人教版数学九年级上册第24章 24.2.1点和圆的位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2017·官渡模拟）已知⊙O是△ABC的外接圆，边BC=4cm，且⊙O半径也为4cm，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60°或120° C．150° D．30°或150°
2．（2017·定安模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，AB=AC=8，则EC长为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2017·迁安模拟）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心
C．三条高线的交点 D．三条中线的交点
4．（2017·滦县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）
A． B．2 ﹣2 C．2 ﹣2 D．4
5．（2017·瑞安模拟）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
6．（2017·天门模拟）如图，锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），∠ABD=90°，下列结论：①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD，正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
7．（2016九上·余杭期中）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2017·临沂模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是弧BAC上一点，连结CD．则∠D的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
9．（2017·市中区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
10．（2017·山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数 ，导致了第一次数学危机， 是无理数的证明如下：
假设 是有理数，那么它可以表示成 （p与q是互质的两个正整数）．于是（ ）2=（ ）2=2，所以，q2=2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“ 是有理数”的假设不成立，所以， 是无理数．
这种证明“ 是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
二、填空题
11．（2017·樊城模拟）已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC=120°，∠BIC= ．
12．（2017·襄州模拟）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为 ．
13．（2017·苏州模拟）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
14．（2017·徐州模拟）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= ．
15．（2017·江都模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
16．（2017·江东模拟）如图，△ABC是定圆O的内接三角形，AD为△ABC的高线，AE平分∠BAC交⊙O于E，交BC于G，连OE交BC于F，连OA，在下列结论中，①CE=2EF，②△ABG∽△AEC，③∠BAO=∠DAC，④ 为常量．其中正确的有 ．
17．（2017·港南模拟）如图等边三角形ABC内接于圆，点P是圆上任意一点（P不与A、B、C重合），则∠APB= ．
18．（2017·盘锦模拟）图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
三、综合题
19．（2017·临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
20．（2017·新疆模拟）如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG AB=12，求AC的长．
21．（2017·新吴模拟）如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．
（1）求证：CA，CB是⊙O的切线；
（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP的度数．
22．（2017·兰州模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC=6，sin∠BAC= ，求OE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A′在劣弧BC上时，∠A′=150°．
∴∠A=30°或150°．
故选D．
【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，AD为直径，
∴AD=10，∠ACD=90°，
∴CD=6，
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠ABE=∠D，又∠DAC=∠CAE，
∴△AEC∽△ACD，
∴ = ，即 = ，
解得，EC= ，
故选：B．
【分析】根据勾股定理求出CD，证明△AEC∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误；
B、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误；
C、三条高线的交点为三角形的垂心，故错误；
D、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确；
故选D．
【分析】观察图发现，点P是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案．
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，
∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，
∴OC= = =2 ，
则CE′=OC﹣OE′=2 ﹣2，
故选：B．
【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°﹣∠B=120°，
∴∠ACD=180°﹣∠DAC﹣∠D=40°，
故选：C．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°﹣∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：设BD交⊙O于点E，连接AE，
∵∠C=∠AEB，∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
∴sin∠C＞sin∠D；cos∠C＜cos∠D；tan∠C＞tan∠D，
∴正确的结论有：①③．
故选D．
【分析】首先设BD交⊙O于点E，连接AE，由圆周角定理，易得∠C＞∠D，继而求得答案．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，
此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= =5，
∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
8．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∵∠ABC=90°．
∵∠ACB=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠D=∠A=50°．
故选A．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
10．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得：这种证明“ 是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
11．【答案】120°或150°
