苏教版高中数学选修（2-3）1.2排列1,3组合
一、单选题
1．（2020高二下·顺德期中） =（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】
。
故答案为：D.
【分析】利用组合数公式化简求值。
2．（2018高二下·张家口期末）同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ）
A．48 B．56 C．60 D．120
【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：宿舍长必须和班主任相邻则有 种可能，
然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有 种不同的排法
故答案为：
【分析】相邻问题，用“捆绑”法，将宿舍长和班主任“捆绑”有种情况，再和其它元素一起全排列。
3．（2014·辽宁理）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法．根据分步计数原理可得结论．
4．（2020高二下·徐州月考）2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ）
A．462 B．126 C．210 D．132
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，
共有 种方案.
故选：B.
【分析】利用隔板法进行求解，即可得答案.
5．（2020高二下·栖霞月考）已知 ，则 （ ）
A．14 B．15 C．13 D．12
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由组合数性质知， ，
所以 ，
所以 ，
得 .
故选：D
【分析】根据组合数性质有 ，再由 求解.
6．（2012·浙江理）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有 =1种结果，
当取得4个奇数时，有 =5种结果，
当取得2奇2偶时有 =6×10=60
∴共有1+5+60=66种结果，
故选D
【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．
7．（2017·新课标Ⅱ卷理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
8．（2014·大纲卷理）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选C．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
9．（2020·池州模拟）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M、N两社区需要招募义务宣传员，现有A、B、C、D、E、F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M、N两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生，且 由于工作原因只能派往M社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A． 60 B．90 C．120 D．150
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】将选派方案分为N社区选派4人和5人两种情况，
当N社区选派4人时，必由 名党员教师，3位大学生构成，共有： 种选派方案；
当N社区选派5人时，必由2名党员教师，3位大学生构成，共有： 种选派方案；
由分类加法计数原理可知：不同的选派方案种数有 种.
故答案为： .
【分析】将问题分为N社区选派4人和5人两种情况，分别计算出两种情况下的选派方案种数，根据分类加法计数原理可求得结果.
10．（2018高二下·甘肃期末）有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）
A．8种 B．16种 C．32种 D．48种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，
选出一人排在左侧，有： 种方法，
另外一人排在右侧，有 种方法，
余下两人排在余下的两个空，有 种方法，
综上可得：不同的站法有 种.
故答案为：B.
【分析】先计算出一人排在左边的方法总数，然后选出另外一人排在右边有2种，余下两人排在余下两个空的总数，利用乘法原理，即可得出答案。
二、填空题
11．（2020高二下·顺德期中）若 ，则 ．
【答案】5
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
.
故答案为: .
【分析】排列数和组合数用阶乘表示，化简方程求解即可.
12．（2022·黄浦模拟）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】120
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意得，去掉选，名女教师情况即可:C95-C65=126-6=120。
【分析】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序呀关，手非列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关.“合”与“不合”的问题:“合”，则先将这些元素取山，再由另冲元素补足;“不合”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.通常甲直接法分汽复杂时， 考虑逆向思维，用间接法处理.
13．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
14．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为
因此一共有 个没有重复数字的四位数.
【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．
15．（2020·嘉兴模拟）将A,B,C,D, E, F六个字母排成一排，若A, B,C均互不相邻且A, B在C的同一侧，则不同的排法有 种．（用数字作答）
【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先排D、E、F，有 种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有 种排法；
所以有 96种排法．
故答案为：96.
【分析】先排D、E、F，再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，根据乘法原理计算出结果．
三、解答题
16．（2017高二下·和平期末）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：
（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
【答案】【解答】解：（Ⅰ）根据题意，从5名男生中选出2人，有C52=10种选法，
从4名女生中选出2人，有C42=6种选法，
则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；
（Ⅱ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，
其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C74=35种，
则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126﹣35=91种；
（Ⅲ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，
其中只有男生的选法有C51=5种，只有女生的选法有C41=1种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有126﹣5﹣1=120种．
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(Ⅰ)应用排列组合公式，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的人数。
(Ⅱ)用间接法，先计算在9人中任选4人的选法数目,再排除其中“甲乙都没有入选”。
（Ⅲ）用间接法，先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案。
17．（2020高二下·栖霞月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
【答案】（1）解：从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）解：分两步完成，先选4人站前排，有 种方法，余下3人站后排，有 种方法，共有 （种）.
