冀教版数学九年级上册同步课件：24.2 第1课时 配方法(共25张PPT)

(共25张PPT)
第二十四章 一元二次方程
24.2 第1课时 配方法
知识回顾
（1）121的平方根为±11；
（2）25的平方根为±5；
（3）0.81的平方根为±0.9；
（4）0的平方根为0；
1.求出或表示出下列各数的平方根．
121； (2) 25 ； (3) 0.81；
(4) 0； (5) 3； (6)　 .
（5）3的平方根为 ；
（6） 的平方根为 ；
2.一个正数4有（ ）个平方根，是（ ）.
0有（ ）个平方根，是（ ）.
负数-4（ ）平方根.
2
±2
1
0
没有
是学习新知的必备条件哦
3.将下列各式补成完全平方式
①x2+4x+____
②x2-6x+____
③x2-10x+___
④x2+x+____
⑤x2+3x+____
⑥x2-0.5x+____
4
9
25
0.25
填空的规律是什么？
二次项系数为1时，只需把常数项填成一次项系数一半的平方.
情景导入
一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1 500，
由此可得
x2=25，①
即
x1=5，x2= 5．
可以验证，因为棱长不能是负值，
所以盒子的棱长为5 dm．
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义
获取新知
分类思想
知识点1 用直接开平方法解一元二次方程
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根 .
（3）当p<0时，因为对任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程（Ⅰ）无实数根.
一般的，对于方程 x2 = p， （Ⅰ）
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的
实数根
例题讲解
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
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知识点2 解形式为 (x+m)2=n (其中m，n 是常数)的一元二次方程
解方程：(x + 3)2 = 5时，由方程 x2 =25 得 x =±5.由此想到：由方程
(x + 3)2 = 5， ①
整体思想
得 x + 3 = 　，
一元二次方程
降次
转化思想
一元一次方程
即 x + 3 = ，或x + 3 = ②
于是，方程(x + 3)2 = 5的两个根为x1=-3+ ,x2=-3-
直接开平方法的一般步骤
①
②
③
将括号前的常数变为1
直接开平方
解一元一次方程，得出x
二次化为一次
降次
一定有解吗？
例题讲解
例2 解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2 ；
（2）（x－1）2－4 = 0；
【分析】第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
即x1=-1+
，x2=-1-
（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
即x1=3，x2=-1.
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知识点3 配方法解二次项系数为1的一元二次方程
根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
完成填空： (1) x2–4x+____=(x–____)2
(2) x2+12x+____=(x+____)2
(3) y2–8y+____=(y–____)2
思考：你所填写的 b，b2 与一次项的系数有怎样的关系？
二次项系数为 1 的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方
探究用配方法解一元二次方程
解方程 (1) x2-2x+1=4
能转化为你会做的形式吗？
原方程可化为(x-1)2=4
(x-1)2
用直接开平方法即可
解方程 (2) x2-2x=3
分析：能转化为（1）吗？
方程两边同时加1即可
x2-2x+1=3+1
转化为(1) x2-2x+1=4
怎样解方程 x2 + 6x + 4=0？
移项　
x2 + 6x= – 4　
两边加 9
x2 + 6x + 9= – 4 + 9
左边写成完全平方形式
(x + 3)2= 5
解得
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方
配方法
1.概念：通过配方，把一元二次方程变形为一边含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意：由于配方法是通过变形，将一元二次方程最终转化为用直接开平方去解，因此用配方法解一元二次方程也会出现3种结果.即方程有两个不相等的根；或一个根；或没有根.
例题讲解
例3 用配方法解下列方程．
(1)x2－10x－11＝0；　 　 (2)x2＋2x－1＝0.
解：(1)移项，得
　　　　　x2－10x＝11.
配方，得
　　x2－10x＋52＝11＋52，
即　　(x－5)2＝36.
两边开方，得
所以　x1=11,x2=-1　
(2)移项，得x2＋2x＝1.
　 配方，得
　 x2＋2x＋12＝1＋12，
　 即 (x＋1)2＝2.
　 两边开方，得
所以　　
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知识点4 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题：如何用配方法解方程2x2+4x+1=0？
提示：如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程，就可以利用学过的知识解方程了！
解：移项，并将二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，即 .
两边开平方，得 .
所以 ， .
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
例题讲解
例4 用配方法解方程：2x2＋3＝6x.　　
解：(1)移项，并将二次项系数化为1，得
　　　　　x2－3x＝
配方，得x2－3x＋
即　　
两边开方，得
所以　　
随堂演练
1.若代数式3x2-6的值是21，则x的值是（ ）
A.3 B.±3
C.-3 D.±
B
2.已知关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7，则方程的两根为( )
A.±2 B.±3
C.±4 D.±7
B
3.若x2-4x+p=(x+q)2，则p，q的值分别是（ ）
A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2
C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2
B
4.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于（ ）
A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6
B
5.解下列方程：
（1）x2-2x-1=0； （2）3x2-6x+4=0.
解：（1）移项，得x2-2x＝1.
配方，得x2-2x＋12=1＋12，
即（x-1）2=2.
两边开平方，得x-1= ,
所以x1=1+ ，x2=1- .
（2）移项，得3x2 -6x＝-4.
二次项的系数化为1，得
x2 -2x ＝ .
配方，得x2-2x＋12= ＋12.
即（x-1）2= .
因为实数的平方都是非负数，所以上式都不成立，即原方程无实根.
6.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4-4＋5
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，
所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
课堂小结
一元二次方程的解法（1）
基本思路
配方法
特征
直接开平方法
概念
定义
可化为x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式
步骤
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.