人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换 同步测试
一、单选题
1．cos15°=（ ）
A．- B． C． D．
【答案】C
【知识点】半角公式
【解析】【解答】cos15°=，故选C．
【分析】利用半角公式cos15°=即可得出．本题属于基础题。
2．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测） ＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】解答： ＝ ＝
＝ ＝－4，故选D.
分析：由题根据所给三角函数式子的特征结合三角函数公式进行恰当的化简计算即可.
3．在三角形ABC中，A=150°，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【分析】.故选C.
4．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弦切互化
【解析】解答： ，故选B.
分析：由题运用同角三角函数平方关系，及二倍角公式，然后通过弦角化切，将已知条件代入计算即可.
5．若x为一个三角形内角，则y=sinx+cosx 的值域为（ ）
A．（－1，1） B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】由题意，∵，∴，∴，∴，即 的值域为，故选C
【分析】熟练掌握三角函数的化简及值域的求法是求解此类问题的关键，属基础题
6．已知.且，则tanx值( )
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】原式两边平方得2sinxcosx=-，又0≤x≤π，故sinx＞0，cosx＜0，并且可以得出1-2sinxcosx= sinx-cosx=，联立sinx+cosx=，可得sinx=，cosx=-．∴tanx=-．故选A．
【分析】等价转化思想，考查学生对同角三角函数基本关系式的理解和掌握．注意对已知条件隐含信息的挖掘，防止产生增根．
7．若A是的内角，当，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】半角公式
【解析】【解答】根据题意，由于是的内角，当，则因为A ，则可知，故答案为D.
【分析】主要是考查了二倍角余弦公式的运用，属于基础题。
8．函数的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】因为，所以当即时，f(x)的最大值为.故选C.
9．已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】由，得．
10．若函数，则属于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】，因为，所以，故，所以，即，比较四个答案，可选Ｂ．
【分析】三角恒等变化，求角的范围．
11．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ，且满足 ，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】解答
因为 ，所以可知 ，所以 .
，且
， .故D正确.
分析：根据三角函数恒等变换来求解.
12．已知cosθ=﹣，θ∈（﹣π，0），则sin+cos=（ ）
A． B． C． D．-
【答案】D
【知识点】半角公式
【解析】【解答】∵cosθ=﹣，θ∈（﹣π，0），
∴cos2﹣sin2=（cos+sin）（cos﹣sin）＜0，∈(-，0)
∴sin+cos＜0，cos﹣sin＞0，
∵（sin+cos）2=1+sinθ=1﹣=，
∴sin+cos=﹣．
故选D．
【分析】利用二倍角公式，确定sin+cos＜0，再利用条件平方，即可得出结论。
13．若α∈（0，π），且cosα+sinα=-，则cos2α=（ ）
A． B． C．- D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】（cosα+sinα）2=，而sinα＞0，
cosα＜0cosα﹣sinα=﹣，
cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣
故选A．
【分析】通过对表达式平方，求出cosα﹣sinα的值，然后利用二倍角公式求出cos2α的值，得到选项。
14．在△ABC中，B=，则sinA sinC的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积化和差公式
【解析】【解答】sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）
=sinAsin（﹣A）
=sinA（cosA+sinA）
=sin2A﹣cos2A+
=sin（2A﹣）+
∵
∴﹣
∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．
故选：D．
【分析】化简可得sinAsinC=sin（2A﹣）+，由0，可求从而可得sinA sinC的最大值。
15．设直角三角形中两锐角为A和B，则cosAcosB的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，1） C．[，1） D．[，1）
【答案】A
【知识点】积化和差公式
【解析】【解答】直角三角形中两锐角为A和B，A+B=C=，
则cosAcosB=[cos（A﹣B）+cos（A+B）]=cos（A﹣B），
再结合A﹣B∈（﹣，），
可得cos（A﹣B）∈（0，1]，
∴cos（A﹣B）∈（0，]，
故选：A．
【分析】利用积化和差公式化简所给的式子，再利用余弦函数的定义域和值域，求得该式子的范围。
二、填空题
16．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
∴ .
【分析】由题根据所给条件，运用差角公式展开，两边平方，结合同角三角函数基本关系式及所给角的分计算即可.
