人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.6三角函数模型的应用 同步测试
一、单选题
1．在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么塔吊的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米，再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20（+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角
2．一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是（ ）海里．
A．30（+） B．30（﹣） C．30（﹣） D．30（+）
【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．
由正弦定理可得AC==30（+）海里．
故选：A．
【分析】由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．
3．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB AC cos120°=2800，
所以BC=20．
由正弦定理得sin∠ACB= sin∠BAC=．
由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．
故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．
故选B
【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．
4．如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（+）m B．（5+）m C．m D．4m
【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=5m，AB=1.5m，
∴AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=5m，
∴CD=AD tan30°=5×=，
∴CE=CD+DE=+（m）．
故选：A．
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论．
5．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
6．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+)+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像知：ymin=2， 因为ymin=-3+k，所以-3+k=2， 解得：k=5， 所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8， 故选C。
【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin(x+)=-1时，y取得最小值，进而求出k的值，当sin(x+)=1时，y取得最大值．
7．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
A．10m B．20m C．20m D．40m
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题可设AB=x，则 ，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC CD cos∠DCB
即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40 x cos120°
整理得：x2﹣20x﹣800=0
解得x=40或x=﹣20（舍）
所以，所求塔高为40米．
故选D．
【分析】设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．
8．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y)．若初始位置为P0(，)，当秒针从P0（注：此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，函数的周期为T=60，
∴ω=设函数解析式为y=sin（-t+φ）（因为秒针是顺时针走动）
∵初始位置为P0(，)，
∴t=0时，y=
∴sinφ=
∴φ可取
∴函数解析式为y=sin（-t+），
故选C．
【分析】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．
9．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（ ）
A．h=5.6+4.8sinθ B．h=5.6+4.8cosθ
C．h=5.6+4.8cos（θ+） D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，
根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）
h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）
故选：D
【分析】本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．
10．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
11．如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（ ）
A．y=﹣2cos+2.5 B．y=﹣2sin+2.5
C．y=﹣2cos+2.5 D．y=﹣2sin+2.5
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k，
∵大风车每6s旋转一周，
∴周期T=6，即T==6，解得ω==，排除A，B．
则f（t）=Asint+k或Acost+k，
∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m，
∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5，
则A+k=4.5，﹣A+k=0.5，
解得A=2，k=2.5，
当t=0时，f（0）=0.5为最小值，
若y=﹣2cos+2.5，则当t=0时，y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件．
若y=﹣2sin+2.5，则当t=0时，y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件．排除D，
故选：C
【分析】根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．
12．矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：如图所示，
建立直角坐标系．
设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．
B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．
∴|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2
=1+4sinθcosθ+4sin2θ
=1+2sin2θ+2（1﹣cos2θ）
=+3，
∵，∴．
∴当2，即时，|OC|2取得最大值，2+3．
故选：D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2
=+3，由于，可得．即可得出．
13．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A．y=sin（） B．y=sin（﹣）
C．y=sin（﹣） D．y=sin（﹣）
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，函数的周期为T=60，∴ω=
设函数解析式为y=sin（﹣t+φ）（因为秒针是顺时针走动）
∵初始位置为P0（，），
∴t=0时，y=
∴sinφ=
∴φ可取
∴函数解析式为y=sin（﹣t+）
故选C．
【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．
14．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h（t）=Acosωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=﹣8，B=10．
∴h（t）=﹣8cost+10．
故选：B．
【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
15．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
17．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是 ．
【答案】14
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω= ，即 ，
又因为f（0）=2，故 ，得 ，
所以f（16）= =14．
故答案为：14．
【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．
18．（2015高二上·湛江期末）如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，由正弦定理，得
= ，
∴MN=68× =34 ．
又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），
∴船的航行速度v= = （海里/时）；
故答案为： ．
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
19．如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .
【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像得， 当sin(x＋Φ)=-1时ymin=2， 求得k=5， 当sin(x＋Φ)=1时ymax=3x1+5=8， 故答案为8.
