2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册1.5-1.6 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·定安期末）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1： 的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（ ）
A．8m B．12m C．14m D．16m
2．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A，B，C，D，E，F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200 B．250 C．300 D．540
3．如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．4m B． m
C．（5 + ）m D．（ + ）m
4．如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
5．（2017·益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．h cosα
6．（2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
7．为测量被池塘相隔的两棵树 ， 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树 沿着垂直于 的方向走到 ，再从 沿着垂直于 的方向走到 ， 为 上一点。其中 位同学分别测得三组数据：（1） ， ；（2） ， ， ；（3） ， ， 。其中能根据所测数据求得 ， 两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
8．（2018·宁晋模拟）数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m.
A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8
9．（2018·温州模拟）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
10．（2018·南宁模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处于灯塔P的距离为（ ）
A．30 海里 B．15 海里 C．30 海里 D．15 海里
11．（2018七上·临沭期末）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2018九上·深圳期末）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）
A．30 米 B．30 米
C．40 米 D．（30+ ）米
13．（2017九上·深圳期中）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
14．重庆一中研究性学习小组准备利用所学的三角函数的知识取测量南山大金鹰的高度．他们在B处测得山顶C的仰角是45°，从B沿坡度为1： 的斜度前进38米到达大金鹰上的一个观景点D，再次测得山顶C的仰角为60°，则大金鹰的高度AC为（ ）米（结果精确到1米．参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
A．45 B．48 C．52 D．54
15．（2018·定兴模拟）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是（ ）
A．（ ）2017 B．（ ）2016
C．（ ）2017 D．（ ）2016
二、填空题
16．（2018·潜江模拟）如图，铁路的路基是等腰梯形ABCD，斜坡AD、BC的坡度i=1：1.5，路基AE高为3米，现由单线改为复线，路基需加宽4米，（即AH=4米），加宽后也成等腰梯形，且GH、BF斜坡的坡度i'=1：2，若路长为10000米，则加宽的土石方量共是 立方米．
17．（2018·江油模拟）如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1∶ ，求大楼AB的高度是 ？（结果保留根号）
18．（2018·苏州模拟）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果保留根号）．
19．为解决停车难的问题，在如图所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.
20．（2016九下·邵阳开学考）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的竹竿影长为2米，则电线杆的高度为 。
21．（2017·大连模拟）如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为 m（精确到0.1m，参考数据 ≈1.73）
三、解答题
22．（2018·青岛）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
23．（2018·张家界） 2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
24．（2017·济宁模拟）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
25．（2017·裕华模拟）如图，贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）
26．（2018·灌云模拟）近年来，共享单车服务的推出 如图 ，极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图 车轮半径约为 ，其中 直线l， ， ．
参考数据： ， ，
（1）求单车车座E到地面的高度； 结果精确到
（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高 腿长 的 时，坐骑比较舒适 小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置 ，求 的长 结果精确到
27．（2018九下·夏津模拟）某商场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，一楼到地平线的距离BC＝1米．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1米)
（2）如果给该商场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
28．（2018·嘉兴模拟）如图，是井用手摇抽水机的示意图，支点A的左端是一手柄，右端是一弯钩，点F，A，B始终在同一直线上，支点A距离地面100cm，与手柄端点F之间的距离AF=50cm，与弯钩端点B之间的距离AB=10cm．KT为进水管．
（1）在一次取水过程中，将手柄AF绕支点A旋转到AF'，且与水平线MN的夹角为20°，且此时点B'，K，T在一条线上，求点F'离地面的高度．
（2）当不取水时，将手柄绕支点A逆时针旋转90°至点F''位置，求端点F''与进水管KT之间的距离．（忽略进水管的粗细）（参考数据： ≈0.34， ≈0.94， ≈0.36）
29．（2018九下·绍兴模拟）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点D去A点，要求AD是距离最短的路线.（精确到0.1公里， ， ）.
（1）在图中作出点D，并求最短距离；
（2）求BD的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解；∵该斜坡的坡度为i=1: ，
∴AB:BC=1: ，
∵AB=8m，
∴BC=8 m，
则AC= m.
