(共23张PPT)
第十七章 勾股定理
本章知识梳理
第9课时 勾股定理（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 能利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度,体会数形结合的思想.
2. 能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点.
本课目标
知识重点
知识点一：利用勾股定理进行面积或线段长度的计算
（1）结合图形的面积公式，巧妙求出几何图形的面积；
（2）建立方程求出实际问题中线段的长度；
（3）借助方格求出线段的长度.
对点范例
1. 三个正方形如图17-9-1所示摆放，其中两个正方形的面积为S1＝25，S2＝144，则第三个正方形的面积为S3＝__________.
169
知识重点
知识点二：利用勾股定理作长为二次根式的线段
利用勾股定理，可作长度为二次根式的线段，故可在数轴上作出表示__________数的点，如 ….
无理
对点范例
2. 如图17-9-2，AD=1，则点M表示的实数是（ ）
A.
B. －
C. 3
D. －3
A
课堂演练
典例精析
【例1】如图17-9-3，∠B=∠OAF=90°，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中半圆的面积．（结果保留π）
解：在Rt△ABO中，∠B=90°，BO=3 cm，AB=4 cm，
由勾股定理，得AO2=BO2+AB2=25．
在Rt△AFO中，∠OAF=90°，AF=12 cm，
由勾股定理，得FO2=AO2+AF2=169．
∴图中半圆的面积为 π· π× π
× π（cm2）．
思路点拨：在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式进行计算即可.
举一反三
1. 如图17-9-4，阴影部分是两个正方形，其他部分是两个直角三角形和一个正方形. 若右边的Rt△ABC中，AC＝34，BC＝30，求阴影部分的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC2-BC2＝342-302＝256.
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB.
∴DF2=AB2=256.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE2+EF2=DF2=256.
∴阴影部分的面积为256.
典例精析
【例2】如图17-9-5，一根直立于水中的芦苇BD高出水面0.5 m，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C处到BD的距离AC=1.5 m，则水的深度AB为多少米？
解：设水深AB=x m，则BC=BD=（x+0.5）m．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+AC2=BC2，即x2+1.52=（x+0.5）2．
解得x=2．
答：水的深度AB为2 m．
思路点拨：先从实际问题中建立直角三角形模型，再利用勾股定理即可求解.
举一反三
2. 洋洋想知道学校旗杆的高度．如图17-9-6，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
解：由题意，得AC=AB+2，BC=5 m．
设旗杆的高度AB为x m，则绳子AC的长为（x+2）m．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2，即x2+52=（x+2）2．
解得x=
答：旗杆的高度为 m．
典例精析
【例3】如图17-9-7，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，－1），则线段AB的长度为（ ）
A.
B.
C.
D. 3
C
思路点拨：先在方格中找到包含边AB的直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
举一反三
3. 如图17-9-8，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则AB的长为__________，CD的长
为__________．
典例精析
【例4】请在如图17-9-9所示的数轴上作出表示 的点．
解：如答图17-9-1，点A即为所求表示 的点.
思路点拨：先结合基本作图方法，作出斜边为 的直角三角形，即可在数轴上找到表示 的点.
举一反三
4. 在如图17-9-10所示的数轴上作出表示实数 和- 的点.
解：如答图17-9-2，点A，B即为所求表示 和- 的点.
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第十七章 勾股定理
本章知识梳理
第10课时 勾股定理的逆定理（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握原命题、逆命题的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念和它们之间的联系.
2. 能根据原命题正确写出它的逆命题，并能判断它的真假.
3. 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.
本课目标
知识重点
知识点一：原命题、逆命题、逆定理的概念
如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做______________；如果把其中一个命题叫做____________，那么另一个命题叫做它的______________；如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为______________.
互逆命题
原命题
逆命题
逆定理
对点范例
1. 下列定理没有逆定理的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行
B. 直角三角形中，两锐角互余
C. 等腰三角形两底角相等
D. 相反数的绝对值相等
D
知识重点
知识点二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足__________________，那么这个三角形是直角三角形.
a2 + b2 =c2
对点范例
2. 下列各数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a=3，b=4，c=5
B. a=4，b=5，c=6
C. a=3，b= c=2
D. a=5，b=12，c=13
B
课堂演练
典例精析
【例1】写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
（1）如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数；
（2）三边分别对应相等的两个三角形全等.
思路点拨：根据互逆命题的概念，写出题设和结论相反的命题，即为逆命题，再根据逆命题的题意判断真假即可.
解：（1）逆命题：如果ab是无理数，那么a，b都是无理数，此命题为假命题.
