人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.2平面向量的线性运算 同步测试
一、单选题
1．化简﹣+所得的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2016高一下·攀枝花期中）化简 ﹣ + ﹣ 得（ ）
A． B． C． D．
3．计算+﹣=（ ）
A． B． C．0 D．
4．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）化简 － ＋ ＋ 的结果等于( )
A． B． C． D．
5．如图，在中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 化简后为( )
A． B． C． D．
7．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
8．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）设P是△ABC所在平面内的一点， ＋ ＝2 ，则( )
A． ＋ ＝0 B． ＋ ＝0
C． ＋ ＝0 D． ＋ ＋ ＝0
9．（2015高三上·大庆期末）在△ABC中， ， ．若点D满足 ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
10．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A． ＝ ， ＝
B． ＋ ＝
C． ＋ ＝ ＋
D． ＋ ＋ ＝
11．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．+= B．-=
C．+= D．+=
12．如图，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则-=（ ）
A． B． C． D．
14．已知ABCD是平行四边形，则下列等式中成立的是（ ）
A．+= B．+=
C．+= D．+=
15．如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．化简：(-)-(-)= ．
17．化简：(-+)+(-)=
18．++++=
19．若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=，=，则=
20．在边长为1的正方形ABCD中，设=，=，=则|--|=
三、解答题
21．化简（﹣）﹣（+）．
22．在平行四边形ABCD中 向量=，=，试用向量，表示向量，．
23．若非零向量与为共线向量，如何画出3+？
24．在平行四边形ABCD中，O为对角线交点，试用、表示．
25．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若=，=，试用，，表示、、．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】化简
故选 C．
【分析】利用向量加法的三角形法则，代入要求的式子化简。
2．【答案】D
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解： ﹣ + ﹣
= ﹣ ﹣
= ﹣
=
故选D
【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得 ﹣ + ﹣ 的值．
3．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】．
故选：D．
【分析】根据向量加法的几何意义，以及向量数乘的几何意义即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】解答：原式＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋0＝ .
分析：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给式子结合向量运算法则进行化简即可.
5．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.选C.
【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．
6．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为( ＋ )＋( ＋ )＋ =( ＋ )＋( ＋ )＋ = ＋ + = ，故选A.
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量的加法运算结合三角形法则进行化简即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，
又 ＝ ＋ ，∴ ＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量的加法及其几何意义，解决问题的关键是根据向量三角形法则几何所给四边形满足的条件进行分析即可.
8．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】解答：∵ ＋ ＝2 ，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴ ＋ ＝0.故选C.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足条件运用平行四边形法则进行计算即可.
9．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：∵由 ，
∴ ，
∴ ．
故选A
【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
10．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ .
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合选项进行分析验证即可.
11．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】A：根据向量的运算法则可得：+=，所以A错误．
B：根据向量的运算法则可得：-=，所以B错误．
C：因为四边形ABCD不是平行四边形，所以+=错误，所以C错误．
D：根据三角形法则可得：+=正确，所以D正确．
故选D．
【分析】A：根据向量的运算法则可得，A错误．B：根据向量的运算法则可得B错误．C：因为四边形ABCD不是平行四边形，所以C错误．D：根据三角形法则可得D正确。
12．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】；；
【分析】向量加法的三角形法则：将向量首位相接，由最初的起点指向最末的终点；减法法则：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量
13．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】如下图所示：
△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点
则-
故选D．
【分析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案。
14．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】∵ABCD是平行四边形，
∴+=．
故选：C．
【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可判断出。
15．【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量减法运算
【解析】【解答】。因此选C。
【分析】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
16．【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：(-)-(-)
=--+
=
=
=
=
故答案为：
【分析】根据向量减法的定义，我们易将式子化为几个向量相加的形式，然后根据向量加法的法则，即可得到答案．
17．【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】利用向量加法的三角形法则即可求得答案。
18．【答案】
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】
=
=
=
故答案为：
【分析】本题考查的知识点是向量加法的几何意义，根据向量加法的三角形法则，两个向量相加，即“首尾相接”，据此逐步对进行运算，可得结果。
19．【答案】﹣
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】=﹣
故答案为：﹣．
【分析】利用正方形的性质可得：。
20．【答案】2
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD中，设=，=，=，
∴
∴
故答案为 2．
【分析】由题意可得从而得到答案．
21．【答案】解：（﹣）﹣（+）=（﹣）﹣=．
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【分析】利用向量的加减法法则，即可得出结论。
22．【答案】解：如图，==+=+，
由平行四边形法则可得=+
=+（+）=2+
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【分析】由向量的三角形法则可得，即，再由平行四边形法则可得=+，代值计算即可。
23．【答案】解：（1）若，方向相同，则3+的方向与或方向相同，3+的长度等于长度的3倍与长度的和；
（2）若，方向相反，①若的长度的3倍等于的长度，则3+为零向量；
②若的长度的3倍大于的长度，则3+的方向与的方向相同，3+的长度等于的长度的3倍减去的长度；
③若的长度的3倍小于的长度，则3+的方向与的方向相同，3+的长度等于的长度减去的长度的3倍．
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【分析】根据，的长度关系讨论3+的方向和长度。
24．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴==（-）=﹣．
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【分析】由于O是AC中点，故==（-）。
25．【答案】解：由题意，如图=+=+=-
=+=-=-+
连接BD，则G是△BCD的重心，连接AC交BD于点O则O是BD的中点，∴点G在AC上．
∴==-=-X=-(+)
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【分析】由题意及图形知，本题考查用两个基向量，，表示、、故利用向量运算的三角形法则与数乘的几何意义将三个向量用两个基向量表示出来即可。
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一、单选题
1．化简﹣+所得的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】化简
故选 C．
【分析】利用向量加法的三角形法则，代入要求的式子化简。
2．（2016高一下·攀枝花期中）化简 ﹣ + ﹣ 得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解： ﹣ + ﹣
= ﹣ ﹣
= ﹣
=
故选D
【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得 ﹣ + ﹣ 的值．
3．计算+﹣=（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】．
故选：D．
【分析】根据向量加法的几何意义，以及向量数乘的几何意义即可得出答案。
4．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）化简 － ＋ ＋ 的结果等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算
【解析】解答：原式＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋0＝ .
