冀教版数学九年级上册同步课件：28.3 第3课时 圆内接四边形的概念和性质 课件(共18张PPT)

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28.3 第3课时 圆内接四边形的概念和性质
第二十八章 圆
情景导入
思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
C
A
E
D
B
获取新知
如图所示,∠ACB与∠ADB分别为☉O上同一条弧AB所对的两个圆周角.
(1)∠ACB与∠ADB之间具有怎样的大小关系
(2)试证明你的猜想.
解:(1)∠ACB=∠ADB.
(2)证明如下:连接OA,OB,如图所示,
∴∠ACB=∠ADB.
结论:同弧所对的圆周角相等.
∵∠ACB= ∠AOB,
∠ADB= ∠AOB,
圆周角相等
结合弧、弦、圆心角之间的关系定理和圆周角定理的推论可知：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等，进而相等的弧所对的圆心角也相等．
即在同圆或等圆中，圆周角、圆心角、弧、弦这四个量中有一组量相等，则可推出其他三组量相等，也称之为“四量关系定理”.
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
(1) ABC和ADC所对的圆心角之和等于多少度？
∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系？
(2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系？
提出你的猜想，并和大家进行交流.
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如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形.
求证：∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.
证明:连接OB,OD.
∠BCD和∠BAD分别为ABC和ADC所对的圆周角,
∴∠BCD+∠BAD=180°.
同理,∠ABC+∠ADC=180°.
∵ABC和ADC所对的圆心角之和为360°,
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圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补．
几何语言：
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
例题讲解
例 已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠DCE为四边形ABCD的一个外角.
求证：∠DCE=∠BAD.
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD= 180°.
∵∠BCD＋∠DCE= 180°，
∴∠DCE=∠BAD.
随堂演练
1.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(　　)
A．15° B．25°
　 C．30°　 D．75°
C
3.下列命题：
①圆内接平行四边形是矩形；
②圆内接矩形是正方形；
③圆内接菱形是正方形；
④任意四边形一定有外接圆．
其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
3. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　)
A．20° B．40°
C．80° D．100°
C
4.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由
是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(3).如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
A
B
O
C
D
(4)如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F=_____.
40°
5.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
6. 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
角度比值类型的题目适合运用方程思想来解决，高频题型！
课堂小结
2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
1.若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.