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形，
∵点O为△ABC的外心，∠BOC=120°，
∴∠A=60°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB=120°，则∠IBC+∠ICB=60°，
∴∠BIC=120°．
如图2，当△ABC是钝角三角形，
∵∠BOC=120°，
∴∠A=120°，
∴∠IBC+∠ICB=30°，
∴∠BIC=150°．
故答案为：120°或150°．
【分析】用三角形外心的性质得出∠A的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案
12．【答案】2﹣ 或2+
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意可得，如右图所示
存在两种情况，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD= = ，
∴S△A1BC= BC A1D=2﹣ ，
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD= = ，
∴S△A2BC= BC A2D= =2+ ，
由上可得，△ABC的面积为2﹣ 或2+ ，
故答案为2﹣ 或2+ ．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．
13．【答案】2 ﹣2
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，OD= = =2 ，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD﹣OH=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
14．【答案】10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ = ，即 = ，
解得，AE=10，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
15．【答案】7
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB= = =10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE= AB=5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME= AD=2．
∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即2≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
16．【答案】②，③，④
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BCE的度数不一定为30°，
∴Rt△CEF中，CE=2EF不一定成立，故①错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAG=∠EAC，
又∵∠ABG=∠AEC，
∴△ABG∽△AEC，故②正确；
如图所示，延长AO交⊙O于点H，连接BH，
∵AH是⊙O直径，AD⊥BC，
∴∠ABH=90°，∠ADC=90°，
∴∠H+∠BAH=90°，∠C+∠ACD=90°，
∵∠H=∠ACD，
∴∠BAH=∠DAC，故③正确；
∵∠BAH=∠DAC，∠ABH=∠ADC，
∴△ABH∽△ADC，
∴ = ，即AH= ，
又∵AH为常量，
∴ 为常量，故④正确；
故答案为：②，③，④．
【分析】根据圆周角定理以及相似三角形的判定方法，即可得出△ABG∽△AEC，△ABH∽△ADC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
17．【答案】60°或120°
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠P=180°﹣60°=120°；∠P′=∠C=60°．
故答案为：60°或120°．
【分析】根据题意作出辅助线，再由圆周角定理即可得出结论．
18．【答案】（5，2）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；
依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），
则有： = = ；
即（3﹣x）2+（6﹣y）2=（1﹣x）2+（4﹣y）2=（1﹣x）2+y2，
化简后得：x=5，y=2；
因此圆心坐标为：（5，2）．
【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
19．【答案】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ ，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得： ，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2 ．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4 ，即可得出△ABC外接圆的半径．
20．【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，
∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切线
（2）解：如图
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC2=AG AB=12，
∴AC=2
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC2=AG AB=12，从而得到AC=2 ．
21．【答案】（1）证明：连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，
∴四边形APBM是圆内接四边形，
∴∠M=180°﹣∠APB=60°，
∵∠AOB=2∠M=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠OBC=90°，
∴CB是⊙O的切线；
同理CA是⊙O的切线
（2）作ON⊥AB于N，连接OG，
当O，P，G在一条直线上时，PG最小，
∵AB=6，
∴BN=3，
∴OB=2 ，
∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB= ，
∴∠OGB=60°，OG=4，
∴PG=4﹣2 ，
此时，∠BGP=60°．
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，根据圆内接四边形的性质得到∠M=180°﹣∠APB=60°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠M=120°，求得∠BAC=60°，于是得到结论；（2）作ON⊥AB于N，连接OG，当O，P，G在一条直线上时，PG最小，解直角三角形即可得到结论．
22．【答案】（1）证明：连接BE．
∵是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
（2）解：如图2所示；连接OB．
∵AD是直径，A平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC= ，BF=3，
∴OB=5．
∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，
∴OF= =4．
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2．
∴BD= ．
∴DE= ．
使用OE=5﹣ ．
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接BE．依据三角形的内心的性质以及圆周角定理证明∠DBE=∠DEB即可；（2）连接OB．先证明圆周角定理和三角形的内心的性质可知∠BAC=∠BOF，依据锐角三角函数的定义可求得OB的长，然后依据勾股定理可求得OF的长于是得到DF的长，接下来，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，依据问题（1）的结论可得到DE的长，从而求得OE的长．
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.2.1点和圆的位置关系 同步练习