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形的坡度问题进行求解即可。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，∠EAC=45°，EC=100米，
∴AC=EC=100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC=3EC=300米，
∴AB=300+100=400米，
设DF=x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD=3DF=3x米，
∵∠DAF=12°，tan12°≈0.2，
∴AD=5DF=5x米，
则8x=400，
解得x=50，
∴AD=250米．
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AC=EC=100米，根据坡度的定义得出BC,进而得出AB，设DF=x米，根据坡度的定义表示出BD，根据正切函数的定义表示出AD，最后根据AB=AD+BD，列出方程，求解即可。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过A作AD⊥CE于D，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥CE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=5m，AB=1.5m，
∴AD=BE=5m，DE=AB=1.5m．
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=5m，
∴CD=AD tan30°=5× = ，
∴CE=CD+DE= +1.5=（ + ）m．
答：这棵树高是（ + ）m．
故答案为：D．
【分析】根据题意得到四边形ABED是矩形，再由解直角三角形中正切的定义，得到CD=AD tan30°的值，求出树高CE=CD+DE的值.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C点，
只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得：∠AOB=30°，∠ABC=45°、OB=20海里，
∴BC=AC，CO=AC÷tan∠AOB=AC÷tan30°= ，
∵CO﹣CB= ﹣AC=20，
解得：AC= 海里，
∴BC=AC=10（ +1）海里，
故答案为：A．
【分析】根据正切的定义和特殊角的三角函数值求出CO的值，求出BC=AC的值.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴BC= = ，
故选：B．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD= 知BC= = ．
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为x米，
由勾股定理可得
梯子的长度2=0.72+2.42=x2+22,
可解得x=1.5,
则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2（米）.
故选C.
【分析】当梯子斜靠在右墙时，梯子的长度并不改变，而且墙与水平面是垂直的，则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：第（1）组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；
第（2）组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；
第（3）组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．
故答案为：D．
【分析】（1）根据AB=ACtan，已知∠ACB和AC的长，可求AB。（2）已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB。（3）根据△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长。
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示：过点C作 延长线于点G，交EF于点N，
根据题意可得： ，
计算得出： ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
故 ，即 ，
计算得出： ，
故 ，
则 ，
故答案为：D.
【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：过点C作 C G ⊥ A B 延长线于点G，交EF于点N，因为斜坡 D E 的坡度i=1：4，所以，解得EF=2，而 sinα=，设AG=3x，则AC=5x ，所以BC=4x ，即8+1.6=4x ，解得 x = 2.4 ，所以AG=2.4×3=7.2m ，则AB=AG BG=7.2 0.4=6.8m。
9．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形AECB是矩形
∴CE=AB=1.7，AE=BC=5，∠DEA=90°
∴tan∠α=
∴
解之：DE=1.5
∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2
故答案为：C
【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形，从而可求出CE、AE的长，再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=DE+CE，可求得结果。
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB于C，
由题意得，∠APC=45°，∠BPC=60°，
∴PC=PA cos∠APC=15 ，
在Rt△BPC中，BP= （海里），
故答案为：C．
【分析】过点P作PC⊥AB于C，由题意得，∠APC=45°，∠BPC=60°，根据余弦函数的定义，由PC=PA cos∠APC算出PC的长，进而再用BP=即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故C符合．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出符合条件的方向角.
12．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如下图：
过点B作BEl于点E，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=AC=60，
∴在RtBCE中，
BE=BCsin60°=.
故答案为：B.
【分析】根据题意作出辅助线，再根据∠BAD=30°，∠BCD=60°，得到∠ABC=30°，进而得到BC=AC=60，所以利用解RtBCE，得出BE的长.
13．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图：设BC=x，
∵AB⊥BC，GC⊥BC，
∴AB∥GC，
∴△ABD∽GCD，
∴=，
∴=，
又∵AB⊥BC，HE⊥BC，
∴AB∥HE，
∴△ABF∽HEF，
∴=，
∴=，
∴=
∴x=3，
∴=，
∴AB=6.
故答案为：B．
【分析】如图：设BC=x，由AB⊥BC，GC⊥BC，得AB∥GC，从而得△ABD∽GCD，根据相似三角形的性质得=，即=，
又由AB⊥BC，HE⊥BC，得AB∥HE，从而得△ABF∽HEF，根据相似三角形的性质得=，即=，根据等量代换得出x值，代入求出AB的值，即可得答案.
