冀教版数学八年级下册同步课件：22.6 正方形(共18张PPT)

(共18张PPT)
第二十二章 四边形
22.6 正方形
知识回顾
问题1 平行四边形、矩形、菱形都有哪些性质？
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等
具有平行四边形所有性质
菱形
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
具有平行四边形一切性质
问题2 你是如何判定矩形、菱形的？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
三个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
获取新知
邻边相等
矩形
正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形
2.正方形的四个角都是直角；
3.四条边相等，对边平行；
4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，也平分一组对角.
A
B
C
D
对称中心
对称轴1
对称轴2
对称轴3
对称轴4
正方形既是矩形又是菱形，所以要判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.　
一个角是直角　
一组邻边相等　　
平行四边形 　
矩形 　
菱形 　
一组邻边相等　　
一个角是直角　
正方形　
判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
归纳总结
判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
判定定理4：对角线相等的菱形是正方形.
例题讲解
例1 如图:在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,
那么BE与DE相等吗 为什么
A
B
C
D
E
解：相等
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB,AE=AE,∠DAC=∠BAC=45°
∴ AED≌ AEB
∴BE=DE
还有其他的思路吗？能不能从对称性上说明呢？
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
随堂演练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
B
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角形互相垂直平分
B
3. 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
4.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
课堂小结
四条边都相等
两组对边分别平行
两条对角线互相平分
边
对角线
角
两组对角分别相等，邻角分别互补
四个角都是直角
对角线相等
正方形
对称性
中心对称图形（对角线的交点）
轴对称图形（对角线和对边中点所在的直线）
两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
1. 正方形的性质
4种识别方法
三个角是直角
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2. 正方形的判定
四条边都相等