人教新课标A版高中数学必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 同步测试
一、单选题
1．过直线l外两点作与直线l平行的平面，可以作（ ）
A．1个 B．1个或无数个
C．0个或无数个 D．0个、1个或无数个
【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】当两点所在的直线与直线平行时，可以作无数个平面与平行；
当两点所确定直线与直线异面时，可以仅作一个平面与直线平行；
当两点所在的直线与直线相交时，则不能作与直线平行的平面．
故可以作无数个平面或0个或1个平面与与直线平行；
故选．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个
B．过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个
C．过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
D．过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
【分析】A错误；如图长方体中，
是平面ABCD外一点，平面
B错误；是直线AB外一点，
C错误；是直线AB外一点，
D正确；是平面ABCD的一条斜线，平面假设过做一个平面则这与是平面ABCD的一条斜线矛盾。
所以过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个。故选D
3．（2018高一上·深圳月考）垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故答案为:D
【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
4．设
，
是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l
，m
（）
A．若l
，则
B．若
，则l
m
C．若l//
，则
//
D．若
//
，则l//m
【答案】A
【知识点】直线的截距式方程；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故A正确；选项B中，当
时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l//
时，
，
可以相交；选项D中，
//
时，l，m也可以异面，故选A。
【分析】本题主要考查空间直线、平面的位置关系，解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假，本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力。
5．（人教新课标A版必修2数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习）在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．
6．已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误
若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；
若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确
故选D
【分析】根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；
由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，
根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，
根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．
7．（人教新课标A版必修2数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到A错
对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，
又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°
∴l1⊥l2得到B对
对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错
对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错
故选B
【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．
8．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若α∩β=m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β．
④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：
在①中：若m⊥α，m β，则由面面垂直的判定理定理得α⊥β，故①正确；
在②中：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n α，故②错误；
在③中，若α∩β=m，n∥m，且n α，n β，
则由线面平行判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．
④若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m β，故④错误．
故选：C．
【分析】在①中，由面面垂直的判定理定理得α⊥β；在②中，n∥α或n α；在③中，由线面平行判定定理得n∥α且n∥β；在④中，m与β相交、平行或m β。
9．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】如图过点M作.所以.又因为. . ..在三角形中. .故选D.
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：设正方体的边长为1连结：A1C1、C1D，
在△A1DC1中，
利用边长求得：△A1DC1为等边三角形
AC与A1D所在直线所成的角60°
故选：C
【分析】首先通过做平行线把异面直线知识转化为平面知识，进一步解三角形求出结果．
11．（2016高二上·合川期中）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；
对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；
对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m β，故不正确．
故选：C．
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
12．（2016高二上·鞍山期中）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB= AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选C．
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
13．设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：
①若α⊥β，a β，则a⊥α；
②若α∥β，a α，b β，则a⊥b可能成立；
③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．
其中，正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】由a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，得：
在①中，若α⊥β，α β，则a与α平行、相交或a α，故①错误；
在②中，若α∥β，a α，b β，
则a，b有可能异面垂直，故a⊥b可能成立，故②正确；
在③中，若a⊥l，b⊥l，则a⊥b有可能成立，
例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误．
故选：B．
【分析】在①中，a与α平行、相交或a α；在②中，a，b有可能异面垂直；在③中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到a⊥b有可能成立．
14．（人教A版高中数学必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定 同步练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：选项A，若α⊥β，m α，n β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m α，n β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m α，n β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
【分析】由α⊥β，m α，n β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m α，n β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m α，n β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
二、填空题
15．给出下列四个命题：
①三点确定一个平面；
②三条两两相交的直线确定一个平面；
③在空间上，与不共面四点A，B，C，D距离相等的平面恰有7个；
④两个相交平面把空间分成四个区域．
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）．
【答案】③④
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误；
对于②，不共点的三条两两相交的直线确定一个平面，∴②错误；
对于③，空间四点A、B、C、D不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：
当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个，
当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线公垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是3个，
所以满足条件的平面恰有7个，③正确；
对于④，两个相交平面把空间分成四个区域是真命题，∴④正确．
综上，正确的命题序号是③④．
故答案为：③④．
【分析】①根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误；
②根据三条两两相交的直线可能不共面，即可判断命题错误；
③根据空间四点不共面时，四点构成一个三棱锥，讨论平面一侧有一点，另一侧有三点时，和平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面数是多少即可；
④根据实际情况即可得出结论正确．
16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是
【答案】异面
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1
∴AB∥平面A1B1C1D1，
而A1C1与A1B1是相交直线，
∴AB与A1C1的位置关系是异面．
故答案为：异面．
【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A1C1的位置关系是异面．
17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有 条．
【答案】6
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：由图象知6条对角线：B1D1、BD、AB1、 C1D、 C1B、 D1A所在的直线与A1C所在的直线既不相交也不平行，即异面．
故答案为：6．
【分析】根据异面直线的定义，在12棱中，分别找到与A1C既不相交也不平行的棱即可.
