冀教版数学九年级上册同步课件：26.1 第2课时 正弦和余弦(共25张PPT)

(共25张PPT)
第二十六章 解直角三角形
26.1 第2课时 正弦与余弦
知识回顾
复习： 上节课我们学习直角三角形中边角关系是什么
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
tanA=
问题（1）：如图，是3个直角三角形，其中∠C=∠F=∠P=90°,
∠A=∠D=∠M=30°,∠A、∠D、∠M的对边与斜边的比值是多少？
由此你发现了什么？
由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得比值都为 .
P
N
M
30°
F
E
D
30°
A
C
B
30°
情景导入
发现：在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是一个固定值.
猜一猜：当我们把30°角换成任意一个锐角时，结论还成立吗？
P
N
M
F
E
D
A
C
B
获取新知
一起探究
B'
C'
A'
B
C
A
问题（2）：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠A=∠A',∠A的对边与斜边之比等于∠A'的对边与斜边之比成立吗 ？
∠C=∠C',∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
结论：当一个锐角的大小确定时，不管它在哪个直角三角形中，它的对边与斜边之比都是确定不变的.
锐角的对边
斜边
B'
C'
A'
B
C
A
问题（3）：如在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠A=∠A', 成立吗 ？
∠C=∠C',∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
结论：当一个锐角的大小确定时，不管它在哪个直角三角形中，它的邻边与斜边之比都是确定不变的.
锐角的邻边
斜边
　
归纳：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A .
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
体现的是边角关系
　
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值．
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cosA .
∠A的邻边
斜边
cos A = =
c
b
体现的是边角关系
A
C
B
a
b
c
思考：(1)结合图形，观察∠A、∠B的正弦和余弦，你发现了什么？
发现：当∠A与∠B互余时，sinA=cosB,cosB=sinA.
A
C
B
a
b
c
结论：对于锐角∠A,0思考：(2)结合图形,探究当0＜∠A＜90°时，sinA、cosA的取值范围是什么？
由于a＞0,b＞0,c＞0且a＜c,b＜c.
特殊角的正弦值、余弦值
问题：根据所学知识，请将下表内容补充完整。
A
B
C
45°
A
B
C
30°
30° 45° 60°
sin A
cos A
锐角A
锐角三角函数
1
2
1
1
一起探究
在直角三角形中，锐角α的正弦值、余弦值、正切值，都是唯一确定的；当锐角α变化时，其正弦值、余弦值、正切值也相应的变化.
我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为α的三角函数.
α与其正弦、余弦、正切之间是否具备函数关系？
具备
例1（课本107页例2）求下列各式的值：
（1）2sin30°+3tan30°-tan45°
三角函数值的代入过程要清晰的体现出来.
熟记30°、45°、60°角的三角函数值很重要
例题讲解
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值。
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
A
B
C
6
例3 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值。
解：∵
又
∴
在直角三角形中，如果已知一边长
及一个锐角的某个三角函数值，即可求
出其它的所有锐角三角函数值。
方法一：解：在Rt△ABD中，
利用三角函数求边长的格式
例4 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=14，AD=12，sinB= .
求：线段DC的长.
A
D
C
B
∴DC=BC-BD=14-9=5.
由勾股定理，得
方法二：解：在Rt△ABD中，
利用设k法，可以让我们的计算量更小一些.
A
D
C
B
∴DC=BC-BD=14-9=5.
∴可设AD=4k,AB=5k
则有勾股定理可得，
BD=3k，AD=4k=12
∴k=3
∴BD=3k=9
例4 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=14，AD=12，sinB= .
求：线段DC的长.
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A.sinA=
B.cosA=
C.tanA=
D.tanA=
A
随堂演练
2.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____，
sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____。
3
4.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（b,4），若sinα= ，则b=____.
5.计算：
（1）sin30°÷cos45°=_________;
（2）cos30°·tan30°-tan45°=_________；
（3）sin260°+cos260°=_________；
1
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，cosA = ，求 sinA、tanA 的值．
解：
A
B
C
设 AC = 15k，则 AB = 17k.
∴
∴
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及tanB 的值.
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D.
∵ AB = AC，
∴ BD = CD = 3，
在 Rt△ABD 中
∴ tanB =
A
B
C
∴
D
提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.
课堂小结
正弦和余弦
锐角三角函数
正弦
余弦
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos A = =
c
b
30°、45°、60°角的三角函数值