冀教版数学九年级下册同步课件：30.4 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题(共17张PPT)

(共17张PPT)
第三十章 二次函数
30.4 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题
知识回顾
问题 求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=x2＋4x
可根据顶点公式来求：
（1）因为a=-1<0,当 =-=1 ，
函数有最大值==-2.
(2)因为a=1>0,当 =-=-2 ，
函数有最小值==-4.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
情景导入
二次函数的最值问题
A
B
C
D
例题讲解
例1 用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横档和竖档分别与AD,AB平行.设AB=x m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大 最大面积是多少平方米
一起探究
思考:(1)当矩形的宽AB=x m时,如何用包含x的代数式表示
矩形的长BC
(2)矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么
(3)你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗
(4)请用配方法将所得到的二次函数一般式
转化成顶点式.
(5)该二次函数有没有最大值 最大值是多少 此时x的值是多少
A
B
C
D
S=
面积=长×宽
当x=3时,S有最大值,且S最大=12m2 .
S==
解:∵
∴当x=3时,S有最大值,且S最大=12m2 .
答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为12 m2.
且a= <0,
解题过程如下：
利用二次函数解决生活实际中最值问题的一般方法:
（1）根据题意找等量关系,列出二次函数的表达式,求出符合题意的自变量的取值范围.
（2）在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值.
要点归纳：
提示：求最大利润的实质是求二次函数的最大值.
总利润=每件商品的利润×商品数量
例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润
思考:
题目涉及哪些变量 哪个量是自变量 哪些量随之发生了变化
(利润、产量和档次是变量,档次是自变量,利润、产量随之发生变化)
分析:
设产品的档次为x档,则每件产品的利润y也随之变化.
(1)若产品是第2档次,则产量减少 件,此时产量为 件,每件产品的利润增加 元,此时每件产品的利润为 元,产品总利润为 元.
(2)若产品是x档,则产品提高了 档,产量减少 件,此时产量为 件,每件产品的利润增加 元,每件产品的利润为　　　　 元,产品总利润为 元.
(3)列出利润w与档次x之间的函数表达式为 .
(4)将该函数表达式化成顶点式为 .
(5)当档次x= 时,利润w的最大值为 .
1352
4
60
2
14
1064
x-1
4(x-1)
80-4(x-1)
2(x-1)
12+2(x-1)
[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
-8(x-8)2+1352
8
解:设生产第x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则:
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
=(10+2x)(84-4x)
=-8x2+128x+840
=-8(x-8)2+1352.
当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.
答:该工艺师生产第8档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为1352元.
解题过程如下：
利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤:
(1)认真分析题意,找两个变量之间的等量关系;
(2)根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
要点归纳：
求二次函数最值最常用的方法有两种:
(1)配方法:
(2)公式法:直接利用上述关系式经过配方得出结论.
若a>0,则当x=- 时,y最小值= ;
若a<0,则当x=- 时,y最大值= .
归 纳
B
随堂演练
1.二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为(　　)
A．2 B．4 C．－4 D．16
2.如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 (　　)
A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2
C
3.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=　　　　,一天出售该种手工艺品的总利润y最大.
4
4.在距离地面2 m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:s=v0t- gt2(其中g是常数,通常取10 m/s2).若v0=10,则该物体在运动过程中最高点距地面　　　　m.
7
5.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件,该店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大
配方得y=-100 +225.
因为x= 时,满足0≤x≤2,所以当x= 时,函数取得最大值,最大值为225.
所以将这种商品的售价降低 元时,能使销售利润最大.
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元.
商品每天的利润y与x的函数表达式是:
y=(10-x-8)(100+100x),
即y=-100x2+100x+200,
二次函数
的最值问题
(1)认真分析题意,找两个变量之间的等量关系;
(2)根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
课堂小结