冀教版数学九年级下册同步课件：30.5 二次函数与一元二次方程之间的关系(共17张PPT)

(共17张PPT)
第三十章 二次函数
30.5 二次函数与一元二次方程的关系
知识回顾
1.一元二次方程根的判别式：
式子b -4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是什么？
3. 你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系
1
x
O
y = x2－6x＋9
y = x2－4x＋6
y = x2＋2x－3
一元二次方程的根与二次函数图象的关系
(1)这三条抛物线和x轴的交点情况分别是怎样的？
三条抛物线与x轴分别
有两个交点
有一个交点
没有交点
获取新知
一起探究
y
三个方程的根的情况分别是
有两个不相等的实数根-3和1.
有两个相等的实数根3和3.
没有实数根.
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－4x＋6
y = x2＋2x－3
二次函数 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－4x＋6 /
y = x2－6x＋9
y = x2＋2x－3
0个
1个
2个
x2-4x+6=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-3, 1
x2+2x-3=0，x1=-3,x2=1
你发现了什么结论？
(3)上述三个方程的根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴的交点有怎样的关系？
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系
归纳总结
1. 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .
（-2，0）和（3，0）
2. 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A. 两个交点 B. 一个交点 C. 没有交点 D. 画出图象后才能说明
C
3. 不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.
解：∵解方程x2-x-6=0
得x1=-2和x2=3
∴抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为：
（-2，0）和（3，0）
跟踪训练
利用二次函数求一元二次方程的近似解
分析：一元二次方程 x -2x-6=0 的根就是抛物线 y=x -2x-6与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
获取新知
一起探究
例 求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1)
如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像.
观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x11
2
3
4
5
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
2
3
4
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-1
x1
x2
用逼近法求x1的近似值.
(1)容易看出:当x=-2时,y>0;当x=-1时,y<0,且-2y随x的增大而减小,所以-2(2)取-2和-1的中间数-1.5(中间数为 ),
代入表达式中试值.
当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2×(-1.5)-6=-0.75<0;
当x=-2时,y>0.
在-2所以-21
2
3
4
5
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
2
3
4
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-1
x1
x2
(3)取-2和-1.5的中间数-1.75,代入表达式中试值.
当x=-1.75时,y=(-1.75)2-2×(-1.75)-6=0.5625>0;
当x=-1.5时,y<0.
在-1.75所以-1.75(4)取-1.75和-1.5的中间数-1.625,代人表达式中试值.
当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2×(-1.625)-6=-0.109375<0;
当x=-1.75时,y>0.
在-1.75所以-1.75一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在哪个范围之间,另一个又在哪个范围之间(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程的解.
方法归纳
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
2.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数是( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
A
C
随堂演练
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
B
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(3)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.
(3)1＜x<3.
解: (1)由图像可知x1=1,x2=3.
(2)由图像可知x>2.
二次函数与一元二次方程
关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
求一元二次方程的近似根
画出函数图像，根据图像与x轴的交点位置和函数图像的对称性求根的近似值
课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况