17．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】角的变换、收缩变换
【解析】【解答】
，由已知 且 得： ，所以
【分析】由题根据所求角与所给角之间的关系进行变换，运用诱导公式进行化简计算即可得到结果.
18．已知sinα+cosα=-，则tanα=
【答案】-
【知识点】弦切互化
【解析】【解答】解：∵sinα+cosα=﹣
∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=
∴2sinαcosα=﹣
∴=tanα+
∴25tan2α+12tanα+25=0
∴tanα=﹣或﹣
∵0≤α≤π，sinα＞0，cosα＜0，sinα+cosα=﹣＜0
∴|sinα|＜|cosα|
∴|tanα|＜1，tanα=﹣不符合题意
故答案为﹣
【分析】由sinα+cosα=﹣，求出sinαcosα=﹣，通过=tanα+，求出tanα的值．
19．已知，且2π＜α＜3π，则=
【答案】-
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵2π＜α＜3π，
∴，
∴＜0，
∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，
∴=﹣，
故答案为：﹣．
【分析】根据二倍角的公式以及三角函数值的符号问题即可求出．
20．若，则cos2α= ．
【答案】
【知识点】角的变换、收缩变换
【解析】【解答】解：∵0＜α+β＜π，又，
∴，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β） cos（α﹣β）﹣sin（α+β） sin（α﹣β）=
故答案为：．
【分析】由于（α+β）+（α﹣β）=2α，结合α﹣βα可利用两角和的余弦公式解决
三、解答题
21．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．
【答案】解：∵sinα=，且α=（，π），
∴cosα=﹣=﹣，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，
由α∈（，π）知，∈（，），
∴sin===．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用同角三角函数间的关系式及二倍角的正弦、余弦及半角公式即可求得cos2α，sin2α及sin的值。
22．若，，且，，
求（1）sin2β的值．
（2）cosα的值．
【答案】解：∵若，，
∴0＜α+β＜π
，，
∴sin（α+β）=
cosβ=，
（1）sin2β=2sinβcosβ=2xx=
（2）cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=x+x=
【知识点】角的变换、收缩变换
【解析】【分析】（1）根据所给的角的范围和角的三角函数值，根据同角的三角函数的关系，写出要用的三角函数值，利用二倍角公式，代入数据得到结果．
（2）观察到角α是可以由角α+β减去β得到，根据两个角的差的余弦公式，代入数据，求出结果.
23．已知α为三角形内角，且tan（α﹣π）=2
求值：
【答案】解：由已知得tan（α﹣π）=﹣tan（π﹣α）=tanα=2
则===3；
【知识点】弦切互化
【解析】【分析】把已知条件利用诱导公式化简得到tanα的值，给分子分母都除以cosα化切得到关于tanα的关系式，将tanα的值代入即可求出值；
24．已知函数f（x）=2sin2x+sinx cosx+cos2x，x∈R． 求：
（1）f（）的值；
（2）函数f（x）的最小值及相应x值；
（3）函数f（x）的递增区间．
【答案】解：f（x）=2sin2x+sinx cosx+cos2x
=1+sin2x+sinx cosx=1++sin2x，
=（sin2x﹣cos2x）+=sin（2x﹣）+．
（1）f（）=（sin﹣cos）+=﹣，
（2）f（x）的最小值为﹣，此时2x﹣=2kπ﹣，
即x=kπ﹣，k∈Z；
（3）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）用三角函数的二倍角公式与和正弦的和差角公式将函数化简，再代值计算即可，
（2）根据化简后的解析式，即可求出最小值和对应的想值，
（3）由（1）的解析式，结合三角函数的单调性求函数的单调区间．
25．利用两角和与差的正弦、余弦公式证明：
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；
sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．
【答案】证明：∵sin（α+β）+sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαsinβ=2sinαcosβ，
∴sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]．
同理可证，cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；
sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．
【知识点】积化和差公式
【解析】【分析】哟条件利用两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式，化简等式的右边，再加以变形可得要证的等式成立。
1 / 1人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换 同步测试
一、单选题
1．cos15°=（ ）
A．- B． C． D．
2．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测） ＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
3．在三角形ABC中，A=150°，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若x为一个三角形内角，则y=sinx+cosx 的值域为（ ）
A．（－1，1） B． C． D．
6．已知.且，则tanx值( )
A． B． C．或 D．
7．若A是的内角，当，则( )
A． B． C． D．
8．函数的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．已知则（ ）