一、单选题
1．（2017·官渡模拟）已知⊙O是△ABC的外接圆，边BC=4cm，且⊙O半径也为4cm，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60°或120° C．150° D．30°或150°
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A′在劣弧BC上时，∠A′=150°．
∴∠A=30°或150°．
故选D．
【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案
2．（2017·定安模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，AB=AC=8，则EC长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，AD为直径，
∴AD=10，∠ACD=90°，
∴CD=6，
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠ABE=∠D，又∠DAC=∠CAE，
∴△AEC∽△ACD，
∴ = ，即 = ，
解得，EC= ，
故选：B．
【分析】根据勾股定理求出CD，证明△AEC∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
3．（2017·迁安模拟）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心
C．三条高线的交点 D．三条中线的交点
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故错误；
B、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故错误；
C、三条高线的交点为三角形的垂心，故错误；
D、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故正确；
故选D．
【分析】观察图发现，点P是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案．
4．（2017·滦县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）
A． B．2 ﹣2 C．2 ﹣2 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB=4，
∴OA=OB=OE′=2，
∵BC=6，
∴OC= = =2 ，
则CE′=OC﹣OE′=2 ﹣2，
故选：B．
【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．
5．（2017·瑞安模拟）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠DAC=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°﹣∠B=120°，
∴∠ACD=180°﹣∠DAC﹣∠D=40°，
故选：C．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°﹣∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
6．（2017·天门模拟）如图，锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），∠ABD=90°，下列结论：①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD，正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：设BD交⊙O于点E，连接AE，
∵∠C=∠AEB，∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
∴sin∠C＞sin∠D；cos∠C＜cos∠D；tan∠C＞tan∠D，
∴正确的结论有：①③．
故选D．
【分析】首先设BD交⊙O于点E，连接AE，由圆周角定理，易得∠C＞∠D，继而求得答案．
7．（2016九上·余杭期中）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，
此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= =5，
∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
8．（2017·临沂模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是弧BAC上一点，连结CD．则∠D的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∵∠ABC=90°．
∵∠ACB=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠D=∠A=50°．
故选A．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ABC的度数，再由直角三角形的性质得出∠A的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
9．（2017·市中区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：C．
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
10．（2017·山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数 ，导致了第一次数学危机， 是无理数的证明如下：
假设 是有理数，那么它可以表示成 （p与q是互质的两个正整数）．于是（ ）2=（ ）2=2，所以，q2=2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“ 是有理数”的假设不成立，所以， 是无理数．
这种证明“ 是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得：这种证明“ 是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可．
二、填空题
11．（2017·樊城模拟）已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC=120°，∠BIC= ．
【答案】120°或150°
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形，
∵点O为△ABC的外心，∠BOC=120°，
∴∠A=60°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB=120°，则∠IBC+∠ICB=60°，
∴∠BIC=120°．
如图2，当△ABC是钝角三角形，
∵∠BOC=120°，
∴∠A=120°，
∴∠IBC+∠ICB=30°，
∴∠BIC=150°．
故答案为：120°或150°．
【分析】用三角形外心的性质得出∠A的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案
12．（2017·襄州模拟）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为 ．
【答案】2﹣ 或2+
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意可得，如右图所示
存在两种情况，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD= = ，
∴S△A1BC= BC A1D=2﹣ ，
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD= = ，
∴S△A2BC= BC A2D= =2+ ，
由上可得，△ABC的面积为2﹣ 或2+ ，
故答案为2﹣ 或2+ ．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．
13．（2017·苏州模拟）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
【答案】2 ﹣2