14．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC，DE⊥AB于E，
∵BD的坡度为1： ，
∴∠ABD=30°，又∠ABC=45°，
∴∠BDC=15°，
∵∠FDC=60°，∠DFC=90°，
∴∠FCD=30°，又∠ACB=45°，
∴∠DCB=15°，
∴∠DCB=∠DBC，
∴CD=BD=38，
∵AC⊥BA，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形AFDE是矩形，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，
∴DE= BD=19，
∴BE=38×cos30°=19 ≈33，
∴AC=19+33=52．
故选：C．
【分析】根据题目所给的度数可判定△BDC是等腰三角形，得到CD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的长和DE的长，从而可求出山高的高度．
15．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；探索图形规律
【解析】【解答】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°= ，则B2C2= = ，
同理可得：B3C3= ，
故正方形AnBnCnDn的边长是： ，
则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是： ，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可知四边相等，四个内角为直角，进而求出外角分别为30度60度，再利用锐角三角函数求出，探究规律
16．【答案】1.65×105
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过H点作HJ⊥GF于J，
∵i=1：1.5，AE=3，
∴DE=4.5，
∴DC=13．
∴S梯形ABCD=（4+13）×3÷2=25.5（米2）．
又∵GH、BF斜坡的坡度i'=1：2，
∴GJ为6，
∴GF=2GJ+8=20，S梯形BFGH=（8+20）×3÷2=42（米2）．
∴加宽的土石方量=（42-25.5）×10000=165000=1.65×105立方米．
故答案为：1.65×105.
【分析】因为加宽的土石方量=加宽的路的截面积×路长，所以首先求得加宽的路四边形AHGD和三角形BCF的面积，由图知，加宽的路四边形AHGD和三角形BCF的面积=梯形BFGH的面积-梯形ABCD的面积，再根据已知条件求解即可。
17．【答案】29+6
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，因为梯坎坡度=1： ，所以BH：CH=1： ，
设BH=x米，则CH= 米， 在直角三角形BCH中，BC=12米，
由勾股定理得： ，解得：x=6，所以BH=6米，CH=6 米，
所以BG=GH-BH=15-6=9(米)，EG=DH=CH=6 +20(米)，
因为α是45°，所以∠ EAG= ，
所以三角形AEG是等腰直角三角形，
所以AG=AG+BG=6 +20+9=29+6 (米).
【分析】要求大楼AB的高度，需将AB放在直角三角形中即可求解。于是可作辅助线延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，解直角三角形BCH和直角三角形AEG即可求解。
18．【答案】 一4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：因为∠MAD=45°， AM=4，所以MD=4，
因为AB=8，所以MB=12，
因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4 .
所以CD=4 -4.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出MD=4，根据线段的和差得出MB=12，根据正切函数的定义，由CM=MBtan30°算出CM的长，根据线段的和差算出CD的长。
19．【答案】17
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解 ：
如图，BC=2.2×sin45 =2.2×≈1.54米，
CE=5×sin45 =5×≈3.5米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45 =2.2÷≈3.1米，
(56 5.04)÷3.1+1=50.96÷3.1+1
≈16.4+1=17.4(个).
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位。
故答案为：17.
