冀教版数学九年级下册同步课件：30.2 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质(共22张PPT)

(共22张PPT)
第三十章 二次函数
30.2 第1课时 二次函数y=ax 的图像和性质
一条直线
②影响直线的有哪些因素？
k影响直线的上升、下降趋势.
当k＞0时，直线自左向右呈上升趋势.
当k＜0时，直线自左向右呈下降趋势.
b影响直线与y轴的交点.
当b＞0,b=0,b＜0时，直线与y轴的交点分别在y轴的正半轴，过原点，y轴的负半轴.
k和b
问题1： 一次函数 的图像是什么？
①
复习导入
双曲线
②影响双曲线的因素是什么？
当k＞0时，双曲线位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小.
当k＜0时，双曲线位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.
常数k
问题2： 反函数 的图像是什么？
①
思考：
由前面的结论可知，常数a、b、c对于二次函数的图像都会产生影响.
常数a、b、c
对于二次函数 来说，影响其
图像的因素是哪些？
获取新知
画出二次函数y=x2的图像.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
二次函数y=ax2的图像与性质
一起探究
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图像．
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y = x2
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
观察与思考
1.若将y=x2的图像沿着y轴对折，y轴两侧的部分能够完全重合吗？y=x2的图像是不是轴对称图形？如果是，那么它的对称轴是哪条直线？
2.y=x2的图像有最低点吗？如果有，那么最低点的坐标是什么？
是轴对称图形，对称轴是y轴
有最低点，坐标是(0,0)
y = x2
观察：在下面的直角坐标系中，依次展示了y=x2，y=2x2以及对应的y=-x2，y=-2x2的函数图像
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y = x2
1
2
3
4
5
x
1
O
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
做一做
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
y = 2x2
x
1
y
-2
-4
-6
0
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-10
思考：对比函数y=x2与y=-x2，以及y=2x2与y=-2x2的图像
(1)图像的开口方向和它的最高（或最低）点与a的符号具有怎样的关系呢？
(2)图像是不是轴对称图形呢？如果是，那么它的对称轴是那条直线呢？
a>0，开口向上，有最高点；
a<0，开口向下，有最低点
图像是轴对称图形，对称轴是y轴
(3)根据图像，说明y的值随x的值的增大而变化的情况.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y = x2
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
y = 2x2
（a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
y
1
2
3
4
5
x
1
O
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
1
y
-2
-4
-6
0
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-10
（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
二次函数y=ax2 的图像是一条关于y轴对称的曲线，
这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线
的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线
的顶点.
知识要点
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
归 纳
二次函数y=ax2的图像与性质
为了方便起见，我们把y轴记为直线x=0，把过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=a;
把x轴记为直线y=0，把过点(0,b)且垂直于y轴的直线记为直线y=b
例1.一个二次函数，它的图像的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（1， ）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
例题讲解
（1）求这个二次函数的解析式；
分析：
由已知中二次函数图像顶点为原点，对称轴为y轴，可推断此函数符合
解：设这个二次函数解析式为
（2）画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时, y随x增大而减小；
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
当x=0时，y有最小值为0.
随堂演练
1. 下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(　　)
A．图像的对称轴是y轴
B．图像的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
D
2.函数y=-3x2的图像的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向下
y轴
(0,0)
减小
增大
3. 如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图像,则k的取值范围是 .
x
y
k>1
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
课堂小结
二次函数y=ax2的图像及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图像
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性