（2）逆命题：如果两个三角形全等，那么它们的对应边分别相等，此命题为真命题.
举一反三
1． 写出下列原命题的逆命题并判断其是否正确.
（1）原命题：对顶角相等;
（2）原命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等．
解：（1）逆命题：相等的角是对顶角.错误.
（2）逆命题：到一条线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.正确.
典例精析
【例2】如图17-10-1，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）△ABC为直角三角形．理由如下：
由勾股定理，得AB2=12+22=5，BC2=22+42=20，AC2=32+42=25．
∴AB2+BC2=AC2．
∴△ABC为直角三角形．
（2）∵AB2=5，BC2=20，
∴AB= BC=2 .
S△ABC= AB·BC= × ×2 =5.
思路点拨：（1）先分别求出三角形三边的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据三角形的面积公式计算即可.
举一反三
2. 如图17-10-2，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）AB=__________,
BC=__________,
AC=__________;
（2）求∠BAC的度数．
2
解：（2）∵AB=2 BC= AC=
∴AB2=52，BC2=65，AC2=13．
∴AB2+AC2=BC2．
∴∠BAC=90°．
典例精析
【例3】如图17-10-3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=2，BC=4，AD=5，CD=
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
（1）证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，
由勾股定理，得AC= =2
又∵AD=5，CD=
∴AC2+CD2=AD2.
∴∠ACD=90°.
∴AC⊥CD.
（2）解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB·BC+ CD·AC= ×2
×4+ × ×2 =9.
思路点拨：（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）把两个三角形的面积加起来即可得到四边形的面积.
举一反三
3. 如图17-10-4，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24．求四边形ABCD的面积．
解：如答图17-10-1，连接AC．
在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=202+152=625．
∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=72+242=625．
∴CD2+AD2=AC2．
∴∠D=90°．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB·BC+ CD·AD=
×20×15+ ×7×24=234．
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第十七章 勾股定理
本章知识梳理
第11课时 勾股定理的逆定理（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解勾股数的概念并熟记常用的勾股数.
2. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
本课目标
知识重点
知识点一：勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.常用的勾股数有：①3，4，__________； ②6，__________，10；③__________，12，13；④7，24，25.它们有着广泛的应用.
5
8
5
对点范例
1. 下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6. 其中是勾股数的有__________（填序号）.
②③
知识重点
知识点二：勾股定理的逆定理的综合应用
在实际问题中，可先将其转化为__________（即建模），再利用三角形的三边长来判断三角形的形状，并通过它解决相关的问题.
数学问题
对点范例
2. 如图17-11-1，小明散步从A到B走了13 m，从B到C走了12 m，从C到A走了5 m，则∠A+∠B的度数是__________．
90°
课堂演练
典例精析
【例1】（创新题）如果a,b,c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么a,b,c叫做一组勾股数.
（1）请你根据勾股数的定义，说明3,4,5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3,4,5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，并且a=2m，b=m2-1，c=m2+1，请你根据勾股数的定义，说明a,b,c为一组勾股数.
解：（1）∵3,4,5是正整数，且32+42=52，
∴3,4,5是一组勾股数.
（2）7，24，25.（答案不唯一）
（3）∵m表示大于1的整数，
∴a,b,c均为正整数.
又∵a2+b2=（2m）2+（m2-1）2=4m2+m2-2m2+1=m2+2m2+1，
c2=（m2+1）2=m2+2m2+1，
∴a2+b2=c2.∴a,b,c为一组勾股数.
思路点拨：熟记常用的勾股数，根据勾股数的定义求解即可.
举一反三
1. （创新题）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：__________；
11，60，61
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为__________和__________，并请用所学知识说明它们是一组勾股数.
解：（2）∵n2+ =n2+
∴n2+
又∵n≥3，且n为奇数，
∴n， 是一组勾股数.
典例精析
【例2】图17-11-2在一次搜救过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标接到消息后，一艘舰艇以16 n mile/h的速度离开港口O（如图17-11-2）
向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇同时
以12 n mile/h的速度向北偏西一定角度的
航向行驶，已知它们离开港口1.5 h后分别
到达点A，B处，且相距30 n mile，求另一
艘舰艇的航行方向.
解：由题意，得
OB=12×1.5=18（n mile），
OA=16×1.5=24（n mile）.
又∵AB=30 n mile，182+242=302，
∴OB2+OA2=AB2.∴∠AOB=90°.
∵∠DOA=40°，
∴∠BOD=∠AOB-∠DOA=50°.
∴另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
思路点拨：先根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，再求出∠BOD的度数即可.
