冀教版数学九年级上册同步课件：26.4 第1课时 解决与仰角、俯角及方位角有关的问题(共24张PPT)

(共24张PPT)
第二十六章 解直角三角形的应用
26.4 第1课时
解决与仰角、俯角及方位角有关的实际问题
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系:
∠A＋ ∠B＝ 90 ；
(3)边角之间的关系:
(必有一边)
A
C
B
a
b
c
知识回顾
问题：（课本117页“做一做”）小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A,仰角为50°；俯视旗杆的底部B,俯角为18°.求旗杆的高.（结果精确到0.1m）.
小明
A
D
B
视线
视线
水平线
4.5
O
C
地平线
解读:
仰角、俯角是指视线与水平线的夹角.
如：∠AOC是仰角.∠BOC是俯角.
情景导入
已知：如图，OD、AB均与BD垂直，垂足分别为点D、B,
OC//BD,BD=4.5m，∠AOC=50°；∠BOC=18°.
求AB的长度.（结果精确到0.1m）.
先将实际问题转化为数学问题
A
D
B
4.5
O
C
获取新知
一起探究
解：由题意可得，OC=BD=4.5
在Rt△OCB 中
在Rt△AOC中
∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8
东
西
北
南
O
(1)正东，正南，正西，正北
(2)西北方向:_________
西南方向:__________
东南方向:__________
东北方向:__________
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
认识方位角
O
北
南
西
东
(3)南偏西25°
25°
北偏西70°
南偏东60°
A
B
C
射线OA
射线OB
射线OC
70°
60°
认识方位角
例1 如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能.
B
C
A
北
30°
60°
解读：
方位角：视线与正南（或正北）方向的夹角.
思考：
如何判断渔船有没有可能进入危险区？
例题讲解
B
C
A
北
30°
60°
分析：
只需要计算垂线段CD的长度即可.
CD即渔船与小岛的最近距离，
当CD≥10时，没有危险；
当CD＜10时，有危险.
D
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
转化为数学问题：如图，AB的长为 海里，∠EAC=60°,∠FBC=30°,求CD的长.
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
方法一：
解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=60°,设BD=x
在Rt△BCD中
∴CD=BD·tan∠CBD=√3x
在Rt△ACD中，
解得，x=10
∴渔船不会进入危险区.
两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
方法二：
解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=60°,设CD=x
在Rt△BCD中
在Rt△ACD中，
∴渔船不会进入危险区.
两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
方法三：
解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=90°-30°=60°,
∵∠1=90°-60°=30°
∴∠2=∠1=30°
∴BC=AB=20
在Rt△BCD中
∴渔船不会进入危险区.
把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数
1
2
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
1
2
20
思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知数，可以直接求？
方法一、二中已知边AB不是直角三角形的边长，需设未知数.
方法三中导出BC=20，BC是直角三角形的边长，可直接计算，不设未知数.
用三角函数求边长时的注意事项
1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算；
2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数；
3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数.
1.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为______m.（精确到0.1 m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
9.5
随堂演练
2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____ 米.
100
3.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为____海里(结果取整数)．
(参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)
11
4.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
　
5. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： ≈1.732, ≈1.414)．
200km
200km
C
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
即 PC＝200，
6. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，
α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
课堂小结
解答含有仰角、俯角问题的方法
1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
解答含有方位角问题的方法
解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题