2020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第5讲 矩形
一、单选题
1．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为 40cm， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为（ ）cm
A．80 B．60 C．50 D．40
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
【分析】根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
2．（2020八下·栖霞期中）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，故此项错误；
B、∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故此项正确；
D、AB⊥BC，即∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定定理再结合平行四边形的性质对选项逐一进行推理即可.
3．（2020八上·兴化期末）如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=2，则AC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】因为在矩形ABCD中，∠AOB=60°，则可以推导出△AOB是等边三角形，那么AO=AB=OC；又已知AB=2，所以AC=2AB=4
故答案为：A
【分析】本题主要利用矩形的性质，知道矩形的对角线互相平分且相等；再根据∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形，进而通过转化关系，求得AC的线段值。
4．（2019八下·永年期末）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，且与B、C不重合，若AE是整数，则AE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4
∴AC= =5
∴E是BC上一点，且与B、C不重合
∴3＜AE＜5，且AE为整数
∴AE=4
故答案为：B．
【分析】由勾股定理可求AC的长，即可得AE的范围，则可求解．
5．（2019八下·克东期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=CD
【答案】C
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】依题意得：四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形），当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度，四边形EFGH为矩形．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．
6．（2020八下·武汉期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点.若AB=8，OM=3，则线段OB的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴AD=6，
∵CD=AB=8，
∴AC= =10，
∴BO= AC=5.
故答案为：A.
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出.
7．（2020八下·镇江月考）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，OA=OD=OC
在Rt△ABC中，
∴OA=OD=5；
∴S矩形ABCD=6×8=48，
∴S△AOD=S矩形ABCD=×48=12；
∵S△AOD=S△AOP+S△POD=
∴
解之：PE+PF=4.8.
故答案为：C
【分析】 连接OP，利用矩形的性质及勾股定理求出AC的长，从而可得到OA、OD的长，利用矩形的面积公式可求出矩形ABCD的面积，再根据S△AOD=S矩形ABCD，求出△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△POD，利用三角形的面积公式就可求出PE+PF的值。
8．（2020八下·镇江月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，AD=BC，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，
∵DE=AD，∴BD⊥DE，
∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
B、由A知四边形DBCE是平行四边形， BE⊥DC ，∴四边形DBCE是菱形，错误，不符合题意.
C、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵∠ADB＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
D、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵CE⊥DE，∠DEC＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，结合DE=AD，可证四边形DBCE是平行四边形，由于AB=CE，利用等腰三角形的性质可得BD⊥DE，则由一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；CD都可依据一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；而B项对角线互相垂直只能得出四边形DBCE是菱形.
9．（2019八下·乐亭期末）如图，点 是矩形 的对角线 的中点， 是 边的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 点 是 的中点， 是 边的中点，
由矩形ABCD得
根据勾股定理得
故答案为：A
【分析】由中位线定理可知CD的长，根据勾股定理求出AC的长，由直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半可知OB长.
10．如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= ×1= ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= × ×1= ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= cm2．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
二、填空题
11．（2020八下·木兰期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 (填写一个即可)．
【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
12．如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,
CN,MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E,F分别是AB,CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
13．（2020八下·长沙期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O， ，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 ．
【答案】2
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8，BO=DO= BD，
∴OD= BD=4，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ= DO=2．
故答案为：2．
【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=8，BO=DO= BD=4，再根据三角形中位线定理可得PQ= DO=2．
14．（2020八下·高新期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=4， BC=3，点D是AC上的任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是 。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∵∠B=90°，AB=4，BC=3
∴AC=5
连接BD
∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴四边形EBFD为矩形
∴EF=BD
∴当BD最小时，EF最小，由垂线段最短可知，当BD⊥AC时，BD最小
∴EF=BD==
【分析】根据勾股定理计算得到AC的长度，即可证明四边形EBFD为矩形，根据矩形的性质求出EF的长度即可。
15．（2017八下·常熟期中）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE= ．
【答案】75°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°，
∴∠DOC=∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，
∴OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴DC=OC，∠ACD=60°，
∴∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴DC=CE，
∴CE=OC，
∵∠OCE=30°，
∴∠COE= （180°﹣30°）=75°；
故答案为：75°．
【分析】根据矩形的性质得出∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，求出OC=OD，得出△COD是等边三角形，求出∠ACB=30°，求出OC=CE，即可求出答案．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若=，则3S△BDG=13S△DGF．
其中正确的结论是 （写所有正确结论的序号）.
