冀教版数学九年级上册同步课件：24.4 第1课时 面积问题(共20张PPT)

(共20张PPT)
第二十四章 一元二次方程
24.4 第1课时 面积问题
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、
配方法、
公式法、
因式分解法．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，
②设出未知数， ③找等量关系， ④列方程，
⑤解方程，
⑥验根， ⑦答.
那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
试一试：观察下图中图形的构成，试着表示出图中阴影部分的面积.
20m
32m
x m
x m
(32-x)(20-x)
(32-x)m
(20-x)m
情景导入
例1 如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2，求这个长方形存车处的长和宽．
例题讲解
分析：设长方形靠墙一边的长为x m，则长方形另一边的长为________，根据长方形的面积建立方程．
存车处
当x=20时， =35.
答：这个长方形存车处的长和宽分别为35 m和20 m.
审清题意
找出已知量、未知量
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
设未知数
设长方形靠墙一边的长为x m，则长方形另一边的长为 m.
列方程
依据题意得： .
解方程
解得：x1=70，x2=20.
验根
由于墙长22 m,x1=70不合题意，应舍去.
作 答
问题1：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解 设长方形的长为x m，则它的宽为（90-2x）m.
依题意，得 x（90-2x）=700
解方程，得
x1=35，x2=10.
当x=35时，90-2x=20；当x=10时，90-2x=70，由于墙长22 m,所以x=10不合题意，应舍去.
答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m.
例2 已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
分析：问题中的等量关系为：包书纸的长×宽=1260．只要把包书纸的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了.设正方形的边长为x cm，则包书纸的宽为________cm,长为 cm.
26+2x
18.5×2+2x+1
数量关系
解：设正方形的边长为x cm，
根据题意，得
（26+2x）（18.5×2+2x+1）=1260.
解得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去）.
答：正方形的边长是2 cm.
例2 已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm．
一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
几何图形的面积问题
几何图形的面积问题：
这类问题的________是等量关系. 如果图形不规则应____或____成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程
面积公式
割
补
20
32
x
x
例3 如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
20
32
x
x
【分析】平移法---化零为整
32-x
20-x
变式一：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.
C
B
D
A
(30-2x)(20-x)=6×78
30
20
x
x
x
【分析】平移法---化零为整
C
B
D
A
30
20
x
x
x
30-2x
20-x
6×78
变式二：在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求
这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米,可列方程为:
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
变式三：在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
30
20
3x
3x
2x
2x
30
20
6x
4x
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x.

30-4x
20-6x
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
随堂演练
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方
形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，
求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得 x1=25 x2=-10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
2x
x
5
5
3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm
(20-6x)(30-4x)=400
6x2-65x+50=0
4.如图，矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以 3 cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动.
(1) P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2？
A
B
C
Q
P
D
解：（1）设经过xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2,
依题意，得
解得 x=5,
所以经过5s，四边形PBCQ的面积为33cm2
A
B
C
Q
P
D
如图，矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以 3 cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动.
(2) P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为 10 cm？
解：(2)设经过 y s 时，点P和Q的距离为10 cm，
依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，
整理得 25y2-160y+192=0，
解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，
所以经过 1.6 s 或 4.8 s 时，点P和Q的距离为 10 cm .
课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
常见分析策略
常见类型
列方程依据
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
一边靠墙围成的区域面积
常见几何图形面积是等量关系.
常采用图形平移能化零为整，方便列方程.