2017-2018学年人教版数学九年级下册27.2.2 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2017·连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ = ，A不一定成立；
=1，B不成立；
= ，C不成立；
= ，D成立，
故选：D．
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
2．（2017·哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴ ，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D））∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴ = ，故D错误；
故选（C）
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
3．（2017·恩施）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = = ，
∴BC= DE，
∴CF=BC﹣BF= DE=6，
∴DE=10．
故选C．
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC= DE，再根据CF=BC﹣BF= DE=6，即可求出DE的长度．
4．（2017·江北模拟）若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′面积比是：1：4．
故选：D．
【分析】由△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
5．（2017九上·天长期末）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴ ， = ，
∴ + = + = =1．
∵AB=1，CD=3，
∴ + =1，
∴EF= ．
故选C．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 ， = ，从而可得 + = + =1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
6．（2017·槐荫模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC1，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CPD+∠PDC=90°，
∴∠BPE=∠PDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△PCD∽△EBP，
∴ = ，
即 = ，
∴y= x（5﹣x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴函数图象为C选项图象．
故选：C．
【分析】根据翻折变换的性质可得∠CPD=∠C′PD，根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE，然后求出∠BPE+∠CPD=90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CPD+∠PDC=90°，从而得到∠BPE=∠PDC，根据两组角对应相等的三角形相似求出△PCD和△EBP相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出y与x的关系式，再根据二次函数的图象解答即可．
7．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△DEF的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．54
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1，
∵△DEF的周长为18，
∴△ABC的周长为54．
故选D．
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=20°，∠C=120°，则∠B′的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．120°
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=20°，∠C=120°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=40°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B=40°．
故选C．
【分析】由∠A=20°，∠C=120°，根据三角形内角和定理，可求得∠B的度数，然后由△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的对应角相等，求得答案．
9．若两个相似三角形的面积之比为1：2，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1： ，
∴两个相似三角形的周长比为1： ，
故选：D．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
10．如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（ ）
A．5：3 B．3：2 C．2：3 D．3：5
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵B′C′：BC=1.8：3=3：5，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为3：5．故选D．
【分析】根据题意，易证△A′B′C′∽△ABC，又相似比等于对应边的比，列出比例式计算即可得出．
11．（2017·鄞州模拟）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵DE//BC,
∴，A正确；
因为DF//BE，
所以△ADF~△ABE，
所以，B正确；
∵DF//BE,
∴，
又∵
，C正确；
∵DE//BC,
∴△ADE~△ABC，
∴,
而,
∴D错误.
故选D.
【分析】根据平行线分线段成比例，也可证明三角形相似，再根据相似三角形，可以得到各边比例相等的关系.
12．（2017·深圳模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将 ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将 CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的个数有（ ）.
① CMP∽ BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2 ；
⑤当 ABP≌ AND时，BP=4 -4.
A．①②③ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②⑤
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB=x，则CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴=，
∴CM=x（4-x），
∴S四边形AMCB=[4+x（4-x）]×4=-x2+2x+8=-（x-2）2+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
易证得△ADN≌△AEN，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22解得y=，
∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，
∵AM==，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x（4-x）=（x-2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值==5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=4，
∴z=4-4，
∴PB=4-4，故⑤正确．
故正确的为①②⑤．
故选D.
【分析】①由折叠的性质和平角的定义易证得∠APM=90°，根据角的等量代换，则∠CPM=∠PAB，又∠C=∠B=90°，则△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB是一个梯形，则需要求出CM的值，可设PB=x，则CP=4-x，△CMP∽△BPA， ，用x表示出CM，再用x表示出四边形AMCB的面积，再利用二次函数求最值的方法可求得；
③易证得△ADN≌△AEN，则可设ND=NE=y，运用勾股定理可得可求出y；
④作MG⊥AB于G，则有AM= ，MG为定值，当AG为最小值时，AM有最小值，而当CM=2时，AG有最小值；
⑤在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，当△ABP≌△ADN时，∠PAB=∠PAE=∠DAN=∠NAE=22.5°，可得∠BPK=∠BKP=45°，PB=BK=z，AK=PK= z，由BK+AK=AB，可解出z.