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
20．【答案】（14+2 ）米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．
DE=8sin30°=4；
CE=8cos30°=4 ；
∵测得1米杆的影长为2米．
∴EF=2DE=8
∴BF=BC+CE+EF=20+4 +8=28+4
∴电线杆AB的长度是 （28+4 ）=14+2 米．
【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．根据锐角三角函数的定义得出DE,CE的长，根据同一时刻，同一地点物体与影长的比是一个定值，从而得出EF=2DE=8 ，进一步得出电线杆的影长BF及电线杆的长度。
21．【答案】17.1
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．
在直角△ADE中，有AE=DE×tan30°=9 ，
那么旗杆AB的高为AE+EB=9 +1.5≈17.1（m）．
故答案为17.1
【分析】根据题意：过点D作DE⊥AB，交AB与E；可得Rt△ADE，解之可得AE的大小；进而根据AB=BE+AE可得旗杆AB的高．
22．【答案】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM= = x，由题意得，840﹣x+ x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】添加辅助线，将要求得问题转化到直角三角形中，作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，易证四边形ONCM为矩形，得出ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，再证明△ANO是等腰直角三角形，可得出ON=AN=840﹣x，再表示出MC的长，然后在Rt△BOM中，利用解直角三角形求出BM的长，再根据BC=ON+BM=500，建立方程求解即可。
23．【答案】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE= AD= ×1400=700，DE= AE=700 ，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700 ，在Rt△CDF中，CF= DF= ×300=100 ，∴BC=700 +100 =800 ．答：选手飞行的水平距离BC为800 m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AE，DE的长，根据BE=AB﹣AE算出BE的长，根据矩形的旋转得出DF，BF的长，在Rt△CDF中，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CF的长，从而根据BC=BF+FC算出答案。
24．【答案】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，
∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）．
答：旗杆CD的高度约13.9米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意得AC=20米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．
25．【答案】解：过点D作DH⊥BC于点M，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC，
设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH=30°，
∴DH= （x﹣5），AC=EC﹣EA= （x﹣5）﹣10，
在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC= ，
∴x=tan50° [ （x﹣5）]，
解得：x≈21，
答：建筑物BC的高约为21m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先过点D作DH⊥BC，垂直为H，依据有三个角为直角的四边形为矩形可得到四边形DHCE是矩形，然后依据矩形的性质得到DH=EC，DE=HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x-5）m，由三角函数得出DH=（x-5），AC=EC-EA求得AC的长，然后依据锐角三角形函数的定义列出关于x的方程即可.
26．【答案】（1）解：如图1，过点E作 于点M，
由题意知 、 ，
，
则单车车座E到地面的高度为
（2）解：如图2所示，过点 作 于点H，由题意知 ，则 ，
．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点E作 EM⊥BC 于点M，由EB=ECsin∠BCE，可得出答案。
（2）过点 E' 作 E'H⊥BC 于点H，先利用解直角三角形求出E'C的长，再根据EE'=CE' CE可得出答案。
27．【答案】（1）解：由题意可得∠BAD＝18°.在Rt△ABD中，AB＝ ≈ ≈5.6(米)
答：应在地面上距B点5.6米远的A处开始斜坡的施工
（2）解：能.理由：如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠DCE＝∠BAD＝18°.在Rt△CED中，CE＝CD·cos 18°≈2.8×0.95＝2.66(米).
∵2.66＞2.5，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABD中，根据tan=可求解；
（2）过点C作CE⊥AD于点E，在直角三角形DCE中，通过解直角三角形可求得CE的长与货车高度2.5米比较大小，即可判断。
28．【答案】（1）如图，作F'G⊥MN， ，∴F'G＝AF'×sin20°＝50×0.34＝17cm，∴点F'到地面的高度为17＋100＝117cm．
（2）作F''H⊥MN，B'L⊥MN，由题意得：∠F''AM＝∠B''AN＝70°，∠B'AL=20°，∴AH＝F'G＝17cm，AL=10cos20°=9.4
∴F''到水管KT的距离为17＋9.4＝26.4cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作F'G⊥MN，根据正弦函数的定义得出F'G＝AF'×sin20°，即可得出F'G的长度，由线段的和差即可得出点F'到地面的高度；
（2）由题意得：∠F''AM＝∠B''AN＝70°，∠B'AL=20°，根据互余两角的函数关系，得出AH＝F'G＝17cm，根据余弦函数的定义得出AL=10cos20°=9.4，根据线段的和差从而得出F''到水管KT的距离。
29．【答案】（1）解：过A作AD⊥BC于D，
则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD= ，即tan60°= ，所以BD= = x，又BC=4，即BD+CD=4，所以 x+x=4，解得x=6﹣2 ．
答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2 ）公里
（2）解：在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，∴AD= BD，∴BD= = ≈1.46≈1.5（公里）．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，根据点到直线的距离得出：AD的长度就是A到岸边BC的最短距离；在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x．在Rt△ABD中，利用正切函数表示出BD，再根据BD+CD=4，列出方程，求解即可得出x的值，即AD的长；
（2）在Rt△ABD中，由三角形的内角和得出∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AD= BD，从而就可求出BD的长。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册1.5-1.6 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·定安期末）如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1： 的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（ ）
A．8m B．12m C．14m D．16m
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解；∵该斜坡的坡度为i=1: ，
∴AB:BC=1: ，
∵AB=8m，
∴BC=8 m，
则AC= m.