举一反三
2. 如图17-11-3，一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60 km．
（1）若轮船速度为25 km/h，求轮船
从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）C岛在A港的什么方向？
解：（1）由题意，得AB=100 km，BC=125 km，AD=60 km．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD= =80（km）．
∴CD=BC-BD=45（km）．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
AC= =75（km）．
∴轮船从C岛沿CA返回A港所需时间为75÷25=3（h）．
（2）∵AB2+AC2=1002+752=15 625，BC2=1252=15 625，
∴AB2+AC2=BC2．∴∠BAC=90°．
∴∠NAC=180°-90°-48°=42°．
∴C岛在A港的北偏西42°方向上．
典例精析
【例3】（创新题）如图17-11-4，
∠ABC=90°，AB=6 cm，AD=24 cm，
BC+CD=34 cm，C是直线l上一动点，
请你探索当点C离点B多远时，△ACD
是一个以CD为斜边的直角三角形.
解:设当BC=x cm时，△ACD是以CD为斜边的直角三角形.
∵BC+CD=34，
∴CD=34-x.
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=36+x2.
在Rt△ACD中，AC2=CD2-AD2=（34-x）2-242.
∴36+x2=（34-x）2-242. 解得x=8.
∴当点C离点B 8cm 时，△ACD是以CD为斜边的直角三角形.
思路点拨：设BC＝x cm，则CD＝（34-x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．
举一反三
3. （创新题）如图17-11-5，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36 cm，点P从点A出发，沿AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点C
出发，沿CB向点B以1 cm/s的速度移动．
如果它们同时出发，求经过3 s后，以B，
P，Q三点所围成的△BPQ的面积．
解：设AB为3x cm，BC为4x cm，AC为5x cm．
∴AB+BC+AC=3x+4x+5x=12x（cm）．
∵△ABC的周长为36 cm，
∴12x=36．解得x=3．
∴AB=9 cm，BC=12 cm，AC=15 cm．
∴AB2+BC2=AC2．
∴△ABC是直角三角形．
由题意，得经过3 s后，
BP=AB-AP=9-3×2=3（cm），
BQ=BC-QC=12-1×3=9（cm）．
∴S△BPQ= BP·BQ= ×3×9=13.5（cm2）．
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第十七章 勾股定理
单元复习课
专题一 中考重难点
一、勾股定理
1. 直角三角形的边长分别为a，b，c，且∠C=90°，若a2=9，b2=16，则c2为（ ）
A. 5 B. 7 C. 25 D. 49
2. 已知直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 10或2
C
B
3. 如图D17-1-1，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. 2 -1
B. 2
C. 2.8
D. 2 +1
A
4. 如图D17-1-2，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3；并分别以直角三角形的三边长为直径向外作半圆，面积分别是S4，S5，S6，其中S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，则S3+S4=（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
D
5. 在锐角三角形ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
6. 如图D17-1-3，在Rt△ABC中，
∠C=90°，点D是BC上一点，AD=BD．
若AB=10，BD=6，则CD=__________．
C
7. 如图D17-1-4，在△ABC中，AB=13，AC=20，BC=21，
AD⊥BC，垂足为点D．
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）设BD=x，则CD=21-x．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2=AB2-BD2=132-x2．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
AD2=AC2-CD2=202-（21-x）2．
∴132-x2=202-（21-x）2．
解得x=5．
∴BD的长是5．
（2）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
由勾股定理，得AD= =12．
∴S△ABC= BC·AD= ×21×12=126．
【中考对接】
8. （2019·毕节）如图D17-1-5，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB=1，EC=2，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.
B. 3
C.
D. 5
B
9. （2021·湖南）如图D17-1-6，在△AOB中，AO=1，BO=AB=
将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′，则线段AA′的长为（ ）
A. 1
B.
C.
D.
B
10. （2020·赤峰）如图D17-1-7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的面积是（ ）
A. 15
B. 18
C. 20
D. 22
A
11. （2020·陕西）如图D17-1-8，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
D
12. （2020·绥化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB-AC＝2，BC＝8，则AB的长是__________.
13. （2021·齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则
这个直角三角形斜边上的高为 ________________.
