人教版数学九年级上册第24章 24.1.3弧、弦、圆心角 同步练习
一、单选题
1．（2017·德惠模拟）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
2．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
3．（2017·瑞安模拟）P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知 、 的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
4．（2017·潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为
的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A． 或2 B． 或2 C． 或2 D． 或2
5．（2017·平顶山模拟）如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
6．（2017·萍乡模拟）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1， ） B．（0， ）
C．（ ，0） D．（1， ）
7．（2017九上·灌云期末）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
8．（2017·宜春模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
9．（2017·资中模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若 的度数为60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．30° C．35° D．45°
11．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（ ）
A．22° B．32° C．136° D．68°
12．（2017·唐河模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
二、填空题
13．（2017·绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为 .
14．（2017·溧水模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．
15．（2017·秦淮模拟）正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接BE、CE，则∠ABE= °．
16．（2017·石家庄模拟）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是 cm．
17．（2017·丹江口模拟）如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点， = = ，则CM+DM的最小值为 ．
三、解答题
18．（2017九上·宜春期末）如图，AB是⊙O的直径， = ，且AB=5，BD=4，求弦DE的长．
19．（2016九上·仙游期中）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
20．（2017·顺德模拟）如图，A，B，C，D，P是⊙O上的五个点，且∠APB=∠CPD. 与 的大小有什么关系？为什么？
21．（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求 的值
四、综合题
22．（2017·慈溪模拟）如图所示，在⊙O中， = ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故选：C．
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
3．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 和 所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A= ×32°=16°，∠ADB= ×88°=44°，
∵∠P+∠A=∠ADB，
∴∠P=∠ADB﹣∠P=44°﹣16°=28°．
故选B．
【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为 的中点，
∴BD⊥AC，
①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD= ×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE= BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE= = ，
∴边CD= = ；
如图②，
BD= ×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE= = =2 ，
∴边CD= = =2 ，
故选D．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD= ×2×3=2，如图②，BD= ×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ = = ，
∴∠BOC= ×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2 ，
∴AC=2CD=4 ，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，
即（4 ）2+（ AB）2=AB2，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
故选D．
【分析】连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OQ、PO，
则∠POQ=120°﹣60°=60，
∵PO=OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴PQ=OP=OQ= ×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，
∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，
∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AQ= OQ=1cm，
∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA= = ，
∴A的坐标是（0， ），
故选B．
【分析】连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO= BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故 的度数是150°．
故选：C．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
8．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=30°，
∴∠DCE=∠BAC=30°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣30°=45°．
故选A．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
9．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣110°=70°．
∵且 = ，∠BAC=20°，
∴∠DCE=∠BAC=20°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=70°﹣20°=50°．
故选C．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
10．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴ ，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠BDC= ∠BOC=30°，
故选：B．
【分析】由垂径定理得出相等的弧，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根据圆周角定理求解．
11．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
故选C．
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
12．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
13．【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠DAE与∠DOE在同一个圆中，且所对的弧都是 ，
则∠DOE=2∠DAE=2×45°=90°.
故答案为90°.
【分析】运用圆周角与圆心角的关系即可解答.
14．【答案】（3，3）
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB=4，OA=2，
∴AB= =2 ，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（1，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径 ．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a﹣2，CF=a﹣1，PC= ，
∴根据勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣1）2=（ ）2，
解得：a=3，
∴P（3，3）；
故答案为：（3，3）．
【分析】由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据∠AOP=45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由∠AOB为直角，利用直角所对的弦为直径得到AB为直径，Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可．
15．【答案】22.5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OE，如图所示．
∵四边形ABCD是园内接正方形，
∴∠AOD=90°．
∵E是 的中点，
∴∠AOE=45°，
∴∠ABE= ×45°=22.5°．
故答案为：22.5．
【分析】先根据正方形的性质得出∠AOD的度数，再由E是 的中点即可得出∠AOE的度数，进而可得出结论．
16．【答案】5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM= EF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为： ×360°=120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°=5 cm．
故答案为：5 ．
【分析】根据题意得到MN= BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为 ×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．
17．【答案】16
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是16．
故答案是：16．
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 = ，然后求出C′D为直径，从而得解．
18．【答案】解：连接AD，
∵ = ，
∴AD=DE，
又∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=5，BD=4，
∴DE=AD= =3，
∴DE的长为3．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】连接AD，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD，根据等弧对等弦得出AD=DE．
19．【答案】证明：∵AD=BC，
∴ = ，
∴ + = + ，
即 = ．
∴AB=CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，弦AD=BC，则弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，则AB=CD．
20．【答案】解： 与 相等．理由如下：
连结OA、OB、OC、OD，如图，
∵∠APB=∠CPD，
∴∠AOB=∠COD，
∴ = ．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OA、OB、OC、OD，先根据圆周角定理得到∠AOB=∠COD，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 = ．
21．【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠APE=45°，
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
同理AP=AE，
又∵∠CAB=∠PAE=90°，
∴∠CAP=∠BAE，
∴△CPA≌△BAE，
∴CP=BE，
在Rt△BPE中，∠PBE=90°，PE=2，
∴PB2+BE2=PE2，
∴CP2+PB2=PE2=4.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°，∠PEA=∠APE=45°，从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB，AP=AE，再证△CPA≌△BAE，得出CP=BE，依勾股定理即可得证.