（3）解：（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
（4）解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（5）解：（插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
18．（2019高二下·固镇月考）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
【答案】（1）解：先从6本书中选1本，有 种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有 种分配方法
剩余的就是2本书，有 种分配方法
所以总共有 种分配方法。
（2）解：由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
种。
（3）解：从6本书中选择2本书，有 种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有 种分配方法；
剩余的就是2本书，有 种分配方法;
所以有 种分配方法。
但是，该过程有重复。假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是 。则所有情况为 ， ， ， ， ， 。
所以分配方式共有 种
（4）解：由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
种
（5）解：从6本书中选4本书的方法有 种
从剩余2本书中选1本书有 种
因为在最后两本书选择中发生重复了
所以总共有 种
（6）解：由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
种
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方法；
（2）根据排列组合，采用消序法，求出相应的方法数即可；
（3）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方式；
（4）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法；
（5）采用消序法，结合排列组合进行运算即可；
（6）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法.
19．（2016·江苏）（1）求 的值；
（2）设m，n N*，n≥m，求证：
.
【答案】（1）解：
（2）解：对任意的 ，
① 当 时，左边 ，右边 ，等式成立，
② 假设 时命题成立，
即 ，
当 时，
左边=
，
右边 ，
而 ，
因此 ，
因此左边=右边，
因此 时命题也成立，
综合①②可得命题对任意 均成立．
另解：因为 ，所以
左边
又由 ，知 ，
所以，左边 右边．
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．
1 / 1苏教版高中数学选修（2-3）1.2排列1,3组合
一、单选题
1．（2020高二下·顺德期中） =（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
2．（2018高二下·张家口期末）同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ）
A．48 B．56 C．60 D．120
3．（2014·辽宁理）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
4．（2020高二下·徐州月考）2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ）
A．462 B．126 C．210 D．132
5．（2020高二下·栖霞月考）已知 ，则 （ ）
A．14 B．15 C．13 D．12
6．（2012·浙江理）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
7．（2017·新课标Ⅱ卷理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
8．（2014·大纲卷理）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
9．（2020·池州模拟）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M、N两社区需要招募义务宣传员，现有A、B、C、D、E、F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M、N两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生，且 由于工作原因只能派往M社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A． 60 B．90 C．120 D．150
10．（2018高二下·甘肃期末）有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）
A．8种 B．16种 C．32种 D．48种
二、填空题
11．（2020高二下·顺德期中）若 ，则 ．
12．（2022·黄浦模拟）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
13．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
14．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
15．（2020·嘉兴模拟）将A,B,C,D, E, F六个字母排成一排，若A, B,C均互不相邻且A, B在C的同一侧，则不同的排法有 种．（用数字作答）
三、解答题
16．（2017高二下·和平期末）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：
（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
17．（2020高二下·栖霞月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
18．（2019高二下·固镇月考）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
19．（2016·江苏）（1）求 的值；
（2）设m，n N*，n≥m，求证：
.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】
。
故答案为：D.
【分析】利用组合数公式化简求值。
2．【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：宿舍长必须和班主任相邻则有 种可能，
然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有 种不同的排法
故答案为：
【分析】相邻问题，用“捆绑”法，将宿舍长和班主任“捆绑”有种情况，再和其它元素一起全排列。
3．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有 种办法．根据分步计数原理可得结论．
4．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，
共有 种方案.
故选：B.
【分析】利用隔板法进行求解，即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由组合数性质知， ，
所以 ，
所以 ，
得 .
故选：D
【分析】根据组合数性质有 ，再由 求解.