17
二、勾股定理的应用
14. （2020·巴中）（数学文化）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远（如图D17-1-9），问：原处还有多高的竹子？（ ）
A. 4尺
B. 4.55尺
C. 5尺
D. 5.55尺
B
【中考对接】
15. （2021·岳阳）（数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各
是多少（1丈=10尺，1尺=10寸）？如图D17-1-10，
设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为
______________________．
（x-6.8）2+x2=102
16. （2021·宿迁）（数学文化）在《九章算术》中有一道“引葭赴岸”的问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边
垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰
到岸边的C′处（如图D17-1-11），水深和芦苇
长各多少尺？则该问题的水深是__________尺．
12
三、勾股定理的逆定理
17. 下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A. 12，15，18 B. 12，35，36
C. 2，3，4 D. 5，12，13
D
18. 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. a=8，b=15，c=17
B. ∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶1
C. a=1.5，b=2，c=2.5
D. ∠A= ∠B= ∠C
B
19. 如图D17-1-12，点A，B，C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC=__________．
45°
20. 如图D17-1-13，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，D是AB上一点，且CD＝12 cm，BD＝8 cm.
（1）求证：△ADC是直角三角形；
（2）求BC的长.
（1）证明：∵AB＝13 cm，BD＝8 cm，
∴AD＝AB-BD＝5（cm）.
又∵AC＝13 cm，CD＝12 cm，
∴AD2+CD2＝AC2.∴∠ADC＝90°.
∴△ADC是直角三角形.
（2）解：在△BDC中，∠BDC＝180°-∠ADC＝90°，BD＝8 cm，CD＝12 cm，
∴BC＝ ＝4 （cm）.
∴BC的长是4 cm.
【中考对接】
21. （2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5 B. 2，3，4
C. 4，6，7 D. 5，11，12
A
22. （2020·河北）如图D17-1-14是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案．要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A. 1，4，5
B. 2，3，5
C. 3，4，5
D. 2，2，4
B
23. （2019·北京）如图D17-1-15所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=__________（点A，B，P是网格线交点）．
45°
四、勾股定理的逆定理的应用
24. 为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，在一块四边形空地上种植草皮．如
图D17-1-16，经测∠B=90°，AB=6 m，
BC=8 m，CD=24 m，AD=26 m．如果种植草
皮费用是300元/m2，那么共需投入多少钱？
解：如答图D17-1-1，连接AC．
∵∠B=90°，AB=6 m，BC=8 m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= =10（m）．
∵AC2+CD2=102+242=676，AD2=262=676，
∴AC2+CD2=AD2．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB·BC+ AC·CD=
×6×8+ ×10×24=144（m2）．
∴所需费用为300×144=43 200（元）．
答：共需投入43 200元．
【中考对接】
25. （2021·玉林）如图D17-1-17，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和
16 n mile，1 h后两船分别位于点A，
B处，且相距20 n mile．如果知道甲
船沿北偏西40°方向航行，那么乙船
沿______________________方向航行．
北偏东50°
谢 谢(共16张PPT)
第十七章 勾股定理
单元复习课
专题二 中考新动向
【创新讲述】
在近两年的广东中考试题中，单纯考勾股定理或其逆定理的很少，大多与四边形、三角形、圆放在一起出题，故掌握勾股定理的解题策略，提高解题能力，才能以不变应万变.勾股定理只适应于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考查对象是直角三角形. 在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合思想的应用.
类型一：勾股定理与网格图
【例1】如图D17-2-1，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格格点的位置上，则△ABC的边AB上的高为（ ）
C
1. 如图D17-2-2，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A. AB=2
B. ∠BAC=90°
C. △ABC的面积为10
D. 点A到直线BC的距离是2
C
类型二：勾股定理与代数
【例2】已知△ABC中，BC=m-n（m＞n＞0），AC=2 AB=m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）当∠A=30°时，求m，n满足的关系式．
（1）证明：∵BC=m-n（m＞n＞0），AC=2 AB=m+n，
∴AC2+BC2=（2 ）2+（m-n）2=4mn+m2+n2-2mn=m2+n2+2mn=（m+n）2，AB2=（m+n）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴∠C=90°．
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，
∴m=3n．
2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a=6，b=8，c=12，则∠A与∠B的和与∠C的大小关系为____________________；
（2）若 求证：△ABC是直角三角形．
∠A+∠B＜∠C
（2）证明：∵
∴2ac=（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）2-b2=a2+2ac+c2-b2．
∴a2+c2-b2=0，即a2+c2=b2．
∴△ABC是直角三角形．
类型三：利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
解决折叠问题的关键是抓住对称性. 勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.
【例3】直角三角形纸片的两直角边AC=8，BC=6，现将△ABC按如图D17-2-3所示折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，则BE的长为
__________.
3. 如图D17-2-4，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=10，D是BC的中点，E是AC上的一个动点，将三角形纸片ABC沿DE折叠，连接AC′. 当△AEC′是直角三角形时，CE的长为
__________.
或5
类型四：利用勾股定理解决立体图形的展开问题
立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解.
