随堂演练
1. 如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=10,且AD=4,CE=5,
则下列线段中是△ABC的中位线的是(　　)
A.线段CD B.线段BE
C.线段DE D.线段AE
C
2.A,B两村相隔一座大山，你能想办法测出A,B两村的直线距离AB的大小吗？若MN=360 m，则AB=_______.
A
B
C
M
N
720 m
3. 如图,顺次连接四边形ABCD四边的中点E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定是　 　.
平行四边形
4. 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，求AC的长.
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
5.如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵ ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= CD，
∴OE= BC，
∴△DOE的周长为OD+OE+DE=
（BD+BC+CD）=15，
即△DOE的周长为15．
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
课堂小结