【答案】①③④
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠AEB=45°，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
故①正确；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，
故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，
故③正确；
∵=，
∴设AB=2a，AD=3a，
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠EGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∵BD==a，
∴BG=DG=a，
∴S△BDG=×a×a=a2
∴3S△BDG=a2，
过G作GM⊥CF于M，
∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=a，
∴GM=CF=a，
∴S△DGF= DF GM=×3a×a=a2，
∴13S△DGF=a2，
∴3S△BDG=13S△DGF，
故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②错误；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD==a，求得S△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，进而得出答案．
三、解答题
17．（2019八下·克东期末）如图，矩形 中， 、 的平分线 、 分别交边 、 于点 、 。求证；四边形 是平行四边形。
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠BDC,
∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC,
∴∠EBD= ∠ABD，∠FDB= ∠BDC,
∴∠EBD=∠FDB,
∴BE∥DF，且BC∥DE,
∴四边形BEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AB∥CD，BC∥AD，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EBD=∠FDB，可证BE∥DF，且BC∥DE，可得四边形BEDF是平行四边形．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
19．（2019八下·庐阳期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E在AD上，连接BE，CE，过点A作AG∥CE，分别交BC，BE于点G，F，连接DG交CE于点H．若AE=2，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∵AB=4，AE=2，
∴BE= =2 ，CE= = =4 ，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∵AG∥CE，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CG=AE=2，AG=CE=4 ，
同理∠AGD=90°，
∵AG∥CE，
∴∠EFG=∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=∠ADC=90°，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到∠BEC=90°，同理∠AGD=90°，根据平行线的性质得到∠EFG=∠FEH=90°，于是得到结论．
20．（2020八下·安庆期中）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过几秒时，点P，Q间的距离是10cm？
【答案】10cm
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】设ts后，点P和点Q的距离是10cm，
则AP＝3tcm，CQ＝2tcm.
过点P作PE⊥CD于点E，
所以AD＝PE＝6cm，EQ＝16－2t－3t＝(16－5t)(cm)．
在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2＝PE2＋EQ2列方程，得100＝62＋(16－5t)2.
解这个方程，得 ， .
答：P，Q两点从出发开始到 s或 s时，点P和点Q的距离是10cm.
【分析】作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第5讲 矩形
一、单选题
1．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为 40cm， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为（ ）cm
A．80 B．60 C．50 D．40
2．（2020八下·栖霞期中）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．（2020八上·兴化期末）如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=2，则AC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（2019八下·永年期末）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，且与B、C不重合，若AE是整数，则AE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2019八下·克东期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点的四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=CD
6．（2020八下·武汉期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点.若AB=8，OM=3，则线段OB的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．（2020八下·镇江月考）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2020八下·镇江月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
9．（2019八下·乐亭期末）如图，点 是矩形 的对角线 的中点， 是 边的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
10．如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八下·木兰期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 (填写一个即可)．
12．如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,
CN,MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 .
13．（2020八下·长沙期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O， ，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 ．
14．（2020八下·高新期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=4， BC=3，点D是AC上的任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是 。
15．（2017八下·常熟期中）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE= ．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若=，则3S△BDG=13S△DGF．
其中正确的结论是 （写所有正确结论的序号）.
三、解答题
17．（2019八下·克东期末）如图，矩形 中， 、 的平分线 、 分别交边 、 于点 、 。求证；四边形 是平行四边形。
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
19．（2019八下·庐阳期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E在AD上，连接BE，CE，过点A作AG∥CE，分别交BC，BE于点G，F，连接DG交CE于点H．若AE=2，求证：四边形EFGH是矩形．
20．（2020八下·安庆期中）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过几秒时，点P，Q间的距离是10cm？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】如上图，矩形的宽对应2个空格，长为40cm
∴1个空格的长度为：40÷2=20cm
矩形的长对应4个空格
∴长为：4×20=80cm
故答案为：A
【分析】根据矩形的宽40cm对应2个空格长度，得到1个空格长度，利用矩形的长对应4个空格长求得.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，故此项错误；
B、∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故此项正确；
D、AB⊥BC，即∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定定理再结合平行四边形的性质对选项逐一进行推理即可.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】因为在矩形ABCD中，∠AOB=60°，则可以推导出△AOB是等边三角形，那么AO=AB=OC；又已知AB=2，所以AC=2AB=4
故答案为：A
【分析】本题主要利用矩形的性质，知道矩形的对角线互相平分且相等；再根据∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形，进而通过转化关系，求得AC的线段值。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4
∴AC= =5
∴E是BC上一点，且与B、C不重合
∴3＜AE＜5，且AE为整数
∴AE=4
故答案为：B．
【分析】由勾股定理可求AC的长，即可得AE的范围，则可求解．
5．【答案】C
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】依题意得：四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形），当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度，四边形EFGH为矩形．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG＝90度．由此推出AC⊥BD．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴AD=6，
∵CD=AB=8，
∴AC= =10，
∴BO= AC=5.
