冀教版数学九年级上册同步课件：26.1 第1课时 正切(共23张PPT)

(共23张PPT)
第二十六章 锐角三角函数
26.1 第1课时 正切
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．
1米
10米

你想知道小明怎样算出的吗？在认真学习了这节课的内容之后,你就明白了.
情景导入
在直角三角形中,三边之间具有特殊关系(勾股定理), 两个锐角互余, 那么直角三角形的边和角之间是否也有着特殊的关系呢
做一做
轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上,轮船向东航行5km到达C处,灯塔在轮船的正北方(图26-1),此时轮船距灯塔多少千米
A
B
C
35°
北
东
图26-1

获取新知
一起探究
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
成立
正切
问题1：如图，△ABC和△A'B'C'都是直角三角形， 其中∠A =∠A'，∠C =∠C' = 90°，则 成立吗？为什么？
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'.
A'C'
AC
B'C'
BC
＝
即
AC
BC
A'C'
B'C'
＝
问题2：观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以　　 ＝_____ =_____.
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边和邻边的比值是唯一确定的．
我们每个人画出的三角形都和图中的 ABC相似，但对应边的长却可能不相等，那我们得到的比值相等吗？为什么？
我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent)，记作tanA，即
应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的，∠A必须是一个锐角。
2.tanA是一个完整的符号。在表示∠A的正切时，习惯省去“∠”号,但表示∠ ABC或∠1的正切，不能省略“∠” 号，应表示成tan ∠ ABC或tan ∠1。
3.tanA是一个比值无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边的长短无关.
互余的两个锐角的正切值互为倒数.
A
C
B
a
b
c
想一想：
（1）∠B的对边与邻边分别是那两条边？∠B的正切怎么表示？
（2）tanA与tanB之间有怎样的关系？
b
a
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值.
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值.
解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,
∴∠B=60°,且 .
∴ = = .
∴tan A=tan 30°= ,
tan B=tan 60°= .
特殊角的正切值
(2)在Rt△ABC中,
∵∠A=45°,
∴a=b.
∴tan A=tan 45°= .
30° 45° 60°
tan A
锐角三角函数
锐角A
1
正切是一个比值
例2 求一个角的正切值.
A
C
B
D
（1）如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是BC边上的中线，BD=4，AD= ，则tan∠CAD的值是____.
2
方法①：求出角的对边和邻边的长度，直接用定义做.
例题讲解
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D,则tan∠BCD的值是____.
D
C
B
A
8
6
分析：直接去求∠BCD的对边与邻边的长计算量是比较大的.
这个图形是相似三角形中学过的“母子型”，有相等的角出现，
因此可把求∠BCD的正切转化为与求它相等的∠A的正切值.
方法②：转化为求与其相等的角的正切.
（3）如图，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值是____.
C
B
A
方法③求一个角的正切值应把这个角放到直角三角形中
例3 如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是AC上一点，若tan∠DBC= ,求AD的长.
D
C
B
A
解：由题意得，BC=AC=6
在Rt△BCD中，
利用正切求边长
典例精析
例3 如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是AC上一点，若tan∠DBC= ,求AD的长.
D
C
B
A
解：由题意得，BC=AC=6
在Rt△BCD中，
利用正切求边长
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，BC=3，则tanA的值是____.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，tanA= ,则BC=____.
2
随堂演练
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
4.tan60°的值是____ ;若tanA=1,则∠A=_____.
45°
6.如果方程 的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为∠A,那么tanA的值是_______.
分析：解方程得，x=1或x=3.
情况一：1,3均为直角边.
情况二：3为斜边.
7.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，若BC=2，AB=3，求tan∠BCD的值.
解：∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠A.
在Rt△ABC中，
∴tanA= = ，
AC
BC
∴tan∠BCD=tanA= .
7.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，若BC=2，AB=3，求tan∠BCD的值.
解：∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠A.
在Rt△ABC中，
B
A
C
c
a
b
对边
邻边
课堂小结
正切
概念
特殊角的正切值