冀教版数学九年级上册同步课件：28.4 垂径定理 课件(共19张PPT)

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28.4 垂径定理
第二十八章 圆
情景导入
问题 赵州桥的半径是多少？
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
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知识点一：垂径定理
问题1 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
线段：AE=BE
弧：AD=BD，AC=BC
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理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AD和BD,AC与BC重合．
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·
O
A
B
C
E
D
证明:如图所示,连接OA,OB.
在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.
∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,
∴∠AOC=∠BOC.
如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC
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∴AD=BD.
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∴AC=BC.
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垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
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AC =BC,
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AD =BD.
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O
A
B
C
D
E
例题讲解
例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r.
∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ AE=BE.
∴AB=8，∴ AE=BE=4，
在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2，
OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42.
解得r=5，从而2r=10.
所以直径CD的长为10.
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知识点二：垂径定理的推论
如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.
【思考】
(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗
AD与BD(或AC与BC)相等吗 说明你的理由.
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(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗
AE与BE相等吗 说明你的理由.
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解:(1)CD⊥AB, AC=BC(或AD=BD).
理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,
∵AE=BE,∴CD⊥AB.
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由垂径定理可得 AC=BC，AD=BD.
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(2)CD⊥AB,AE=BE.
又∵OA=OB,∴AE=BE,CD⊥AB.
理由是：∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD,
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论1
几何语言：
·
O
A
B
C
D
E
你还有其他的结论吗？你发现了什么？
∵ CD是直径，AE=BE，
∴ CD⊥AB,
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AC =BC,
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AD =BD.
平分弦（不是直径）的所对的两对弧，则垂直平分这条弦.
垂径定理推论2
·
O
A
B
C
D
E
几何语言：
∴ CD⊥AB,
AE=BE,
∵ CD是直径，AC =BC，
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垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例题讲解
例2 解决求赵州桥拱半径的问题：
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m
解得R≈27.9.
O
D
A
B
C
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+(R－7.2)2
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
OA2=AD2+OD2
OD=OC－CD=R－7.2
AB=37.4 m，CD=7.2 m，
在图中
随堂演练
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是(　　)
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
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D
2.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___
4
3.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.
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证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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.
M
C
D
A
B
O
N
4. 如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，
CD的中点，且∠AMN＝∠CNM.
求证：AB＝CD.
证明：如图，连接OM，ON，OA，OC.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴AB＝2AM，CD＝2CN.
∴OM⊥AB， ON⊥CD.
∴∠OMA＝∠ONC＝90°.
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠OMN＝∠ONM.∴OM＝ON.
又∵OA＝OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.
∴AM＝CN.∴AB＝CD.
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:（“知二推三”）
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径;作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形