冀教版数学九年级上册同步课件：24.1 一元二次方程(共16张PPT)

(共16张PPT)
第二十四章 一元二次方程
24.1 一元二次方程
知识回顾
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
（2019长沙中考）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课程，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课收益学生2万人次，第三批公益课收益学生2.42万人次.如果第二批、第三批公益课收益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
解：这个增长率为x,由题意得
是一元一次的方程吗？
是二元一次的方程吗？
是分式方程吗？
不是
不是
不是
是什么方程呢？
情境导入
1.与一元一次方程 70x+80(60-x)=4600相比，有什么不同？
2.与二元一次方程 3x+2y=120相比，有什么不同？
5x+4y=210
未知数最高次数为2
｛
只有一个未知数
3.与分式方程 相比，有什么不同？
未知数没有在分母位置，是整式方程
一元二次方程
叫什么方程合适呢？
获取新知
一起探究
我们来研究一下方程2(1+x)2=2.42的特点
注意关键点
1.一元
2.二次
3.整式
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式
a x 2 + b x + c = 0（a≠0）
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
常数项
思考：为什么要有限制条件a≠0
若a=0，则没有了二次项，也就不是二次方程了.
指出方程各项的系数时要带上前面的符号．
例1 将方程3x（x-1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解： 去括号，得
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
例题讲解
获取新知
问题：类比一元一次方程，试着归纳一元二次方程根的定义.
一元一次方程的根：
使一元一次方程　　　　　　的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫一元一次方程的根.
左右两边相等
定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.
例题讲解
例2 判断0和-1是不是一元二次方程2x2=1-x的根.
当x=0时，左边=0，右边=1
左边≠右边
∴0不是原方程的根.
解：
当x=-1时，左边=2，右边=2
左边=右边
∴-1是原方程的根.
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：
将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
例3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
思考：
1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.
32x
2×20x
2x2
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得：
x2-36x＋35=0
1. 下列哪些是一元二次方程？
(1)3x+2=5x-2
(2)x2=0
(3)(x+3)(2x-4)=x2
(4)3y2=(3y+1)(y-2)
(5)x2=x3+x2-1
(6)3x2=5x-1






随堂演练
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3.如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 x cm，根据题意可列方程为(　　)
A．10×6-4×6x=32
B．(10-2x)(6-2x)=32
C．(10-x)(6-x)=32
D．10×6-4x2=32
B
4.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)一个圆的面积是 6.28 cm2，求半径；
(2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边.
解：（1）设圆的半径为rcm，则圆的面积为(πr2)cm2，
所以其一般形式为πr2-6.28=0.
（2）设较长的直角边长为acm，则较短的直角边长为(a-3)cm，
则直角三角形的面积为 cm2
所以其一般形式为a2-3a-18=0.
5.如果 2 是方程 x2-c=0 的一个根，那么常数 c 是多少？求出这个方程的其他根．
解：因为 2 是方程 x2-c=0 的一个根，
所以 22-c=0，
解得 c=4，
则原方程为 x2-4=0，即x2=4，
因为 4 的平方根为±2，
所以方程 x2-4=0 的另一个根为-2．
课堂小结
是整式方程
一元二次方程
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）