A． B． C． D．
10．若函数，则属于（ ）．
A． B． C． D．
11．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ，且满足 ，则 等于( )
A． B． C． D．
12．已知cosθ=﹣，θ∈（﹣π，0），则sin+cos=（ ）
A． B． C． D．-
13．若α∈（0，π），且cosα+sinα=-，则cos2α=（ ）
A． B． C．- D．
14．在△ABC中，B=，则sinA sinC的最大值是（ ）
A． B． C． D．
15．设直角三角形中两锐角为A和B，则cosAcosB的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，1） C．[，1） D．[，1）
二、填空题
16．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ， ，则 ．
17．（人教新课标A版必修4数学3.2 简单的三角恒等变换式同步检测）已知 ，且 ，则 的值为 ．
18．已知sinα+cosα=-，则tanα=
19．已知，且2π＜α＜3π，则=
20．若，则cos2α= ．
三、解答题
21．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．
22．若，，且，，
求（1）sin2β的值．
（2）cosα的值．
23．已知α为三角形内角，且tan（α﹣π）=2
求值：
24．已知函数f（x）=2sin2x+sinx cosx+cos2x，x∈R． 求：
（1）f（）的值；
（2）函数f（x）的最小值及相应x值；
（3）函数f（x）的递增区间．
25．利用两角和与差的正弦、余弦公式证明：
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；
sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】半角公式
【解析】【解答】cos15°=，故选C．
【分析】利用半角公式cos15°=即可得出．本题属于基础题。
2．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】解答： ＝ ＝
＝ ＝－4，故选D.
分析：由题根据所给三角函数式子的特征结合三角函数公式进行恰当的化简计算即可.
3．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【分析】.故选C.
4．【答案】B
【知识点】弦切互化
【解析】解答： ，故选B.
分析：由题运用同角三角函数平方关系，及二倍角公式，然后通过弦角化切，将已知条件代入计算即可.
5．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】由题意，∵，∴，∴，∴，即 的值域为，故选C
【分析】熟练掌握三角函数的化简及值域的求法是求解此类问题的关键，属基础题
6．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】原式两边平方得2sinxcosx=-，又0≤x≤π，故sinx＞0，cosx＜0，并且可以得出1-2sinxcosx= sinx-cosx=，联立sinx+cosx=，可得sinx=，cosx=-．∴tanx=-．故选A．
【分析】等价转化思想，考查学生对同角三角函数基本关系式的理解和掌握．注意对已知条件隐含信息的挖掘，防止产生增根．
7．【答案】D
【知识点】半角公式
【解析】【解答】根据题意，由于是的内角，当，则因为A ，则可知，故答案为D.
【分析】主要是考查了二倍角余弦公式的运用，属于基础题。
8．【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】因为，所以当即时，f(x)的最大值为.故选C.
9．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】由，得．
10．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】，因为，所以，故，所以，即，比较四个答案，可选Ｂ．
【分析】三角恒等变化，求角的范围．
11．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】解答
因为 ，所以可知 ，所以 .
，且
， .故D正确.
分析：根据三角函数恒等变换来求解.
12．【答案】D
【知识点】半角公式
【解析】【解答】∵cosθ=﹣，θ∈（﹣π，0），
∴cos2﹣sin2=（cos+sin）（cos﹣sin）＜0，∈(-，0)
∴sin+cos＜0，cos﹣sin＞0，
∵（sin+cos）2=1+sinθ=1﹣=，
∴sin+cos=﹣．
故选D．
【分析】利用二倍角公式，确定sin+cos＜0，再利用条件平方，即可得出结论。
13．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】（cosα+sinα）2=，而sinα＞0，
cosα＜0cosα﹣sinα=﹣，
cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣
故选A．
【分析】通过对表达式平方，求出cosα﹣sinα的值，然后利用二倍角公式求出cos2α的值，得到选项。
14．【答案】D
【知识点】积化和差公式
【解析】【解答】sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）
=sinAsin（﹣A）
=sinA（cosA+sinA）
=sin2A﹣cos2A+
=sin（2A﹣）+
∵
∴﹣
∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．
故选：D．
【分析】化简可得sinAsinC=sin（2A﹣）+，由0，可求从而可得sinA sinC的最大值。
15．【答案】A
【知识点】积化和差公式
【解析】【解答】直角三角形中两锐角为A和B，A+B=C=，
则cosAcosB=[cos（A﹣B）+cos（A+B）]=cos（A﹣B），
再结合A﹣B∈（﹣，），
可得cos（A﹣B）∈（0，1]，
∴cos（A﹣B）∈（0，]，
故选：A．
【分析】利用积化和差公式化简所给的式子，再利用余弦函数的定义域和值域，求得该式子的范围。
16．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
∴ .