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形的坡度问题进行求解即可。
2．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A，B，C，D，E，F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200 B．250 C．300 D．540
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，∠EAC=45°，EC=100米，
∴AC=EC=100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC=3EC=300米，
∴AB=300+100=400米，
设DF=x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD=3DF=3x米，
∵∠DAF=12°，tan12°≈0.2，
∴AD=5DF=5x米，
则8x=400，
解得x=50，
∴AD=250米．
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AC=EC=100米，根据坡度的定义得出BC,进而得出AB，设DF=x米，根据坡度的定义表示出BD，根据正切函数的定义表示出AD，最后根据AB=AD+BD，列出方程，求解即可。
3．如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．4m B． m
C．（5 + ）m D．（ + ）m
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过A作AD⊥CE于D，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥CE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=5m，AB=1.5m，
∴AD=BE=5m，DE=AB=1.5m．
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=5m，
∴CD=AD tan30°=5× = ，
∴CE=CD+DE= +1.5=（ + ）m．
答：这棵树高是（ + ）m．
故答案为：D．
【分析】根据题意得到四边形ABED是矩形，再由解直角三角形中正切的定义，得到CD=AD tan30°的值，求出树高CE=CD+DE的值.
4．如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C点，
只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得：∠AOB=30°，∠ABC=45°、OB=20海里，
∴BC=AC，CO=AC÷tan∠AOB=AC÷tan30°= ，
∵CO﹣CB= ﹣AC=20，
解得：AC= 海里，
∴BC=AC=10（ +1）海里，
故答案为：A．
【分析】根据正切的定义和特殊角的三角函数值求出CO的值，求出BC=AC的值.
5．（2017·益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．h cosα
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴BC= = ，
故选：B．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD= 知BC= = ．
6．（2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为x米，
由勾股定理可得
梯子的长度2=0.72+2.42=x2+22,
可解得x=1.5,
则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2（米）.
故选C.
【分析】当梯子斜靠在右墙时，梯子的长度并不改变，而且墙与水平面是垂直的，则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.
7．为测量被池塘相隔的两棵树 ， 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树 沿着垂直于 的方向走到 ，再从 沿着垂直于 的方向走到 ， 为 上一点。其中 位同学分别测得三组数据：（1） ， ；（2） ， ， ；（3） ， ， 。其中能根据所测数据求得 ， 两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：第（1）组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；
第（2）组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；
第（3）组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．
故答案为：D．
【分析】（1）根据AB=ACtan，已知∠ACB和AC的长，可求AB。（2）已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB。（3）根据△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长。
8．（2018·宁晋模拟）数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m.
A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示：过点C作 延长线于点G，交EF于点N，
根据题意可得： ，
计算得出： ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
故 ，即 ，
计算得出： ，
故 ，
则 ，
故答案为：D.
【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：过点C作 C G ⊥ A B 延长线于点G，交EF于点N，因为斜坡 D E 的坡度i=1：4，所以，解得EF=2，而 sinα=，设AG=3x，则AC=5x ，所以BC=4x ，即8+1.6=4x ，解得 x = 2.4 ，所以AG=2.4×3=7.2m ，则AB=AG BG=7.2 0.4=6.8m。
9．（2018·温州模拟）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形AECB是矩形
∴CE=AB=1.7，AE=BC=5，∠DEA=90°
∴tan∠α=
∴
解之：DE=1.5
∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2
故答案为：C
【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形，从而可求出CE、AE的长，再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=DE+CE，可求得结果。
10．（2018·南宁模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处于灯塔P的距离为（ ）
A．30 海里 B．15 海里 C．30 海里 D．15 海里
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB于C，
由题意得，∠APC=45°，∠BPC=60°，
∴PC=PA cos∠APC=15 ，
在Rt△BPC中，BP= （海里），
故答案为：C．
【分析】过点P作PC⊥AB于C，由题意得，∠APC=45°，∠BPC=60°，根据余弦函数的定义，由PC=PA cos∠APC算出PC的长，进而再用BP=即可得出答案。
11．（2018七上·临沭期末）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故C符合．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出符合条件的方向角.