18．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有
①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线．
【答案】①③④
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于①，GH和MN是平行直线，但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；
对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；
对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；
对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误；
综上，错误的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，对题目中的命题进行分析、判断即可．
19．如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为
【答案】45°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接EM、FM．
∵E为BC的中点，∴EM∥AB且EM=AB；
同理：FM∥CD且FM=CD，
∴∠FEM为异面直线AB、EF所成的角，
又∵AB⊥CD，AB=CD，∴FM=EM，FM⊥EM，
∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM=45°
故答案是45°．
【分析】先作出异面直线所成的角，再在三角形中求解．
三、解答题
20．如图，写出与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线
【答案】解：在正方体中没有与体的对角线平行的棱，
∴要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，
只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，
∴与AC1异面的棱有：BB1、A1D1、A1B1、BC、CD、DD1
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】根据异面直线的意义，需要找与体的对角线既不平行又不相交的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，写出结果．
21．若α∩β=l，A、B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α、β的交线．
【答案】解：∵若α∩β=l，A、B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长AB交l于D，
则D∈平面ABC，
∵C∈β，
∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图象如图．
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【分析】根据点，线，面之间的位置关系进行求解即可．
22．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC、DE、AF、BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明．
【答案】解：如图所示：
，
把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内
不经过该点的直线是异面直线可得，NC、DE、AF、BM这四条线段所在直线是异面直线的有：
AF和BM，AF和NC，AF和DE，BM和NC，BM和DE，NC和DE，共6对，
比如：BM和AF是异面直线，
证明如下：
∵F点在平面BCM中，A点在平面BCM外，
直线BM不经过F点，
由异面直线的定义，得到AF和BM是异面直线
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】先把正方体的展开图再还原成正方体，利用异面直线的判定定理找出NC、DE、AF、BM中的异面直线．
23．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．该三棱锥中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只写结果，不要求证明）．
【答案】解：因为PA⊥面ABC，所以三角形PAC，三角形PAB为直角三角形．
因为∠ABC=90°，所以三角形ABC为直径三角形．三角形PBC为直角三角形．
平面PAB⊥底面ABC，面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB．
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理分别判断．
24．如图空间四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点且AC=BD，AC⊥BD，试判断四边形EFGH的形状，并证明．
【答案】证明：四边形EFGH为正方形．下面给出证明：
∵E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，
∴，，
∴．
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可证：．
∵AC=BD，BD⊥AC，
∴EF=EG，EF⊥EG．
∴平行四边形EFGH是正方形．
【知识点】平行公理
【解析】【分析】由于E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，利用三角形的中位线定理可证明：四边形EFGH是平行四边形．
由AC=BD，BD⊥AC，可证明：EF=EG，EF⊥EG．因此四边形EFGH是正方形．
1 / 1人教新课标A版高中数学必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 同步测试
一、单选题
1．过直线l外两点作与直线l平行的平面，可以作（ ）
A．1个 B．1个或无数个
C．0个或无数个 D．0个、1个或无数个
2．下列命题中正确的是（ ）
A．过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个
B．过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个
C．过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
D．过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
3．（2018高一上·深圳月考）垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
4．设
，
是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l
，m
（）
A．若l
，则
B．若
，则l
m
C．若l//
，则
//
D．若
//
，则l//m
5．（人教新课标A版必修2数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习）在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
6．已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
7．（人教新课标A版必修2数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
