冀教版数学九年级上册同步课件：24.3 一元二次方程根与系数的关系(共18张PPT)

(共18张PPT)
第二十四章 一元二次方程
24.3 一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
知识回顾
情景导入
格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在．
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问题1：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2与x1 x2系数有什么规律？
方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-3x+2=0 2 1 3 2
x2-2x-3=0 -1 3 2 -3
x2-5x+4=0 1 4 5 4
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2.
一般的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，二次项系数 a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
由求根公式知
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
例题讲解
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
(1) x2－3x－8＝0 (2) 3x2＋4x－7＝0；
解：(1) 这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.
所以　　　　　
为什么要有这一步？
研究根与系数的关系，前提条件是方程有实数根，即b2-4ac≥0.
求一元二次方程两根的和与积时，先要将
方程整理成一般形式，然后利用根与系数的关
系求出两根的和与积．
总 结
(2) 这里a＝3，b＝4，c＝－7，且
b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，
所以　　　　　
例2 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
总结：含有字母系数的一元二次方程已知一根求另一根，最常用根与系数的关系解决.
总 结
已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知：
例4 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0
总 结
　 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p=___ , q=____ .
1
-2
-3
3.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
(1)x1+x2=____ ; (2)x1·x2=_____;
(3) _____; (4)(x1-x2)2=_____.
4
1
14
12
随堂演练
4.已知方程 3x2 -19x +m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
∴x1 =
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
6.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∴m的取值范围为m＞0
(2)∵方程有实数根x1,x2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解．
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系应用
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c的关系
当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
当已知一个根和常数项时，
先利用两根的积 求出另一根，
再利用两根的和求出一次项系数