22．【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴ = ，即AC2=AB AF；
（2）解：解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= ×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE= = cm，
∴AC=2AE=2 cm，
则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC= ﹣ ×2 ×1=（ ﹣ ）cm2．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由 = ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.1.3弧、弦、圆心角 同步练习
一、单选题
1．（2017·德惠模拟）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故选：C．
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
2．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
3．（2017·瑞安模拟）P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知 、 的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 和 所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A= ×32°=16°，∠ADB= ×88°=44°，
∵∠P+∠A=∠ADB，
∴∠P=∠ADB﹣∠P=44°﹣16°=28°．
故选B．
【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．
4．（2017·潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为
的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A． 或2 B． 或2 C． 或2 D． 或2
【答案】D
【知识点】菱形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为 的中点，
∴BD⊥AC，
①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD= ×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE= BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE= = ，
∴边CD= = ；
如图②，
BD= ×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE= = =2 ，
∴边CD= = =2 ，
故选D．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD= ×2×3=2，如图②，BD= ×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
5．（2017·平顶山模拟）如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ = = ，
∴∠BOC= ×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2 ，
∴AC=2CD=4 ，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，
即（4 ）2+（ AB）2=AB2，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
故选D．
【分析】连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
6．（2017·萍乡模拟）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1， ） B．（0， ）
C．（ ，0） D．（1， ）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OQ、PO，
则∠POQ=120°﹣60°=60，
∵PO=OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴PQ=OP=OQ= ×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，
∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，
∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AQ= OQ=1cm，
∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA= = ，
∴A的坐标是（0， ），
故选B．
【分析】连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
7．（2017九上·灌云期末）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO= BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故 的度数是150°．
故选：C．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
8．（2017·宜春模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=30°，
∴∠DCE=∠BAC=30°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣30°=45°．
故选A．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
9．（2017·资中模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣110°=70°．
∵且 = ，∠BAC=20°，
∴∠DCE=∠BAC=20°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=70°﹣20°=50°．
故选C．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
10．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，且BD⊥AC，若 的度数为60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．30° C．35° D．45°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴ ，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠BDC= ∠BOC=30°，
故选：B．
【分析】由垂径定理得出相等的弧，得出∠BOC=∠AOB=60°，再根据圆周角定理求解．
11．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（ ）
A．22° B．32° C．136° D．68°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
故选C．
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
12．（2017·唐河模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
二、填空题
13．（2017·绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E.则∠DOE的度数为 .
【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∠DAE与∠DOE在同一个圆中，且所对的弧都是 ，
则∠DOE=2∠DAE=2×45°=90°.
故答案为90°.
【分析】运用圆周角与圆心角的关系即可解答.
14．（2017·溧水模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．
【答案】（3，3）
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB=4，OA=2，
∴AB= =2 ，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（1，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径 ．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a﹣2，CF=a﹣1，PC= ，
∴根据勾股定理得：（a﹣2）2+（a﹣1）2=（ ）2，
解得：a=3，
∴P（3，3）；
故答案为：（3，3）．
【分析】由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据∠AOP=45°，得到三角形OPE为等腰直角三角形，即P横纵坐标相等，设为P（a，a），由∠AOB为直角，利用直角所对的弦为直径得到AB为直径，Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，求出圆心C坐标，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出P的坐标即可．
15．（2017·秦淮模拟）正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接BE、CE，则∠ABE= °．
【答案】22.5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OE，如图所示．
∵四边形ABCD是园内接正方形，
∴∠AOD=90°．
∵E是 的中点，
∴∠AOE=45°，
∴∠ABE= ×45°=22.5°．
故答案为：22.5．
【分析】先根据正方形的性质得出∠AOD的度数，再由E是 的中点即可得出∠AOE的度数，进而可得出结论．
16．（2017·石家庄模拟）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是 cm．
【答案】5
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM= EF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为： ×360°=120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°=5 cm．
故答案为：5 ．
【分析】根据题意得到MN= BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为 ×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．
17．（2017·丹江口模拟）如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点， = = ，则CM+DM的最小值为 ．
【答案】16
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是16．
故答案是：16．
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 = ，然后求出C′D为直径，从而得解．
三、解答题
18．（2017九上·宜春期末）如图，AB是⊙O的直径， = ，且AB=5，BD=4，求弦DE的长．
【答案】解：连接AD，
∵ = ，
∴AD=DE，
又∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=5，BD=4，
∴DE=AD= =3，
∴DE的长为3．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】连接AD，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD，根据等弧对等弦得出AD=DE．
19．（2016九上·仙游期中）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．
【答案】证明：∵AD=BC，
∴ = ，
∴ + = + ，
即 = ．
∴AB=CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，弦AD=BC，则弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，则AB=CD．
20．（2017·顺德模拟）如图，A，B，C，D，P是⊙O上的五个点，且∠APB=∠CPD. 与 的大小有什么关系？为什么？
【答案】解： 与 相等．理由如下：
连结OA、OB、OC、OD，如图，
∵∠APB=∠CPD，
∴∠AOB=∠COD，
∴ = ．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OA、OB、OC、OD，先根据圆周角定理得到∠AOB=∠COD，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 = ．
21．（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求 的值
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠APE=45°，
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
同理AP=AE，
又∵∠CAB=∠PAE=90°，
∴∠CAP=∠BAE，
∴△CPA≌△BAE，
∴CP=BE，
在Rt△BPE中，∠PBE=90°，PE=2，
∴PB2+BE2=PE2，
∴CP2+PB2=PE2=4.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°，∠PEA=∠APE=45°，从而得证.
（2）根据题意可知，AC=AB，AP=AE，再证△CPA≌△BAE，得出CP=BE，依勾股定理即可得证.
四、综合题
22．（2017·慈溪模拟）如图所示，在⊙O中， = ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴ = ，即AC2=AB AF；
（2）解：解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= ×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE= = cm，
∴AC=2AE=2 cm，
则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC= ﹣ ×2 ×1=（ ﹣ ）cm2．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由 = ，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
1 / 1