【例4】国庆节期间，某中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子. 为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图D17-2-5所示.
若每根柱子的底面周长均为2 m，高均为3 m，求
每根柱子所用彩灯带的最短长度.
解：如答图D17-2-1，将圆柱侧面展开并拼接得到一个长为2×2=4（m），宽为3 m的长方形.
则最短长度为AB= =5（m）.
答：每根柱子所用彩灯带的最短长
度为5 m.
4. 如图D17-2-6，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm. 若一只蚂蚁要从点A1爬到C1，则爬行的最短路程是多少？
解：当爬行路程如答图D17-2-2①时，
A2C1= =5 （cm）；
当爬行路程如答图D17-2-2②时，
A2C1= = （cm）；
当爬行路程如答图D17-2-2③时，
A2C1= =2 （cm）.
∵5 ＜2
∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 cm.
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第十七章 勾股定理
本章知识梳理
第8课时 勾股定理（一）
1. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
2. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题和逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
本章知识梳理
课标要求
知识梳理
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 经历勾股定理的探究过程,理解、掌握勾股定理的内容.
2. 在实际问题中构造直角三角形，解决生活、生产中的有关问题.
本课目标
知识重点
知识点一：勾股定理
（1）定理内容：直角三角形两直角
边的__________等于斜边的平方；
（2）表示方法（如图17-8-1）：在
△ABC中，若∠C=90°，则__________.
平方和
a2+b2=c2
对点范例
1.如图17-8-2，b=__________，c=__________.
12
30
知识重点
知识点二：勾股定理的应用
勾股定理把三角形有一个直角的“__________”的特点，转化为三边“__________”的关系，可以用来解决生活、生产中的一些实际问题.
形
数
对点范例
2. 如图17-8-3，一根长20 cm的吸管置于底面直径为9 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是__________ cm.
5
课堂演练
典例精析
【例1】如图17-8-4，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
在Rt△CDB中，CD=12，BD=9，
由勾股定理，得BC= =15．
在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，
由勾股定理,得AD= =16．
∴AB=AD+BD=16+9=25．
∴AB的长为25，BC的长为15．
思路点拨：先根据勾股定理求出BC，AD的长，进而求出AB的长.
举一反三
1. 如图17-8-5，已知CD=6，AB=4，∠ABC=∠D=90°，BD=DC，求AC的长．
解：∵∠D=90°，CD=6，BD=DC，
由勾股定理，得BC2=BD2+CD2=72．
∵∠ABC=90°，AB=4，BC2=72，
由勾股定理，得AC= =2
∴AC的长为2
典例精析
【例2】如图17-8-6，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ADC＝150°，CD＝3，求BC的长.
解： 如答图17-8-1,连接DB.
∵AB＝AD＝4，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴BD＝AB＝4，∠ADB＝60°.
∵∠ADC＝150°，
∴∠BDC＝∠ADC-∠ADB＝90°.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得
BC＝ ＝5.
思路点拨：先添加辅助线构造直角三角形，再根据勾股定理，即可得到BC的长.
举一反三
2. 如图17-8-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，求点C到AB的距离.
解：设点C到AB的距离为h.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
由勾股定理，得AB= =15.
∵S△ABC= AC·BC= AB·h，
∴h=
∴点C到AB的距离为
典例精析
【例3】如图17-8-8，为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠BAC=50°，∠B=40°，AB=15 km，BC=12 km.若每天可凿隧道0.3 km，则需要几天才能把隧道AC凿通？
解：∵∠BAC=50°，∠B=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=90°.
∵AB=15 km，BC=12 km，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC= =9（km）.
∴需要天数为 =30（天）.
答：需要30天才能将隧道AC凿通.
思路点拨：先根据勾股定理求出隧道AC的长，进而求出所需要的天数.
举一反三
3. 如图17-8-9，要修建一个育苗棚，棚高h=3 m，棚宽a=4 m，棚长d=12 m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？
解：在直角三角形中，由勾股定理，可得
直角三角形的斜边长为 =5（m）.
∴需要塑料薄膜的面积为5×12=60（m2）．
答：需要60 m2的塑料薄膜.
典例精析
【例4】（创新题）如图17-8-10，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑__________m.
思路点拨：在三角形中，只要有一个角是
直角就可用勾股定理计算.
0.5
举一反三
4. （创新题）如图17-8-11，小巷左右两侧都是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m. 如果保持梯子底端位置不变，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为（ ）
A. 0.7 m
B. 1.5 m
C. 2.2 m
D. 2.4 m
C
谢 谢