12．（2018九上·深圳期末）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）
A．30 米 B．30 米
C．40 米 D．（30+ ）米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如下图：
过点B作BEl于点E，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=AC=60，
∴在RtBCE中，
BE=BCsin60°=.
故答案为：B.
【分析】根据题意作出辅助线，再根据∠BAD=30°，∠BCD=60°，得到∠ABC=30°，进而得到BC=AC=60，所以利用解RtBCE，得出BE的长.
13．（2017九上·深圳期中）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图：设BC=x，
∵AB⊥BC，GC⊥BC，
∴AB∥GC，
∴△ABD∽GCD，
∴=，
∴=，
又∵AB⊥BC，HE⊥BC，
∴AB∥HE，
∴△ABF∽HEF，
∴=，
∴=，
∴=
∴x=3，
∴=，
∴AB=6.
故答案为：B．
【分析】如图：设BC=x，由AB⊥BC，GC⊥BC，得AB∥GC，从而得△ABD∽GCD，根据相似三角形的性质得=，即=，
又由AB⊥BC，HE⊥BC，得AB∥HE，从而得△ABF∽HEF，根据相似三角形的性质得=，即=，根据等量代换得出x值，代入求出AB的值，即可得答案.
14．重庆一中研究性学习小组准备利用所学的三角函数的知识取测量南山大金鹰的高度．他们在B处测得山顶C的仰角是45°，从B沿坡度为1： 的斜度前进38米到达大金鹰上的一个观景点D，再次测得山顶C的仰角为60°，则大金鹰的高度AC为（ ）米（结果精确到1米．参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
A．45 B．48 C．52 D．54
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC，DE⊥AB于E，
∵BD的坡度为1： ，
∴∠ABD=30°，又∠ABC=45°，
∴∠BDC=15°，
∵∠FDC=60°，∠DFC=90°，
∴∠FCD=30°，又∠ACB=45°，
∴∠DCB=15°，
∴∠DCB=∠DBC，
∴CD=BD=38，
∵AC⊥BA，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形AFDE是矩形，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，
∴DE= BD=19，
∴BE=38×cos30°=19 ≈33，
∴AC=19+33=52．
故选：C．
【分析】根据题目所给的度数可判定△BDC是等腰三角形，得到CD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的长和DE的长，从而可求出山高的高度．
15．（2018·定兴模拟）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是（ ）
A．（ ）2017 B．（ ）2016
C．（ ）2017 D．（ ）2016
【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的其他实际应用；探索图形规律
【解析】【解答】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°= ，则B2C2= = ，
同理可得：B3C3= ，
故正方形AnBnCnDn的边长是： ，
则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是： ，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可知四边相等，四个内角为直角，进而求出外角分别为30度60度，再利用锐角三角函数求出，探究规律
二、填空题
16．（2018·潜江模拟）如图，铁路的路基是等腰梯形ABCD，斜坡AD、BC的坡度i=1：1.5，路基AE高为3米，现由单线改为复线，路基需加宽4米，（即AH=4米），加宽后也成等腰梯形，且GH、BF斜坡的坡度i'=1：2，若路长为10000米，则加宽的土石方量共是 立方米．
【答案】1.65×105
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过H点作HJ⊥GF于J，
∵i=1：1.5，AE=3，
∴DE=4.5，
∴DC=13．
∴S梯形ABCD=（4+13）×3÷2=25.5（米2）．
又∵GH、BF斜坡的坡度i'=1：2，
∴GJ为6，
∴GF=2GJ+8=20，S梯形BFGH=（8+20）×3÷2=42（米2）．
∴加宽的土石方量=（42-25.5）×10000=165000=1.65×105立方米．
故答案为：1.65×105.