8．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若α∩β=m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β．
④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．（2016高二上·合川期中）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
12．（2016高二上·鞍山期中）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：
①若α⊥β，a β，则a⊥α；
②若α∥β，a α，b β，则a⊥b可能成立；
③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．
其中，正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（人教A版高中数学必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定 同步练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
二、填空题
15．给出下列四个命题：
①三点确定一个平面；
②三条两两相交的直线确定一个平面；
③在空间上，与不共面四点A，B，C，D距离相等的平面恰有7个；
④两个相交平面把空间分成四个区域．
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）．
16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是
17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有 条．
18．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有
①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线．
19．如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为
三、解答题
20．如图，写出与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线
21．若α∩β=l，A、B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α、β的交线．
22．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC、DE、AF、BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明．
23．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．该三棱锥中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只写结果，不要求证明）．
24．如图空间四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点且AC=BD，AC⊥BD，试判断四边形EFGH的形状，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】当两点所在的直线与直线平行时，可以作无数个平面与平行；
当两点所确定直线与直线异面时，可以仅作一个平面与直线平行；
当两点所在的直线与直线相交时，则不能作与直线平行的平面．
故可以作无数个平面或0个或1个平面与与直线平行；
故选．
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
【分析】A错误；如图长方体中，
是平面ABCD外一点，平面
B错误；是直线AB外一点，
C错误；是直线AB外一点，
D正确；是平面ABCD的一条斜线，平面假设过做一个平面则这与是平面ABCD的一条斜线矛盾。
所以过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个。故选D
3．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故答案为:D
【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
4．【答案】A
【知识点】直线的截距式方程；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故A正确；选项B中，当
时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l//
时，
，
可以相交；选项D中，
//
时，l，m也可以异面，故选A。
【分析】本题主要考查空间直线、平面的位置关系，解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假，本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力。
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．
6．【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误
若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；
若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确
故选D
【分析】根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；
由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，
根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，
根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．
7．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到A错
对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，
又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°
∴l1⊥l2得到B对
对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错
对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错
故选B
【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．
8．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：
在①中：若m⊥α，m β，则由面面垂直的判定理定理得α⊥β，故①正确；
在②中：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n α，故②错误；
在③中，若α∩β=m，n∥m，且n α，n β，
则由线面平行判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．
④若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m β，故④错误．
故选：C．
【分析】在①中，由面面垂直的判定理定理得α⊥β；在②中，n∥α或n α；在③中，由线面平行判定定理得n∥α且n∥β；在④中，m与β相交、平行或m β。
9．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理的应用
【解析】【解答】如图过点M作.所以.又因为. . ..在三角形中. .故选D.