分析：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解决问题的关键是根据所给式子结合向量运算法则进行化简即可.
5．如图，在中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.选C.
【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．
6．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）向量( ＋ )＋( ＋ )＋ 化简后为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为( ＋ )＋( ＋ )＋ =( ＋ )＋( ＋ )＋ = ＋ + = ，故选A.
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据向量的加法运算结合三角形法则进行化简即可.
7．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：在四边形ABCD中， ＝ ＋ ，
又 ＝ ＋ ，∴ ＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分析：本题主要考查了向量的三角形法则、向量的加法及其几何意义，解决问题的关键是根据向量三角形法则几何所给四边形满足的条件进行分析即可.
8．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）设P是△ABC所在平面内的一点， ＋ ＝2 ，则( )
A． ＋ ＝0 B． ＋ ＝0
C． ＋ ＝0 D． ＋ ＋ ＝0
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】解答：∵ ＋ ＝2 ，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴ ＋ ＝0.故选C.
分析：本题主要考查了向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足条件运用平行四边形法则进行计算即可.
9．（2015高三上·大庆期末）在△ABC中， ， ．若点D满足 ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：∵由 ，
∴ ，
∴ ．
故选A
【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
10．（人教新课标A版必修4数学2.2 平面向量的线性运算同步检测）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A． ＝ ， ＝
B． ＋ ＝
C． ＋ ＝ ＋
D． ＋ ＋ ＝
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则
【解析】解答：因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ .
分析：本题主要考查了向量的加法及其几何意义、向量的三角形法则，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件结合选项进行分析验证即可.
11．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．+= B．-=
C．+= D．+=
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】A：根据向量的运算法则可得：+=，所以A错误．
B：根据向量的运算法则可得：-=，所以B错误．
C：因为四边形ABCD不是平行四边形，所以+=错误，所以C错误．
D：根据三角形法则可得：+=正确，所以D正确．
故选D．
【分析】A：根据向量的运算法则可得，A错误．B：根据向量的运算法则可得B错误．C：因为四边形ABCD不是平行四边形，所以C错误．D：根据三角形法则可得D正确。
12．如图，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】；；
【分析】向量加法的三角形法则：将向量首位相接，由最初的起点指向最末的终点；减法法则：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量
13．△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则-=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】如下图所示：
△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点
则-
故选D．
【分析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案。
14．已知ABCD是平行四边形，则下列等式中成立的是（ ）
A．+= B．+=
C．+= D．+=
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】∵ABCD是平行四边形，
∴+=．
故选：C．
【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可判断出。
15．如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量减法运算
【解析】【解答】。因此选C。
【分析】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
二、填空题
16．化简：(-)-(-)= ．
【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：(-)-(-)
=--+
=
=
=
=
故答案为：
【分析】根据向量减法的定义，我们易将式子化为几个向量相加的形式，然后根据向量加法的法则，即可得到答案．
17．化简：(-+)+(-)=
【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】利用向量加法的三角形法则即可求得答案。
18．++++=
【答案】
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】
=
=
=
故答案为：
【分析】本题考查的知识点是向量加法的几何意义，根据向量加法的三角形法则，两个向量相加，即“首尾相接”，据此逐步对进行运算，可得结果。
19．若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=，=，则=
【答案】﹣
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】=﹣
故答案为：﹣．
【分析】利用正方形的性质可得：。
20．在边长为1的正方形ABCD中，设=，=，=则|--|=
【答案】2
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD中，设=，=，=，
∴
∴
故答案为 2．
【分析】由题意可得从而得到答案．
三、解答题
21．化简（﹣）﹣（+）．
【答案】解：（﹣）﹣（+）=（﹣）﹣=．
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【分析】利用向量的加减法法则，即可得出结论。
22．在平行四边形ABCD中 向量=，=，试用向量，表示向量，．
【答案】解：如图，==+=+，
由平行四边形法则可得=+
=+（+）=2+
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【分析】由向量的三角形法则可得，即，再由平行四边形法则可得=+，代值计算即可。
23．若非零向量与为共线向量，如何画出3+？
【答案】解：（1）若，方向相同，则3+的方向与或方向相同，3+的长度等于长度的3倍与长度的和；
（2）若，方向相反，①若的长度的3倍等于的长度，则3+为零向量；
②若的长度的3倍大于的长度，则3+的方向与的方向相同，3+的长度等于的长度的3倍减去的长度；
③若的长度的3倍小于的长度，则3+的方向与的方向相同，3+的长度等于的长度减去的长度的3倍．
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【分析】根据，的长度关系讨论3+的方向和长度。
24．在平行四边形ABCD中，O为对角线交点，试用、表示．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴==（-）=﹣．
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【分析】由于O是AC中点，故==（-）。
25．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若=，=，试用，，表示、、．
【答案】解：由题意，如图=+=+=-
=+=-=-+
连接BD，则G是△BCD的重心，连接AC交BD于点O则O是BD的中点，∴点G在AC上．
∴==-=-X=-(+)
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【分析】由题意及图形知，本题考查用两个基向量，，表示、、故利用向量运算的三角形法则与数乘的几何意义将三个向量用两个基向量表示出来即可。
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