冀教版数学九年级下册同步课件：29.4 切线长定理(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二十九章 直线与圆的位置关系
29.4 切线长定理
一、切线的性质有哪些？
二、切线的判定方法有哪些？
1.定义
2.圆心到切线的距离=半径
3.性质定理：过圆心、过切点、垂直于切线知二推一.
1.定义：有且只有一个公共点
2.圆心到切线的距离与半径的数量关系判定
3.判定定理：
连半径，证垂直.
作垂直，证半径.
知识回顾
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
情景导入
P
O
B
A
O.
P
获取新知
一起探究
问题 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，
如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点
作圆的切线，可以作几条？
O
P
A
B
连接OP，以OP为直径作圆，交⊙O于A，B两点.
连接PA，PB
PA，PB是⊙O的切线吗？猜想PA，PB具有怎样的数量关系？你能证明你的猜想吗？
猜想：PA=PB
证明：如图，连接OA，OB，OP.
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP=∠OBP=90°.
又∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB.
已知，如图，P是☉O外一点，PA，PB分别与☉O相切于点A，B.
求证：PA=PB.
O
P
A
B
P
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别
一、切线长的定义
获取新知
B
P
O
A
过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB
几何语言:
二、切线长定理
切线长定理为证明线段相等提供了新方法
归纳拓展
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
B
P
O
A
C
E
D
（1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC
（3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB.
（4）图中所有的全等三角形:
△AOP≌ △BOP，
△AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP.
（5）图中所有的等腰三角形:
△ABP △AOB
O
P
A
B
C
D
Q
例1 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧
AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，
PB相交于点C，D.
求证：△PCD的周长等于2PA.
例题讲解
证明：
∵PA，PB，CD都是⊙O的切线，
∴PA=PB ， CQ=CA，DQ= DB.
∴△PCD的周长= PC+PD+CD
= PC+PD+CQ+DQ
= PC+PD+CA+DB
= PA+PB=2PA.
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
一起探究
问题1 从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使
圆的面积尽可能最大呢？
问题2 如何做出与三边都相切的圆？
A
B
C
设圆心为O，⊙O与三边分别相切于点D、E、F.
O
D
E
F
连接OD、OE、OF，则OD=OE=OF
且OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC
因此点O在∠A、∠B、∠C的角平分线上.
结论：以三角形的三个角平分线的交点为圆心，以这个交点到三角形边的距离为半径作圆.
A
B
C
M
N
I
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为I.
2.过点I作ID⊥BC.垂足为D.
3.以I为圆心，ID为半径作圆I.
例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的三边都相切.
已知：如图，△ABC
求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切.
例题讲解
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
B
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
5.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，
点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形.
三角形的内切圆
获取新知
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC－AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB－AF=13-x(cm).
∴（13-x)+(9-x)=14,解得x=4.
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
A
C
B
E
D
F
O
∵AB,BC,AC是⊙O的切线
例题讲解
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
C
随堂演练
2.如图，一圆内切于四边形ABCD，切点分别为E，F，G，H，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
A.50
B.52
C.54
D.56
B
3.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则Δ PDE的周长为（ ）
A .16cm
D .8cm
C.12cm
B. 14cm
A
D
C
B
E
P
5.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为_________.
4.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_________.
70°
3
π
6.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
O
Q
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点
连接两切点
连接圆心和圆外一点
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
有关概念
内心概念及性质
应用
课堂小结