冀教版数学九年级上册同步课件：25.4 第3课时 相似三角形的判定定理3(共20张PPT)

(共20张PPT)
第二十五章 图形的相似
25.4 第3课时 相似三角形判定定理3
⑴定义法:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似.
问题：判定两个三角形相似我们学过了哪些方法
⑵平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
复杂
繁琐！
知识回顾
(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？
学校为了改善环境，在一片空地上修建一块三角形草地，图纸如图1所示，完工后小明想要确定图2的草坪是否和图纸中的三角形相似，你能帮帮他吗？
情景导入
画△ABC和△A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
获取新知
一起探究
通过测量不难发现∠A=∠A’,∠B=∠B’，∠C=∠C’,又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
下面我们用前面所学得定理证明该结论。
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC
∴ DE=B′C′，EA=C′A′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′ ∽△ABC
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′
∴ ，
新的证明线段相等的方法
判定三角形相似的定理3:
三边成比例的两个三角形相似.
∴△ABC∽△A1B1C1
∵
A1
B1
C1
A
B
C
归纳总结
几何语言：
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DEF中，
DE>EF>FD
∴ △ABC ∽ △DEF
∵ ， ， ，
∴
例题讲解
∴△ABC∽△DEF
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC
即 ∠BAD=∠CAE
∵∠BAD=20°
∴∠CAE=20°
∴ △ABC ∽△ADE
例2 如图，在△ABC和△ADE中， ,∠BAD=20°，
求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
在下图的边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
我们可以发现这两个三角形相似．
B
C
A
F
E
D
获取新知
要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？
目标：
C
A
A'
B
B'
C'
例题讲解
例4 如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝90°， ∠C′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ．
∴
∴
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ．
直角三角形相似的判定方法：
B
C
A
E
F
D
斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
几何语言：
∴Rt△ABC∽Rt△DEF
1. 如图，若△ABC∽△DEF，则x的值为( )
A
B
C
D
E
F
A. 20 B. 27 C. 36 D. 40
D
随堂演练
12
15
24
20
25
x
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( )
①
②
③
④
A. ①和② B. ②和③
C. ①和③ D. ②和④
C
网格中比较方便用勾股定理求边长，因此证相似多用对应边成比例
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是( )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
4.在△ABC和△A'B'C'中，AB=9，BC=8，CA=5;
A'B'=3，B'C'= ，C'A'= ,则（ ）.
A.∠A=∠A'
B.∠A=∠B'
C.∠A=∠C'
D.∠B=∠C'
B
5. 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图1中的三角形(阴影部分)与图2中的△ABC相似的是哪一个图形？
图1
图2
解：由勾股定理知AC＝ BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为
图2(2)中，三角形的三边长分别为
图2(3)中，三角形的三边长分别为
图2(4)中，三角形的三边长分别为
∴图2(2)中的三角形与△ABC相似．
6. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路AB与CD平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB//DC.
7. 如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD。
∴ △ABC∽△EFD
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
课堂小结
利用三边判定三角形相似
判定直角三角形相似的方法
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
∵
∴ △ABC ∽ △A′B′C'