二、填空题
13．（2017·惠阳模拟）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为 ．
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．
故答案为：1：9．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
14．（2017·云南）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC， = ，则 = ．
【答案】 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】根据平行定理得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质和合比性质得出答案即可.
15．（2017·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，那么AD的长是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ABD，
∴∠ABC=∠CAD，
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
∵BD=AD，AB=3，AC=2，
∴ ，
解得，AD= ，CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得到△ACD∽△BCA，然后根据题目中的数据即可求得AD的长．
16．（2017·开封模拟）如图，在△ABC中， = ，DE∥AC，则DE：AC= ．
【答案】5：8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ = ，
故答案为：5：8．
【分析】由比例的性质得出 = ，由平行线得出△BDE∽△BAC，得出比例式，即可得出结果．
17．（2017·黄冈模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= =5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
三、解答题
18．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．
【答案】解：
∵△OBD∽△OAC，
∴ = = ，
∴ = ，解得OA=6，
∴AB=OA+OB=4+6=10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．
19．（2017·吉林模拟）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．
【答案】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
∵AE=5，AB=9，CB=6，
∴ ，
解得：DE=
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先判定三角形ABC与三角形AED相似，然后利用相似三角形的性质得到比例式即可求得ED的长．
20．（2016九上·海原期中）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边想向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=0.8，
②BP与AB边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
21．（2016九上·金东期末）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证： = ．
【答案】证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，
∴∠D=∠E=90°，
∵∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ =
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，可得∠D=∠E=90°，又由∠ACD=∠BCE，即可证得△ACD∽△BCE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
四、综合题
22．（2017·杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴ =
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴ ，
∴ =
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC， ，又易证△EAF∽△CAG，所以 ，从而可知 ．
1 / 12017-2018学年人教版数学九年级下册27.2.2 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2017·连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
2．（2017·哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．（2017·恩施）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2017·江北模拟）若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
5．（2017九上·天长期末）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017·槐荫模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△DEF的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．54
8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=20°，∠C=120°，则∠B′的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．120°
9．若两个相似三角形的面积之比为1：2，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：
10．如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为（ ）
A．5：3 B．3：2 C．2：3 D．3：5
11．（2017·鄞州模拟）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·深圳模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将 ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将 CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的个数有（ ）.
① CMP∽ BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2 ；
⑤当 ABP≌ AND时，BP=4 -4.
A．①②③ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②⑤
二、填空题
13．（2017·惠阳模拟）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为 ．
14．（2017·云南）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC， = ，则 = ．
15．（2017·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，那么AD的长是 ．
16．（2017·开封模拟）如图，在△ABC中， = ，DE∥AC，则DE：AC= ．
17．（2017·黄冈模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
三、解答题
18．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．
19．（2017·吉林模拟）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．
20．（2016九上·海原期中）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边想向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？
21．（2016九上·金东期末）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证： = ．
四、综合题
22．（2017·杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ = ，A不一定成立；
=1，B不成立；
= ，C不成立；
= ，D成立，
故选：D．
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴ ，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D））∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴ = ，故D错误；
故选（C）
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = = ，
∴BC= DE，
∴CF=BC﹣BF= DE=6，
∴DE=10．
故选C．
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC= DE，再根据CF=BC﹣BF= DE=6，即可求出DE的长度．
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′面积比是：1：4．
故选：D．
【分析】由△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴ ， = ，
∴ + = + = =1．
∵AB=1，CD=3，
∴ + =1，
∴EF= ．
故选C．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 ， = ，从而可得 + = + =1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
6．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC1，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CPD+∠PDC=90°，
∴∠BPE=∠PDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△PCD∽△EBP，
∴ = ，
即 = ，
∴y= x（5﹣x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴函数图象为C选项图象．
故选：C．
【分析】根据翻折变换的性质可得∠CPD=∠C′PD，根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE，然后求出∠BPE+∠CPD=90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CPD+∠PDC=90°，从而得到∠BPE=∠PDC，根据两组角对应相等的三角形相似求出△PCD和△EBP相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出y与x的关系式，再根据二次函数的图象解答即可．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1，
∵△DEF的周长为18，
∴△ABC的周长为54．
故选D．
【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=20°，∠C=120°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=40°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B=40°．
故选C．
【分析】由∠A=20°，∠C=120°，根据三角形内角和定理，可求得∠B的度数，然后由△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的对应角相等，求得答案．
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1： ，
∴两个相似三角形的周长比为1： ，
故选：D．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵B′C′：BC=1.8：3=3：5，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为3：5．故选D．
【分析】根据题意，易证△A′B′C′∽△ABC，又相似比等于对应边的比，列出比例式计算即可得出．
11．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵DE//BC,
∴，A正确；
因为DF//BE，
所以△ADF~△ABE，
所以，B正确；
∵DF//BE,
∴，
又∵
，C正确；
∵DE//BC,
∴△ADE~△ABC，
∴,
而,
∴D错误.