10．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：设正方体的边长为1连结：A1C1、C1D，
在△A1DC1中，
利用边长求得：△A1DC1为等边三角形
AC与A1D所在直线所成的角60°
故选：C
【分析】首先通过做平行线把异面直线知识转化为平面知识，进一步解三角形求出结果．
11．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；
对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；
对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m β，故不正确．
故选：C．
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
12．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB= AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选C．
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
13．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】由a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，得：
在①中，若α⊥β，α β，则a与α平行、相交或a α，故①错误；
在②中，若α∥β，a α，b β，
则a，b有可能异面垂直，故a⊥b可能成立，故②正确；
在③中，若a⊥l，b⊥l，则a⊥b有可能成立，
例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误．
故选：B．
【分析】在①中，a与α平行、相交或a α；在②中，a，b有可能异面垂直；在③中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到a⊥b有可能成立．
14．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：选项A，若α⊥β，m α，n β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m α，n β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m α，n β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
【分析】由α⊥β，m α，n β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m α，n β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m α，n β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
15．【答案】③④
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误；
对于②，不共点的三条两两相交的直线确定一个平面，∴②错误；
对于③，空间四点A、B、C、D不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：
当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个，
当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线公垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是3个，
所以满足条件的平面恰有7个，③正确；
对于④，两个相交平面把空间分成四个区域是真命题，∴④正确．
综上，正确的命题序号是③④．
故答案为：③④．
【分析】①根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误；
②根据三条两两相交的直线可能不共面，即可判断命题错误；
③根据空间四点不共面时，四点构成一个三棱锥，讨论平面一侧有一点，另一侧有三点时，和平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面数是多少即可；
④根据实际情况即可得出结论正确．
16．【答案】异面
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1
∴AB∥平面A1B1C1D1，
而A1C1与A1B1是相交直线，
∴AB与A1C1的位置关系是异面．
故答案为：异面．
【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A1C1的位置关系是异面．
17．【答案】6
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：由图象知6条对角线：B1D1、BD、AB1、 C1D、 C1B、 D1A所在的直线与A1C所在的直线既不相交也不平行，即异面．
故答案为：6．
【分析】根据异面直线的定义，在12棱中，分别找到与A1C既不相交也不平行的棱即可.
18．【答案】①③④
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：对于①，GH和MN是平行直线，但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；
对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；
对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；
对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误；
综上，错误的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】根据空间中两条直线的位置关系，对题目中的命题进行分析、判断即可．
19．【答案】45°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接EM、FM．
∵E为BC的中点，∴EM∥AB且EM=AB；
同理：FM∥CD且FM=CD，
∴∠FEM为异面直线AB、EF所成的角，
又∵AB⊥CD，AB=CD，∴FM=EM，FM⊥EM，
∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM=45°
故答案是45°．
【分析】先作出异面直线所成的角，再在三角形中求解．
20．【答案】解：在正方体中没有与体的对角线平行的棱，
∴要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，
只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，
∴与AC1异面的棱有：BB1、A1D1、A1B1、BC、CD、DD1
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】根据异面直线的意义，需要找与体的对角线既不平行又不相交的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，写出结果．
21．【答案】解：∵若α∩β=l，A、B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长AB交l于D，
则D∈平面ABC，
∵C∈β，
∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图象如图．
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【分析】根据点，线，面之间的位置关系进行求解即可．
22．【答案】解：如图所示：
，
把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内
不经过该点的直线是异面直线可得，NC、DE、AF、BM这四条线段所在直线是异面直线的有：
AF和BM，AF和NC，AF和DE，BM和NC，BM和DE，NC和DE，共6对，
比如：BM和AF是异面直线，
证明如下：
∵F点在平面BCM中，A点在平面BCM外，
直线BM不经过F点，
由异面直线的定义，得到AF和BM是异面直线
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】先把正方体的展开图再还原成正方体，利用异面直线的判定定理找出NC、DE、AF、BM中的异面直线．
23．【答案】解：因为PA⊥面ABC，所以三角形PAC，三角形PAB为直角三角形．
因为∠ABC=90°，所以三角形ABC为直径三角形．三角形PBC为直角三角形．
平面PAB⊥底面ABC，面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB．
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理分别判断．
24．【答案】证明：四边形EFGH为正方形．下面给出证明：
∵E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，
∴，，
∴．
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可证：．
∵AC=BD，BD⊥AC，
∴EF=EG，EF⊥EG．
∴平行四边形EFGH是正方形．
【知识点】平行公理
【解析】【分析】由于E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，利用三角形的中位线定理可证明：四边形EFGH是平行四边形．
由AC=BD，BD⊥AC，可证明：EF=EG，EF⊥EG．因此四边形EFGH是正方形．
1 / 1
