冀教版数学八年级下册同步课件：22.4 第2课时 矩形的判定(共20张PPT)

(共20张PPT)
第二十二章 四边形
22.4 第2课时 矩形的判定
知识回顾
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
问题1：什么样的图形是矩形？
有一个角是直角
平行四边形
矩形
┐
问题2：矩形有哪些性质呢？
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
边
对角线
角
矩形
情景导入
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
获取新知
一起探究
分析矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
由定义识别：
∵□ABCD，∠A=90°.
∴ □ ABCD是矩形.
①
②
A
B
C
D
问题1 除了定义以外，矩形的性质的逆命题能否作为矩形判定的方法呢？
性质：矩形的四个角都是直角
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形
条件
结论
条件
结论
？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°.
∴ ABCD是矩形.
矩形的判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例题讲解
例1 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°.
同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
性质：矩形的对角线相等
逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形
条件
结论
条件
结论
？
获取新知
问题2 我们知道矩形的对角线相等，反过来，它的逆命题能否作为矩形判定的方法呢？
已知：在 ABCD，AC=BD.
求证： ABCD是矩形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC.
在△ABD和△BAC中，∵ AD=BC，AB=BA，AC=BD，
∴△ABD≌△BAC，∴ ∠DAB=∠CBA.
又∵ AD//BC.
∴ ∠DAB+∠CBA=180°.∴∠DAB=∠CBA= 90°.
∴□ ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
归纳总结
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，
∵ AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例题讲解
例2 已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点，
∴OE=OG=OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF，
∴四边形EFGH是矩形.
随堂演练
1. 如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　)
A．AB＝BC
B．AO＝BO
C．∠1＝∠2
D．AC⊥BD
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,P为边BC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AP=4，则EF的值为(　　)
A．3
B．4
C．2.4
D．2.5
B
3. 如图,木工师傅要做一个矩形木框,做好以后测量得长AB=CD=80 cm,宽AD=BC=60 cm,对角线AC的长为1 m,则这个木框　　　(填“合格”或“不合格”),判定的依据是　　 　　　　　　　　　　　.
合格　
有一个角是直角的平行四边形是矩形
4. 如图，在 ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件______________________，使四边形DBCE是矩形．
EB＝DC(答案不唯一)
5. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在CB的延长线上,且BE=BC,DE=DC,连接AE.
求证:四边形AEBD是矩形.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,CD=AB.
∵BC=BE,∴AD=BE.
又AD//BE,∴四边形AEBD是平行四边形.
∵DE=DC,∴AB=DE,
∴平行四边形AEBD是矩形.
课堂小结
矩形的判定方法：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等