冀教版数学九年级下册同步课件：30.2 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(共24张PPT)

(共24张PPT)
第三十章 二次函数
30.2 第3课时 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
1.一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的______ 相同，______不同.
形状
位置
上加下减
左加右减
y=a(x-h) +k
y=ax
知识回顾
2.抛物线y=a(x-h)2+k的有关知识点:
（1）当a﹥0时，开口 ， 当a﹤0时，开口 ，
（2）对称轴是 ；
（3）顶点坐标是 .
向上
向下
直线x=h
(h,k)
在一场足球比赛中,一名球员从球门正前方10米处起脚射门,当球飞行的水平距离为6米时达到最高点,此时球距地面的高度为3米.如图所示,建立直角坐标系,当球飞行的路线为抛物线时,你能求出抛物线的表达式吗？
情景导入
问题： 如何画出 的图像呢
我们知道，像y =a(x-h)2+k 这样的函数,容易确定 其顶点为(h,k).
分析：
画二次函数图像，要先确定其顶点坐标，再取点.
因此只需要把 化为顶点式即可.
获取新知
一起探究
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
提取二次项系数
配方
整理
化简:去掉中括号
活动一 把函数y= x -6x+21 转化成y=a(x-h）2+k的形式.
探究发现
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方式；
(3)“化”：化成顶点式.
总结步骤
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… …
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).
活动二 根据顶点式 确定对称轴,顶点坐标.
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
●
●
●
●
●
●
●
（6,3）
O
x
5
5
10
活动三 描点、连线，画出函数 图像.
y
问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题2 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
其实就是二次函数
问题3 结合二次函数 的图像，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
一般式与顶点式的转化
问题 如何将二次函数y=ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2 ＋k的形式呢？
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
一起探究
小结
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
这种求顶点坐标的方法叫公式法
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x的变化情况 最值
y=ax2＋bx＋c (a>0)
y=ax2＋bx＋c (a<0)
向上
向下
x=-
x=-
( , )
( , )
当x<- 时,y随x的增大而减小;
当x>- 时,y随x的增大而增大
当x<- 时,y随x的增大而增大;
当x>- 时,y随x的增大而减小
当x=- 时,
y最小=
当x=- 时,
y最大=
归纳总结
解:∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2.
∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,-2).
(1)列表:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y=x2+2x-1 … 2 -1 -2 -1 2 …
(2)在直角坐标系中,描点,连线,即得二次函数y=x2+2x-1的图像,如图所示.
例1 求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标,并画出它的图像.
例题讲解
方法总结
1.在求一般形式的二次函数的图像的对称轴及顶点坐标时,通常有两种方法:
一是先将其配方,化y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式;二是直接利用公式求顶点坐标.
2.若抛物线与x轴有交点,则最好选取交点进行描点,特别是在画抛物线的草图时,应注意以下五点:开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
故该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
∴
∴p=-12,q=-13.
解:(1)∵y=-2x2+px+q= .
例2 根据下列条件,确定抛物线的表达式.
(1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5).
(2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6).
(2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式,即
解得
故该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
随堂演练
1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为 (　　)
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2
D
2. 关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　　)
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
D
3.把二次函数y＝－2x2－4x＋1配成y＝a(x－h)2＋k的形式为______________，所以其图象的开口向___，对称轴是直线_____，顶点坐标为______．
y＝－2(x＋1)2＋3
下
x=-1
(-1,3)
4.把抛物线y＝2x2－4x＋3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________．
y＝2x2＋1
5.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象过点(6，0)，(－2，8)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出它的对称轴和顶点坐标．
解：(1)∵y＝ax2＋bx的图象过点(6，0)，(－2，8)，
∴二次函数的解析式为
(2)二次函数 配方后为
∴二次函数的对称轴为x=3，
顶点坐标为
二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质
图像
性质
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点是
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
课堂小结