故答案为：A.
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出.
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，OA=OD=OC
在Rt△ABC中，
∴OA=OD=5；
∴S矩形ABCD=6×8=48，
∴S△AOD=S矩形ABCD=×48=12；
∵S△AOD=S△AOP+S△POD=
∴
解之：PE+PF=4.8.
故答案为：C
【分析】 连接OP，利用矩形的性质及勾股定理求出AC的长，从而可得到OA、OD的长，利用矩形的面积公式可求出矩形ABCD的面积，再根据S△AOD=S矩形ABCD，求出△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△POD，利用三角形的面积公式就可求出PE+PF的值。
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，AD=BC，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，
∵DE=AD，∴BD⊥DE，
∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
B、由A知四边形DBCE是平行四边形， BE⊥DC ，∴四边形DBCE是菱形，错误，不符合题意.
C、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵∠ADB＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
D、由A知四边形DBCE是平行四边形， ∵CE⊥DE，∠DEC＝90° ，∴四边形DBCE是矩形，正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质，结合DE=AD，可证四边形DBCE是平行四边形，由于AB=CE，利用等腰三角形的性质可得BD⊥DE，则由一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；CD都可依据一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形DBCE是矩形；而B项对角线互相垂直只能得出四边形DBCE是菱形.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 点 是 的中点， 是 边的中点，
由矩形ABCD得
根据勾股定理得
故答案为：A
【分析】由中位线定理可知CD的长，根据勾股定理求出AC的长，由直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半可知OB长.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= ×1= ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= × ×1= ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= cm2．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
11．【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
12．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E,F分别是AB,CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
13．【答案】2
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8，BO=DO= BD，
∴OD= BD=4，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ= DO=2．
故答案为：2．
【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=8，BO=DO= BD=4，再根据三角形中位线定理可得PQ= DO=2．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∵∠B=90°，AB=4，BC=3
∴AC=5
连接BD
∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴四边形EBFD为矩形
∴EF=BD
∴当BD最小时，EF最小，由垂线段最短可知，当BD⊥AC时，BD最小
∴EF=BD==
【分析】根据勾股定理计算得到AC的长度，即可证明四边形EBFD为矩形，根据矩形的性质求出EF的长度即可。
15．【答案】75°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°，
∴∠DOC=∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，
∴OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴DC=OC，∠ACD=60°，
∴∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴DC=CE，
∴CE=OC，
∵∠OCE=30°，
∴∠COE= （180°﹣30°）=75°；
故答案为：75°．
【分析】根据矩形的性质得出∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，求出OC=OD，得出△COD是等边三角形，求出∠ACB=30°，求出OC=CE，即可求出答案．
16．【答案】①③④
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠AEB=45°，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
故①正确；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，
故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，
故③正确；
∵=，
∴设AB=2a，AD=3a，
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠EGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∵BD==a，
∴BG=DG=a，
∴S△BDG=×a×a=a2
∴3S△BDG=a2，
过G作GM⊥CF于M，
∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=a，
∴GM=CF=a，
∴S△DGF= DF GM=×3a×a=a2，
∴13S△DGF=a2，
∴3S△BDG=13S△DGF，
故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②错误；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD==a，求得S△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，进而得出答案．
17．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD=∠BDC,
∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC,
∴∠EBD= ∠ABD，∠FDB= ∠BDC,
∴∠EBD=∠FDB,
∴BE∥DF，且BC∥DE,
∴四边形BEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AB∥CD，BC∥AD，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠EBD=∠FDB，可证BE∥DF，且BC∥DE，可得四边形BEDF是平行四边形．
18．【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
19．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∵AB=4，AE=2，
∴BE= =2 ，CE= = =4 ，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∵AG∥CE，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CG=AE=2，AG=CE=4 ，
同理∠AGD=90°，
∵AG∥CE，
∴∠EFG=∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠BAD=∠ADC=90°，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到∠BEC=90°，同理∠AGD=90°，根据平行线的性质得到∠EFG=∠FEH=90°，于是得到结论．
20．【答案】10cm
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】设ts后，点P和点Q的距离是10cm，
则AP＝3tcm，CQ＝2tcm.
过点P作PE⊥CD于点E，
所以AD＝PE＝6cm，EQ＝16－2t－3t＝(16－5t)(cm)．
在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2＝PE2＋EQ2列方程，得100＝62＋(16－5t)2.
解这个方程，得 ， .
答：P，Q两点从出发开始到 s或 s时，点P和点Q的距离是10cm.
【分析】作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
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