【分析】因为加宽的土石方量=加宽的路的截面积×路长，所以首先求得加宽的路四边形AHGD和三角形BCF的面积，由图知，加宽的路四边形AHGD和三角形BCF的面积=梯形BFGH的面积-梯形ABCD的面积，再根据已知条件求解即可。
17．（2018·江油模拟）如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1∶ ，求大楼AB的高度是 ？（结果保留根号）
【答案】29+6
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，因为梯坎坡度=1： ，所以BH：CH=1： ，
设BH=x米，则CH= 米， 在直角三角形BCH中，BC=12米，
由勾股定理得： ，解得：x=6，所以BH=6米，CH=6 米，
所以BG=GH-BH=15-6=9(米)，EG=DH=CH=6 +20(米)，
因为α是45°，所以∠ EAG= ，
所以三角形AEG是等腰直角三角形，
所以AG=AG+BG=6 +20+9=29+6 (米).
【分析】要求大楼AB的高度，需将AB放在直角三角形中即可求解。于是可作辅助线延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，解直角三角形BCH和直角三角形AEG即可求解。
18．（2018·苏州模拟）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果保留根号）．
【答案】 一4
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：因为∠MAD=45°， AM=4，所以MD=4，
因为AB=8，所以MB=12，
因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4 .
所以CD=4 -4.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出MD=4，根据线段的和差得出MB=12，根据正切函数的定义，由CM=MBtan30°算出CM的长，根据线段的和差算出CD的长。
19．为解决停车难的问题，在如图所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.
【答案】17
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解 ：
如图，BC=2.2×sin45 =2.2×≈1.54米，
CE=5×sin45 =5×≈3.5米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45 =2.2÷≈3.1米，
(56 5.04)÷3.1+1=50.96÷3.1+1
≈16.4+1=17.4(个).
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位。
故答案为：17.
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
20．（2016九下·邵阳开学考）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的竹竿影长为2米，则电线杆的高度为 。
【答案】（14+2 ）米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．
DE=8sin30°=4；
CE=8cos30°=4 ；
∵测得1米杆的影长为2米．
∴EF=2DE=8
∴BF=BC+CE+EF=20+4 +8=28+4
∴电线杆AB的长度是 （28+4 ）=14+2 米．
【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．根据锐角三角函数的定义得出DE,CE的长，根据同一时刻，同一地点物体与影长的比是一个定值，从而得出EF=2DE=8 ，进一步得出电线杆的影长BF及电线杆的长度。
21．（2017·大连模拟）如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为 m（精确到0.1m，参考数据 ≈1.73）
【答案】17.1
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．
在直角△ADE中，有AE=DE×tan30°=9 ，
那么旗杆AB的高为AE+EB=9 +1.5≈17.1（m）．
故答案为17.1
【分析】根据题意：过点D作DE⊥AB，交AB与E；可得Rt△ADE，解之可得AE的大小；进而根据AB=BE+AE可得旗杆AB的高．
三、解答题
22．（2018·青岛）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
【答案】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM= = x，由题意得，840﹣x+ x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】添加辅助线，将要求得问题转化到直角三角形中，作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，易证四边形ONCM为矩形，得出ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，再证明△ANO是等腰直角三角形，可得出ON=AN=840﹣x，再表示出MC的长，然后在Rt△BOM中，利用解直角三角形求出BM的长，再根据BC=ON+BM=500，建立方程求解即可。
23．（2018·张家界） 2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．
【答案】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE= AD= ×1400=700，DE= AE=700 ，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700 ，在Rt△CDF中，CF= DF= ×300=100 ，∴BC=700 +100 =800 ．答：选手飞行的水平距离BC为800 m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AE，DE的长，根据BE=AB﹣AE算出BE的长，根据矩形的旋转得出DF，BF的长，在Rt△CDF中，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CF的长，从而根据BC=BF+FC算出答案。
24．（2017·济宁模拟）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【答案】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，
∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）．
答：旗杆CD的高度约13.9米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意得AC=20米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．
25．（2017·裕华模拟）如图，贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）
【答案】解：过点D作DH⊥BC于点M，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC，
设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH=30°，
∴DH= （x﹣5），AC=EC﹣EA= （x﹣5）﹣10，
在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC= ，
∴x=tan50° [ （x﹣5）]，
解得：x≈21，
答：建筑物BC的高约为21m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先过点D作DH⊥BC，垂直为H，依据有三个角为直角的四边形为矩形可得到四边形DHCE是矩形，然后依据矩形的性质得到DH=EC，DE=HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x-5）m，由三角函数得出DH=（x-5），AC=EC-EA求得AC的长，然后依据锐角三角形函数的定义列出关于x的方程即可.