【分析】1.本题考查三角函数的图象和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin(x＋Φ)=-1时，y取得最小值，继而求得k的值，当sin(x＋Φ)=1时，y取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
20．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
三、解答题
21．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
【答案】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴b==10，A=
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此T==12，，
故（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即
∴，
解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z
又0≤t≤24
当k=0时，1≤t≤5；
当k=1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；
（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．
22．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
【答案】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30℃﹣10℃=20℃，
（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期，
∴=14﹣6，解得ω=，
由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，
这时，y=10sin（x+φ）+20，
将x=6，y=10代入上式，可取φ=，
综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；
（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．
23．“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为B，C，D）．当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°．D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
（1）求B，C两救援中心间的距离；
（2）D救援中心与着陆点A间的距离．
【答案】解：（1）由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形
在Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=60°，解得AC=
在Rt△PAB中，PA=1，∠PBA=30°，解得AB=
又∠CAB=90°，BC=万米
（2），
又∠CAD=30°，所以
在△ADC中，由正弦定理，
AD=万米
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知△PAC，△PAB均为直角三角形，进而分别在两个三角形中利用其中的一角和一边求得AC和AB，最后利用勾股定理求得BC．
（2）先利用同角三角函数的基本关系求得cos∠ACD，进而利用sin∠ADC=sin（30°+∠ACD）借助两角和公式求得sin∠ADC，最后利用正弦定理求得AD．
24．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．
【答案】解：（1）由已知得y=，
即y=15+15x（其中）
（2）记p=，则sinx+pcosx=2，则有，
解得或
由于y＞0，所以，当x=，即点O在CD中垂线上离点P距离为(15-15)km处，y取得最小值15+15（km）
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
（2）记p=，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．
25．（2016高一下·成都期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ= ，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．
【答案】解：按方案一：如图，连OC，设 ，
在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx
在Rt△OAD中， ，得 ，
则 ，设矩形ABCD的面积为y，则
y=AB BC= = sin（2x+ ）﹣ ，
由 得 ．
所以当 ，即 时 ．
按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．
设 ，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα
在Rt△ONH中， ，得 ，
则 ，设矩形EFGH的面积为S，
则S=2ME MN=2R2sinα（cosα﹣ sinα）=R2（sin2α+ cos2α﹣ ）=
由 ，则 ，所以当 ，即 时 ∵ ，即ymax＞Smax
答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．
方案一：连OC，设 ，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设 ，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．
最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．
1 / 1人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.6三角函数模型的应用 同步测试
一、单选题
1．在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么塔吊的高是（ ）
A． B． C． D．
2．一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是（ ）海里．
A．30（+） B．30（﹣） C．30（﹣） D．30（+）
3．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（+）m B．（5+）m C．m D．4m
5．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
6．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+)+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
A．10m B．20m C．20m D．40m
8．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y)．若初始位置为P0(，)，当秒针从P0（注：此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（ ）
A．h=5.6+4.8sinθ B．h=5.6+4.8cosθ
C．h=5.6+4.8cos（θ+） D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）
10．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
11．如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（ ）
A．y=﹣2cos+2.5 B．y=﹣2sin+2.5
C．y=﹣2cos+2.5 D．y=﹣2sin+2.5
12．矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A．y=sin（） B．y=sin（﹣）
C．y=sin（﹣） D．y=sin（﹣）
14．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
15．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
17．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是 ．
18．（2015高二上·湛江期末）如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时．
19．如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .
