冀教版数学九年级下册同步课件：30.3 由不共线的三点的坐标确定二次函数(共18张PPT)

(共18张PPT)
第三十章 二次函数
30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数
问题1 一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
问题2 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
知识回顾
y=kx (k≠0)
y=kx+b (k≠0)
系数 需待定
找 个点
确定 个方程
解一元一次方程
两系数k,b需待定
找 个点
两个方程
y=ax2+bx+c （a≠0）
找 个点
个系数需待定
个方程
解？
k
一
一
两
？
？
三
解二元一次方程组
待定系数法确定函数表达式
获取新知
一起探究
思考：确定二次函数 y = ax2+bx+c的三个点能是任意三点吗？
不能.
同一直线上的三点不能构成抛物线.
不在同一直线上的三点可以确定抛物线.
已知三点A(1，3)，B(2，-2)，C(-1，1)，怎样由这三点确定的二次函数表达式y = ax2+bx+c.
待定系数法
解：将A，B，C三点坐标代入y = ax2+bx+c,由题意得
解得
所求二次函数的表达式为
一起探究
用待定系数法求二次函数表达式的过程与求一次函数表达式的过程有哪些相同点与不同点？
相同点：
两者都是先确定解析式的形式，再求出待定的系数.
不同点：
一次函数代入两个点，出现两个方程.
二次函数代入三个点，出现三个方程.
解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
将A，B，C三点的坐标分别代入二次函数
表达式中，得
∴所求二次函数表达式为y＝2x2－3x＋1.
解得
1.设一般式
2.点代入一般式
3.解得方程组
4.写出表达式
例1 已知三点A(0，0)，B(1，0)，C(2，3)，求由这三点所确定的二次函数的表达式.
例题讲解
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的步骤
总结归纳
例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)求这条抛物线的表达式.
提示：二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，
顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图像上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ，
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
顶点式法
归纳总结
顶点式法求二次函数的步骤
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3 已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图像过（0，-3），求二次函数的表达式.
解：设这个二次函数表达式为 y=ax2+bx+c，由题意得
∴这个二次函数的表达式为 y=-x2+4x-3
解得
方法一：
一般式法
例3 已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图像过（0，-3），求二次函数的表达式.
解：由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3
∴ 设y=a(x-1)(x-3).
∴ a(0-1)(0-3)=-3,
∴a=-1，
∵图像经过（0，-3），
∴ y=-(x-1)(x-3),
即 y=-x2+4x-3.
方法二：
小结：
已知抛物线与x轴的两个交点时，优先选用交点式.
交点式法
归纳总结
交点式法求二次函数表达式的步骤
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点式法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-3，0)，(0，3)，(2，-5)，则这个二次函数的表达式为_______________.
2.如图所示的抛物线的表达式为_______________.
y=-x2-2x+3
y=2x2-4x+27
随堂演练
3.已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为
(-1，0)和(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，2)，则该二次函数的表达式为_______________.
y=- x2+ x+2
3
2
3
4
4.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是(-1，-3)，则b，c的值分别是( )
A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4
C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4
D
顶点坐标是（-1，-3）
5.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1;当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0，求这个二次函数的表达式.
∴这个函数的表达式为y=2x2-3x+1.
解：依题意得
解得
c=1,
a-b+c=6,
a+b+c=0,
a=2,
b=-3,
c=1.
6.已知二次函数当x=-1时，有最小值-4，且当x=0时，y=-3，求二次函数的表达式.
∴二次函数的表达式为y=(x+1)2-4.
解:设y=a(x+1)2-4，
将(0，-3)代入，得
a(0+1)2-4=-3，
解得a=1，
顶点坐标是（-1，-4）
用待定系数法求二次函数的表达式
“一般式”法
已知任意三个点的坐标，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c
“顶点式”法
已知任意一个点和顶点的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k
“交点式”法
已知任意一个点和抛物线与x轴的两个交点(x1，0)(x2，0)的坐标，设二次函数的表达式为a(x-x1)(x-x2)
课堂小结