冀教版数学九年级上册同步课件：26.4 第2课时 解决与坡角坡度有关问题(共18张PPT)

(共18张PPT)
第二十六章 解直角三角形
26.4 第2课时 解决与坡角、坡度有关的问题
知识回顾
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
看一看：观察下图中的事物，了解它们的应用规律。
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11°
情景导入
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
情景导入
坡面
α
l
h
i= h : l
1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
2.坡度（或坡比）
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
水平面
获取新知
坡度和坡角有什么区别？
例1 如图，一山坡的坡度为 i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
A
C
i=1:2
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
，因此 α≈26.57°.
在Rt△ABC中，
∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
例题讲解
例2 如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC//AD,
∠A=∠D,根据图中标注的数据计算路基下底的宽和坡角.（角的度数精确到度）（参考数据：tan38°≈0.8）
B
C
A
D
10
1：1.25
4
想一想：如何添加辅助线，可以使坡角及已知的长度4到直角三角形中？
B
C
A
D
10
1：1.25
4
解：如图，作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.
由题意可知，四边形BEFC为矩形.
∴EF=BC=10，BE=CF=4
F
E
∵∠A=∠D,∠BEA=∠CFD,BE=CF
∴△ABE≌△DCF
∴AE=DF
在Rt△ABE中,
∴α=38°
AE=BE÷0.8=5
∴AD=AE+EF+FD=5+10+5=20
答：路基下底的宽为20m,坡角α约为38°.
（1）若新坡角为α，求坡角α的度数.
B
C
A
P
1：1
M
1：√3
例2 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6m，坡面BC的坡度为1:1，文化墙PM在天桥底部正前方8m处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡度为1：√3.
（参考数据： ）
D
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3m时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？
B
C
A
P
1：1
M
1：√3
D
6
分析：PM是否需要拆除，要看AP的长度是否超过3m,解题的关键就转化为求线段PA的长度.
在Rt△BCD中，由tan∠BCD=1:1,
可得，BD=CD=6.
在Rt△ACD中，由tan∠CAD=1:√3,
可得，AD=√3CD=6√3≈10.4
PD=PB+BD=8+6=14
PA=PD-AD=14-10.4≈3.6＞3
∴文化墙PM不需要拆除.
1.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1∶3，堤坝高BC=50 m，则AB=____m.
100
随堂演练
2.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米．
(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
280
3.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD=30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.
解：在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=10 m，
∴AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5（m）.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=15°，
∴AC=ADsin∠ACD=5sin15°≈50.26≈19.2（m）.
4.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m, EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
∴AE=3BE=3×23=69(m)
在Rt△DCF中，同理可得
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)
课堂小结
与坡度有关的问题
坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i
坡面与水平面的夹角叫做坡角