6．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有 =1种结果，
当取得4个奇数时，有 =5种结果，
当取得2奇2偶时有 =6×10=60
∴共有1+5+60=66种结果，
故选D
【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．
7．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：4项工作分成3组，可得： =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：6× =36种．
故选：D．
【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．
8．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选C．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
9．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】将选派方案分为N社区选派4人和5人两种情况，
当N社区选派4人时，必由 名党员教师，3位大学生构成，共有： 种选派方案；
当N社区选派5人时，必由2名党员教师，3位大学生构成，共有： 种选派方案；
由分类加法计数原理可知：不同的选派方案种数有 种.
故答案为： .
【分析】将问题分为N社区选派4人和5人两种情况，分别计算出两种情况下的选派方案种数，根据分类加法计数原理可求得结果.
10．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，
选出一人排在左侧，有： 种方法，
另外一人排在右侧，有 种方法，
余下两人排在余下的两个空，有 种方法，
综上可得：不同的站法有 种.
故答案为：B.
【分析】先计算出一人排在左边的方法总数，然后选出另外一人排在右边有2种，余下两人排在余下两个空的总数，利用乘法原理，即可得出答案。
11．【答案】5
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，
.
故答案为: .
【分析】排列数和组合数用阶乘表示，化简方程求解即可.
12．【答案】120
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意得，去掉选，名女教师情况即可:C95-C65=126-6=120。
【分析】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序呀关，手非列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关.“合”与“不合”的问题:“合”，则先将这些元素取山，再由另冲元素补足;“不合”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.通常甲直接法分汽复杂时， 考虑逆向思维，用间接法处理.
13．【答案】660
【知识点】基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
14．【答案】1260
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为
因此一共有 个没有重复数字的四位数.
【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．
15．【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先排D、E、F，有 种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有 种排法；
所以有 96种排法．
故答案为：96.
【分析】先排D、E、F，再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，根据乘法原理计算出结果．
16．【答案】【解答】解：（Ⅰ）根据题意，从5名男生中选出2人，有C52=10种选法，
从4名女生中选出2人，有C42=6种选法，
则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；
（Ⅱ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，
其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C74=35种，
则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126﹣35=91种；
（Ⅲ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，
其中只有男生的选法有C51=5种，只有女生的选法有C41=1种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有126﹣5﹣1=120种．
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(Ⅰ)应用排列组合公式，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的人数。
(Ⅱ)用间接法，先计算在9人中任选4人的选法数目,再排除其中“甲乙都没有入选”。
（Ⅲ）用间接法，先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案。
17．【答案】（1）解：从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）解：分两步完成，先选4人站前排，有 种方法，余下3人站后排，有 种方法，共有 （种）.
（3）解：（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
（4）解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（5）解：（插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
18．【答案】（1）解：先从6本书中选1本，有 种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有 种分配方法
剩余的就是2本书，有 种分配方法
所以总共有 种分配方法。
（2）解：由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
种。
（3）解：从6本书中选择2本书，有 种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有 种分配方法；
剩余的就是2本书，有 种分配方法;
所以有 种分配方法。
但是，该过程有重复。假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是 。则所有情况为 ， ， ， ， ， 。
所以分配方式共有 种
（4）解：由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
种
（5）解：从6本书中选4本书的方法有 种
从剩余2本书中选1本书有 种
因为在最后两本书选择中发生重复了
所以总共有 种
（6）解：由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
种
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方法；
（2）根据排列组合，采用消序法，求出相应的方法数即可；
（3）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方式；
（4）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法；
（5）采用消序法，结合排列组合进行运算即可；
（6）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法.
19．【答案】（1）解：
（2）解：对任意的 ，
① 当 时，左边 ，右边 ，等式成立，
② 假设 时命题成立，
即 ，
当 时，
左边=
，
右边 ，
而 ，
因此 ，
因此左边=右边，
因此 时命题也成立，
综合①②可得命题对任意 均成立．
另解：因为 ，所以
左边
又由 ，知 ，
所以，左边 右边．
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7 的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．
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