20．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
三、解答题
21．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
22．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
23．“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为B，C，D）．当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°．D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
（1）求B，C两救援中心间的距离；
（2）D救援中心与着陆点A间的距离．
24．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．
25．（2016高一下·成都期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ= ，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米，再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20（+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角
2．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．
由正弦定理可得AC==30（+）海里．
故选：A．
【分析】由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．
3．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB AC cos120°=2800，
所以BC=20．
由正弦定理得sin∠ACB= sin∠BAC=．
由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．
故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．
故选B
【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．
4．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=5m，AB=1.5m，
∴AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=5m，
∴CD=AD tan30°=5×=，
∴CE=CD+DE=+（m）．
故选：A．
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论．
5．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
6．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像知：ymin=2， 因为ymin=-3+k，所以-3+k=2， 解得：k=5， 所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8， 故选C。
【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin(x+)=-1时，y取得最小值，进而求出k的值，当sin(x+)=1时，y取得最大值．
7．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题可设AB=x，则 ，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC CD cos∠DCB
即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40 x cos120°
整理得：x2﹣20x﹣800=0
解得x=40或x=﹣20（舍）
所以，所求塔高为40米．
故选D．
【分析】设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．
8．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，函数的周期为T=60，
∴ω=设函数解析式为y=sin（-t+φ）（因为秒针是顺时针走动）
∵初始位置为P0(，)，
∴t=0时，y=
∴sinφ=
∴φ可取
∴函数解析式为y=sin（-t+），
故选C．
【分析】本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．
9．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，
根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）
h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）
故选：D
【分析】本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．
10．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
11．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k，
∵大风车每6s旋转一周，
∴周期T=6，即T==6，解得ω==，排除A，B．
则f（t）=Asint+k或Acost+k，
∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m，
∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5，
则A+k=4.5，﹣A+k=0.5，
解得A=2，k=2.5，
当t=0时，f（0）=0.5为最小值，
若y=﹣2cos+2.5，则当t=0时，y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件．
若y=﹣2sin+2.5，则当t=0时，y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件．排除D，
故选：C
【分析】根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．
12．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：如图所示，
建立直角坐标系．
设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．
B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．
∴|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2
=1+4sinθcosθ+4sin2θ
=1+2sin2θ+2（1﹣cos2θ）
=+3，
∵，∴．
∴当2，即时，|OC|2取得最大值，2+3．
故选：D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2
=+3，由于，可得．即可得出．
13．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，函数的周期为T=60，∴ω=
设函数解析式为y=sin（﹣t+φ）（因为秒针是顺时针走动）
∵初始位置为P0（，），
∴t=0时，y=
∴sinφ=
∴φ可取
∴函数解析式为y=sin（﹣t+）
故选C．
【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．
14．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h（t）=Acosωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=﹣8，B=10．
∴h（t）=﹣8cost+10．
故选：B．
【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
15．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
16．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
17．【答案】14
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），
由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω= ，即 ，
又因为f（0）=2，故 ，得 ，
所以f（16）= =14．
故答案为：14．
【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．
18．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，由正弦定理，得
= ，
∴MN=68× =34 ．
又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），
∴船的航行速度v= = （海里/时）；
故答案为： ．
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
19．【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由图像得， 当sin(x＋Φ)=-1时ymin=2， 求得k=5， 当sin(x＋Φ)=1时ymax=3x1+5=8， 故答案为8.
【分析】1.本题考查三角函数的图象和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin(x＋Φ)=-1时，y取得最小值，继而求得k的值，当sin(x＋Φ)=1时，y取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.
20．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
21．【答案】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴b==10，A=
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此T==12，，
故（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即
∴，
解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z
又0≤t≤24
当k=0时，1≤t≤5；
当k=1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式；
（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．
22．【答案】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30℃﹣10℃=20℃，
（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期，
∴=14﹣6，解得ω=，
由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，
这时，y=10sin（x+φ）+20，
将x=6，y=10代入上式，可取φ=，
综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；
（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．
23．【答案】解：（1）由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形
在Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=60°，解得AC=
在Rt△PAB中，PA=1，∠PBA=30°，解得AB=
又∠CAB=90°，BC=万米
（2），
又∠CAD=30°，所以
在△ADC中，由正弦定理，
AD=万米
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知△PAC，△PAB均为直角三角形，进而分别在两个三角形中利用其中的一角和一边求得AC和AB，最后利用勾股定理求得BC．
（2）先利用同角三角函数的基本关系求得cos∠ACD，进而利用sin∠ADC=sin（30°+∠ACD）借助两角和公式求得sin∠ADC，最后利用正弦定理求得AD．
24．【答案】解：（1）由已知得y=，
即y=15+15x（其中）
（2）记p=，则sinx+pcosx=2，则有，
解得或
由于y＞0，所以，当x=，即点O在CD中垂线上离点P距离为(15-15)km处，y取得最小值15+15（km）
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
（2）记p=，则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．
25．【答案】解：按方案一：如图，连OC，设 ，
在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx
在Rt△OAD中， ，得 ，
则 ，设矩形ABCD的面积为y，则
y=AB BC= = sin（2x+ ）﹣ ，
由 得 ．
所以当 ，即 时 ．
按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．
设 ，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα
在Rt△ONH中， ，得 ，
则 ，设矩形EFGH的面积为S，
则S=2ME MN=2R2sinα（cosα﹣ sinα）=R2（sin2α+ cos2α﹣ ）=
由 ，则 ，所以当 ，即 时 ∵ ，即ymax＞Smax
答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．
方案一：连OC，设 ，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设 ，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．
最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．
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