【分析】由题根据所给条件，运用差角公式展开，两边平方，结合同角三角函数基本关系式及所给角的分计算即可.
17．【答案】
【知识点】角的变换、收缩变换
【解析】【解答】
，由已知 且 得： ，所以
【分析】由题根据所求角与所给角之间的关系进行变换，运用诱导公式进行化简计算即可得到结果.
18．【答案】-
【知识点】弦切互化
【解析】【解答】解：∵sinα+cosα=﹣
∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=
∴2sinαcosα=﹣
∴=tanα+
∴25tan2α+12tanα+25=0
∴tanα=﹣或﹣
∵0≤α≤π，sinα＞0，cosα＜0，sinα+cosα=﹣＜0
∴|sinα|＜|cosα|
∴|tanα|＜1，tanα=﹣不符合题意
故答案为﹣
【分析】由sinα+cosα=﹣，求出sinαcosα=﹣，通过=tanα+，求出tanα的值．
19．【答案】-
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵2π＜α＜3π，
∴，
∴＜0，
∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，
∴=﹣，
故答案为：﹣．
【分析】根据二倍角的公式以及三角函数值的符号问题即可求出．
20．【答案】
【知识点】角的变换、收缩变换
【解析】【解答】解：∵0＜α+β＜π，又，
∴，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β） cos（α﹣β）﹣sin（α+β） sin（α﹣β）=
故答案为：．
【分析】由于（α+β）+（α﹣β）=2α，结合α﹣βα可利用两角和的余弦公式解决
21．【答案】解：∵sinα=，且α=（，π），
∴cosα=﹣=﹣，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，
由α∈（，π）知，∈（，），
∴sin===．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用同角三角函数间的关系式及二倍角的正弦、余弦及半角公式即可求得cos2α，sin2α及sin的值。
22．【答案】解：∵若，，
∴0＜α+β＜π
，，
∴sin（α+β）=
cosβ=，
（1）sin2β=2sinβcosβ=2xx=
（2）cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=x+x=
【知识点】角的变换、收缩变换
【解析】【分析】（1）根据所给的角的范围和角的三角函数值，根据同角的三角函数的关系，写出要用的三角函数值，利用二倍角公式，代入数据得到结果．
（2）观察到角α是可以由角α+β减去β得到，根据两个角的差的余弦公式，代入数据，求出结果.
23．【答案】解：由已知得tan（α﹣π）=﹣tan（π﹣α）=tanα=2
则===3；
【知识点】弦切互化
【解析】【分析】把已知条件利用诱导公式化简得到tanα的值，给分子分母都除以cosα化切得到关于tanα的关系式，将tanα的值代入即可求出值；
24．【答案】解：f（x）=2sin2x+sinx cosx+cos2x
=1+sin2x+sinx cosx=1++sin2x，
=（sin2x﹣cos2x）+=sin（2x﹣）+．
（1）f（）=（sin﹣cos）+=﹣，
（2）f（x）的最小值为﹣，此时2x﹣=2kπ﹣，
即x=kπ﹣，k∈Z；
（3）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）用三角函数的二倍角公式与和正弦的和差角公式将函数化简，再代值计算即可，
（2）根据化简后的解析式，即可求出最小值和对应的想值，
（3）由（1）的解析式，结合三角函数的单调性求函数的单调区间．
25．【答案】证明：∵sin（α+β）+sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαsinβ=2sinαcosβ，
∴sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]．
同理可证，cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；
sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．
【知识点】积化和差公式
【解析】【分析】哟条件利用两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式，化简等式的右边，再加以变形可得要证的等式成立。
1 / 1
