冀教版数学九年级上册同步课件：28.3 第1课时 圆心角的概念和性质 课件(共17张PPT)

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28.3 第1课时 圆心角的概念和性质
第二十八章 圆
知识回顾
(把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形与原图形重合,即圆有旋转不变性)
1.圆是不是中心对称图形 对称中心是什么
(圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心)
2.将课前准备的两个圆形纸片重合在一起,绕圆心转动其中一个圆,你发现什么现象
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知识点一：圆心角的概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
·
O
B
A
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.
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例题讲解
例1 如图所示,图中有几个圆心角 分别是什么
解：三个,分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC
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知识点二：圆心角的性质
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与A'B'，弦AB与弦A'B'有怎样的数量关系？
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⌒
·
O
D
C
B
A
（同圆）由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
那么，AB=A'B'，弦AB=弦A'B'
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⌒
如图，在等圆中，如果∠AO'B＝∠COD，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
通过平移将两个等圆变成同圆
·
O
D
C
B
·
O'
A
·
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等．
弧、弦与圆心角的关系定理
①∠AOB=∠A'OB'
②AB=A'B'
⌒ ⌒
③AB=A'B'
·
O
A
B
A'
B'
推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠A'OB'
②AB=A'B'
⌒ ⌒
③AB=A'B'
推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
·
O
A
B
A'
B'
①∠AOB=∠A'OB'
③AB=A'B'
②AB=A'B'或ACB=A'CB'
C
⌒ ⌒
⌒ ⌒
　　
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对的两条弦和两条弧中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等．
例题讲解
例1 已知：如图，AB为⊙O的直径，点M，N分别在AO，BO上，CM⊥AB，DN⊥AB，分别交
⊙O于点C，D，且AD=BC
求证：CM=DN.
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证明：如图，连接OC，OD.
∵AD=BC,即AC+CD=CD+BD
∴AC=BD,
∴∠AOC =∠BOD
在Rt△CMO和Rt△DNO中，
∴CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO =∠DNO =90°.
又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD，
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.
∴CM= DN.
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证明：
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
∵AB=CD，
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·
A
B
C
O
例2 如图，在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
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随堂演练
1.下列四个图中的角，是圆心角的是(　　)
B
2.下列说法中，正确的是(　　)
A．弦等所对的弧相等
B．弧相等所对的弦相等
C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
C
AB=CD
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∠AOB＝∠COD
AB=CD,
(1)∵∠AOB＝∠COD，∴_________，________．
(2)∵AB＝CD，∴_______________，__________．
(3)∵AB＝CD，∴_______________，________．
3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
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AB=CD
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AB=CD
∠AOB＝∠COD
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC.
求证:AB＝CD.
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.
C
A
B
D
O
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∵AD=BC
证明：连接AO，BO，CO，DO
∴∠AOD＝∠BOC
∴∠AOD+∠BOD＝∠BOC+∠BOD
即∠AOB＝∠COD
∴AB＝CD
课堂小结
圆心角
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
弦、弧、圆心角的关系定理
前提条件：在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角