冀教版数学九年级上册同步课件：25.4 第1课时 相似三角形的判定定理1(共21张PPT)

(共21张PPT)
第二十五章 图形的相似
25.4 第1课时 相似三角形的判定定理1
1、根据相似三角形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？
满足（1）三个角对应相等 ；（2）三条边对应成比例
的两个三角形是相似三角形.
A
B
C
B′
C′
A′
知识回顾
2、还有判断两三角形相似的方法吗
DE∥BC
△ADE∽△ ABC
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
思考:有没有其他更简单的办法判断两个三角形相似
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干。 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
？
？
？
情景导入
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°;在Rt△DEF中,∠F=90°,∠D=30°,△ABC与△DEF相似吗？为什么？
E
30°
F
D
30°
C
B
A
获取新知
一起探究
目前，要判定两个三角形相似，有哪些方法可以选择？试选择一个合适的方法来进行说明.
方法一：相似三角形的定义
分析:由已知容易推出三对角对应相等推理三边对应成比例时，可先设BC=a,,则AB=2a,AC= a
设EF=b,则DE=2b,DF= b
∴△ABC∽△DEF
方法二：用“A”型
把△DEF移动到△ABC内，
由于∠ACB=∠DFE=90°
可得EF//BC
∴△ABC∽△DEF
我们发现在两个直角三角形中有两个角对应相等，则这两个三角形是相似的.那么是不是任意的两个三角形，只要具备“两角对应相等”就会相似呢？
一起探究
画两个△ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：
B
A
C
C′
A′
B′
问题：如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？
B
A
C
C′
A′
B′
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
E
D
B
A
C
C′
A′
B′
E
D
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴ △ADE ≌ △A'B'C，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
若△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△A′′B′′C′′，
则△ABC∽△A′′B′′C′′.
C
A
A'
B
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
相似三角形的判定定理一
两角对应相等的两个三角形相似
判定两个三角形相似，只需要找到两组对应角相等即可
例1 （1）已知：如图，在△ABC中，点E、E、F分别在边AB，AC，BC上，且DE//BC,DF//AC.
求证：△ADE∽△DBF
A
B
C
F
E
D
由平行得出相等的角
由平行，你还能想到什么？还有其他做法吗？
A型
例题讲解
证明：∵ DE∥BC.
∴∠ADE＝∠B.
又∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDF.
∴ △ADE∽△DBF.
(2)如图：∠C=∠B,请找出图中的相似三角形，并进行证明.
A
B
C
E
D
F
∵∠C=∠B,∠A=∠A
∴△ABE∽ACD
∵∠C=∠B,∠1=∠2
∴△DBF∽ECF
1
2
公共角
对顶角
(3)已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.
求证：△ABD∽△BCD
C
B
A
D
1
证明：∵∠1+∠C=90°
∠A+∠C=90°
∴∠1=∠A
又∠BDC=∠BDA=90°
∴△ABD∽△BCD
同角的余角相等
（拓展一）图中有几对相似三角形.
3对 △ABC∽△BDC △ABC∽△ADB △BAD∽△CBD
存在于哪两个三角形中？
（拓展二）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.
求证:
证明：∵∠ADB=∠ABC=90°
∠A=∠A
∴△ADB∽△ABC
C
B
A
D
观察已知线段BC、CD和所求线段AC存在于哪两个三角形中？
（拓展三）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.
若BC=5，CD=2，求AC的长.
证明：∵∠BDC=∠ABC=90°
∠C=∠C
∴△BCD∽△ACB
∴2AC=25
∴AC=12.5
C
B
A
D
找相等的角常用的方法：
1.平行
2.公共角
3.对顶角
4.同角（或等角）的余角（或补角）相等
例2（课本75页“做一做”）已知：如图，点D在△ABC的边AB上，过点D作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条？请把这些直线画出来.
A
B
C
●
D
有3条直线，分别是DE、DF、DM
E
F
M
①过点DE//BC，交AC于点E
②作∠ADF=∠C,
③过点DM//AC，交AC于点M
1.有一个角等于110°的两个等腰三角形(　 )
A.全等 B.相似
C.既不相似也不全等 D.无法确定
B
随堂演练
2. 如图，已知 AB//DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A. 1对 　　B. 2对
C. 3对 　　D. 4对
C
A
B
D
C
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC.
ACD
ACB
B
ADB
4.如图，在△ABC中,D为AB边上一点，且∠BCD=∠A,
已知BC= ,AB=3，则BD=______.
3
8
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
5. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
两角分别相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定
判定定理1
课堂小结
⑴.注意图形中的公共角、对顶角、直角.
⑵.两直线平行时的同位角、内错角.
⑶.等角的余角、等角的补角．