冀教版数学九年级上册同步课件：25.5 第1课时 相似三角形的性质1(共18张PPT)

(共18张PPT)
第二十五章 图形的相似
25.5 第1课时 相似三角形的性质1
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例;
④直角三角形中，斜边和直角边对应成比例
知识回顾
A
B
C
A'
B'
C'
①相似三角形的对应角_________
②相似三角形的对应边__________
想一想:它们还有哪些性质呢
（3）相似三角形有何性质？
（4）什么是相似三角形的相似比？
相似比=对应边的比=
相等
成比例
D'
C'
B'
A'
小明买了一个按1:100的比例缩小的宫殿模型,宫殿的屋顶形成如图所示的三角形.其中△ABC是模型的屋顶，△A'B'C'是宫殿的屋顶.小明认为△ABC与△A'B'C'是相似的，测得BC边上的高为2cm，就推测宫殿的屋顶的高为2米.你同意小明的说法吗？
A
D
C
B
情景导入
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
获取新知
如果两个三角形相似，
那么，对应的这些要素有什么关系呢？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究活动一
D
D'
解：如图，分别作出△ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
表示k的比例式是什么？
只需证明△ABD和△A'B'D'
相似三角形对应高的比等于相似比．
问题： 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AD、A′D'分别是边BC和B'C'上的中线.求证：
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想1
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B'，
∵AD、A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的中线
∴△ABD∽△A'B'D'
结论：相似三角形的对应中线的比等于相似比
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想2
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AE、A′E'分别是边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线.
求证：
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠BAC=∠B'A'C' .
又∵AE、A′E'分别是边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线，
结论：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比
∴ △ABE∽△A′B′E′.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
归纳总结
相似三角形性质定理：
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
F
F'
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，EF//BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G， , AD=15.求AG的长.
①
②
③
④
①
三角形的高出现
②
相似三角形
③
相似比
④
A
B
C
E
F
D
G
△ABC的高
所求AG
△AEF的高
解题思路：相似三角形对应高的比等于相似比.
例题讲解
A
B
C
E
F
D
G
解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴AD⊥BC
∴AG⊥EF
解得，AG=9
（相似三角形对应高的比等于相似比）
例1.（拓展）如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
A
B
C
N
M
Q
P
D
分析：
1.从图形中提取与例1相同的图形
2.思路：相似三角形对应高的比等于相似比.
解:设PQ与AD交于点E
∵四边形PQMN是正方形
∴PQ//BC
∴△APQ∽△ABC
设正方形的边长为x,则PQ=x,AE=8-x
解得，x=4.8
∴这个正方形零件的边长是4.8cm.
(相似三角形对应高的比等于相似比）
E
ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，
已知 ,B1D1 =4cm，则BD= cm.
6
2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与ΔA1B1C1的对应高之比为 .
8:3
随堂演练
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
解：∵ △ABC∽△DEF， 　
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
（相似三角形对应角平
线的比等于相似比），
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
5.如图，在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上，AG⊥BC于G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC,若AD=3，AB=5，求AF:AG.
A
B
C
D
E
F
G
解：∵∠EAF=∠GAC,∠AFE=∠AGC=90°
∴△AFE∽△AGC
∴∠AED=∠C
又∵∠EAD=∠CAB
∴△AED∽△ACB
（相似三角形对应高的比等于相似比）
课堂小结
相似三角形的性质
3.对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比
1.对应角相等
2.对应边成比例
相等的角、求角的度数
证比例式（等积式）
求线段长