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，OD= = =2 ，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD﹣OH=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH= AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
14．（2017·徐州模拟）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= ．
【答案】10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ = ，即 = ，
解得，AE=10，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
15．（2017·江都模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
【答案】7
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB= = =10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE= AB=5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME= AD=2．
∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即2≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
16．（2017·江东模拟）如图，△ABC是定圆O的内接三角形，AD为△ABC的高线，AE平分∠BAC交⊙O于E，交BC于G，连OE交BC于F，连OA，在下列结论中，①CE=2EF，②△ABG∽△AEC，③∠BAO=∠DAC，④ 为常量．其中正确的有 ．
【答案】②，③，④
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BCE的度数不一定为30°，
∴Rt△CEF中，CE=2EF不一定成立，故①错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAG=∠EAC，
又∵∠ABG=∠AEC，
∴△ABG∽△AEC，故②正确；
如图所示，延长AO交⊙O于点H，连接BH，
∵AH是⊙O直径，AD⊥BC，
∴∠ABH=90°，∠ADC=90°，
∴∠H+∠BAH=90°，∠C+∠ACD=90°，
∵∠H=∠ACD，
∴∠BAH=∠DAC，故③正确；
∵∠BAH=∠DAC，∠ABH=∠ADC，
∴△ABH∽△ADC，
∴ = ，即AH= ，
又∵AH为常量，
∴ 为常量，故④正确；
故答案为：②，③，④．
【分析】根据圆周角定理以及相似三角形的判定方法，即可得出△ABG∽△AEC，△ABH∽△ADC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
17．（2017·港南模拟）如图等边三角形ABC内接于圆，点P是圆上任意一点（P不与A、B、C重合），则∠APB= ．
【答案】60°或120°
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠P=180°﹣60°=120°；∠P′=∠C=60°．
故答案为：60°或120°．
【分析】根据题意作出辅助线，再由圆周角定理即可得出结论．
18．（2017·盘锦模拟）图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】（5，2）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；
依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），
则有： = = ；
即（3﹣x）2+（6﹣y）2=（1﹣x）2+（4﹣y）2=（1﹣x）2+y2，
化简后得：x=5，y=2；
因此圆心坐标为：（5，2）．
【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
三、综合题
19．（2017·临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ ，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得： ，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2 ．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4 ，即可得出△ABC外接圆的半径．
20．（2017·新疆模拟）如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG AB=12，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，
∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∴PA是⊙O的切线
（2）解：如图
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，
∴∠ACF=∠D，
∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC2=AG AB=12，
∴AC=2
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC2=AG AB=12，从而得到AC=2 ．
21．（2017·新吴模拟）如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．
（1）求证：CA，CB是⊙O的切线；
（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP的度数．
【答案】（1）证明：连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，
∴四边形APBM是圆内接四边形，
∴∠M=180°﹣∠APB=60°，
∵∠AOB=2∠M=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠OBC=90°，
∴CB是⊙O的切线；
同理CA是⊙O的切线
（2）作ON⊥AB于N，连接OG，
当O，P，G在一条直线上时，PG最小，
∵AB=6，
∴BN=3，
∴OB=2 ，
∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB= ，
∴∠OGB=60°，OG=4，
∴PG=4﹣2 ，
此时，∠BGP=60°．
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，根据圆内接四边形的性质得到∠M=180°﹣∠APB=60°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠M=120°，求得∠BAC=60°，于是得到结论；（2）作ON⊥AB于N，连接OG，当O，P，G在一条直线上时，PG最小，解直角三角形即可得到结论．
22．（2017·兰州模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC=6，sin∠BAC= ，求OE的长．
【答案】（1）证明：连接BE．
∵是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
（2）解：如图2所示；连接OB．
∵AD是直径，A平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC= ，BF=3，
∴OB=5．
∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，
∴OF= =4．
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2．
∴BD= ．
∴DE= ．
使用OE=5﹣ ．
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接BE．依据三角形的内心的性质以及圆周角定理证明∠DBE=∠DEB即可；（2）连接OB．先证明圆周角定理和三角形的内心的性质可知∠BAC=∠BOF，依据锐角三角函数的定义可求得OB的长，然后依据勾股定理可求得OF的长于是得到DF的长，接下来，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，依据问题（1）的结论可得到DE的长，从而求得OE的长．
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