26．（2018·灌云模拟）近年来，共享单车服务的推出 如图 ，极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图 车轮半径约为 ，其中 直线l， ， ．
参考数据： ， ，
（1）求单车车座E到地面的高度； 结果精确到
（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高 腿长 的 时，坐骑比较舒适 小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置 ，求 的长 结果精确到
【答案】（1）解：如图1，过点E作 于点M，
由题意知 、 ，
，
则单车车座E到地面的高度为
（2）解：如图2所示，过点 作 于点H，由题意知 ，则 ，
．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点E作 EM⊥BC 于点M，由EB=ECsin∠BCE，可得出答案。
（2）过点 E' 作 E'H⊥BC 于点H，先利用解直角三角形求出E'C的长，再根据EE'=CE' CE可得出答案。
27．（2018九下·夏津模拟）某商场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，一楼到地平线的距离BC＝1米．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1米)
（2）如果给该商场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
【答案】（1）解：由题意可得∠BAD＝18°.在Rt△ABD中，AB＝ ≈ ≈5.6(米)
答：应在地面上距B点5.6米远的A处开始斜坡的施工
（2）解：能.理由：如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠DCE＝∠BAD＝18°.在Rt△CED中，CE＝CD·cos 18°≈2.8×0.95＝2.66(米).
∵2.66＞2.5，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABD中，根据tan=可求解；
（2）过点C作CE⊥AD于点E，在直角三角形DCE中，通过解直角三角形可求得CE的长与货车高度2.5米比较大小，即可判断。
28．（2018·嘉兴模拟）如图，是井用手摇抽水机的示意图，支点A的左端是一手柄，右端是一弯钩，点F，A，B始终在同一直线上，支点A距离地面100cm，与手柄端点F之间的距离AF=50cm，与弯钩端点B之间的距离AB=10cm．KT为进水管．
（1）在一次取水过程中，将手柄AF绕支点A旋转到AF'，且与水平线MN的夹角为20°，且此时点B'，K，T在一条线上，求点F'离地面的高度．
（2）当不取水时，将手柄绕支点A逆时针旋转90°至点F''位置，求端点F''与进水管KT之间的距离．（忽略进水管的粗细）（参考数据： ≈0.34， ≈0.94， ≈0.36）
【答案】（1）如图，作F'G⊥MN， ，∴F'G＝AF'×sin20°＝50×0.34＝17cm，∴点F'到地面的高度为17＋100＝117cm．
（2）作F''H⊥MN，B'L⊥MN，由题意得：∠F''AM＝∠B''AN＝70°，∠B'AL=20°，∴AH＝F'G＝17cm，AL=10cos20°=9.4
∴F''到水管KT的距离为17＋9.4＝26.4cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作F'G⊥MN，根据正弦函数的定义得出F'G＝AF'×sin20°，即可得出F'G的长度，由线段的和差即可得出点F'到地面的高度；
（2）由题意得：∠F''AM＝∠B''AN＝70°，∠B'AL=20°，根据互余两角的函数关系，得出AH＝F'G＝17cm，根据余弦函数的定义得出AL=10cos20°=9.4，根据线段的和差从而得出F''到水管KT的距离。
29．（2018九下·绍兴模拟）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点D去A点，要求AD是距离最短的路线.（精确到0.1公里， ， ）.
（1）在图中作出点D，并求最短距离；
（2）求BD的长.
【答案】（1）解：过A作AD⊥BC于D，
则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD= ，即tan60°= ，所以BD= = x，又BC=4，即BD+CD=4，所以 x+x=4，解得x=6﹣2 ．
答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2 ）公里
（2）解：在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，∴AD= BD，∴BD= = ≈1.46≈1.5（公里）．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，根据点到直线的距离得出：AD的长度就是A到岸边BC的最短距离；在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x．在Rt△ABD中，利用正切函数表示出BD，再根据BD+CD=4，列出方程，求解即可得出x的值，即AD的长；
（2）在Rt△ABD中，由三角形的内角和得出∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AD= BD，从而就可求出BD的长。
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