故选D.
【分析】根据平行线分线段成比例，也可证明三角形相似，再根据相似三角形，可以得到各边比例相等的关系.
12．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
设PB=x，则CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴=，
∴CM=x（4-x），
∴S四边形AMCB=[4+x（4-x）]×4=-x2+2x+8=-（x-2）2+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
易证得△ADN≌△AEN，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22解得y=，
∴NE≠EP，故③错误，
作MG⊥AB于G，
∵AM==，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x（4-x）=（x-2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值==5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=4，
∴z=4-4，
∴PB=4-4，故⑤正确．
故正确的为①②⑤．
故选D.
【分析】①由折叠的性质和平角的定义易证得∠APM=90°，根据角的等量代换，则∠CPM=∠PAB，又∠C=∠B=90°，则△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB是一个梯形，则需要求出CM的值，可设PB=x，则CP=4-x，△CMP∽△BPA， ，用x表示出CM，再用x表示出四边形AMCB的面积，再利用二次函数求最值的方法可求得；
③易证得△ADN≌△AEN，则可设ND=NE=y，运用勾股定理可得可求出y；
④作MG⊥AB于G，则有AM= ，MG为定值，当AG为最小值时，AM有最小值，而当CM=2时，AG有最小值；
⑤在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，当△ABP≌△ADN时，∠PAB=∠PAE=∠DAN=∠NAE=22.5°，可得∠BPK=∠BKP=45°，PB=BK=z，AK=PK= z，由BK+AK=AB，可解出z.
13．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．
故答案为：1：9．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
14．【答案】 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】根据平行定理得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质和合比性质得出答案即可.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ABD，
∴∠ABC=∠CAD，
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
∵BD=AD，AB=3，AC=2，
∴ ，
解得，AD= ，CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得到△ACD∽△BCA，然后根据题目中的数据即可求得AD的长．
16．【答案】5：8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ = ，
故答案为：5：8．
【分析】由比例的性质得出 = ，由平行线得出△BDE∽△BAC，得出比例式，即可得出结果．
17．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= =5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
18．【答案】解：
∵△OBD∽△OAC，
∴ = = ，
∴ = ，解得OA=6，
∴AB=OA+OB=4+6=10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．
19．【答案】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
∵AE=5，AB=9，CB=6，
∴ ，
解得：DE=
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先判定三角形ABC与三角形AED相似，然后利用相似三角形的性质得到比例式即可求得ED的长．
20．【答案】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=0.8，
②BP与AB边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
21．【答案】证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，
∴∠D=∠E=90°，
∵∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ =
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，可得∠D=∠E=90°，又由∠ACD=∠BCE，即可证得△ACD∽△BCE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
22．【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴ =
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴ ，
∴ =
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC， ，又易证△EAF∽△CAG，所以 ，从而可知 ．
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