人教新课标高中数学必修5 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 同步测试

人教新课标高中数学必修5 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 同步测试
一、单选题
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x y z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a b c，在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】由x
y
z，a
b
c，所以ax+by+cz-（az+by+cx）=a（x-z）+c（z-x）=（x-z）（a-c）
0，故ax+by+cz
az+by+cx；
同理，ay+bz+cx-（ay+bx+cz）=b（z-x）+c（x-z）=（x-z）（c-b）
0，故ay+bz+cx
ay+bx+cz
因为az+by+cx-（ay+bz+cx）=a（z-y）+b（y-z）=（a-b）（z-y）
0，故az+by+cx
ay+bz+cx，故最低费用为az+by+cx，故选B。
【分析】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小。解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值。本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力。
2．（2017高二下·武汉期中）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞ D．＜
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴＜．
故选：D．
【分析】利用不等式的性质即可得出．
3．设，则下列不等式中不能成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】由已知条件，取，可选项B结果不成立.
【点评】此题利用特殊值代入可较快选出答案.
4．（2015高一上·腾冲期末）若，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】取特殊值代入验证较简单：如，代入后可得A，B，C均正确，D项不正确
【分析】本题可用不等式性质推理检验，但较之特殊值的方法显得繁琐，特殊值的方法在求解某些选择填空时比较好用
5．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】解答：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣ ，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．
a2=1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B．
分析：用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．
6．已知实数满足，且，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】因为c0，因为b>c，所以ab>ac，故应选D.
【点评】本小题用到了不等式的性质：若a>b，c>0则ac>bc；若a>b，c<0，则ac7．（2019高二上·咸阳月考）a∈R，且a2＋a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(　　)
A．＞－＞－a B．－a＞＞－
C．－＞＞－a D．＞－a＞－
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】因为a2+a＜0，即a（a+1）＜0，所以-1＜a＜0，根据不等式的性质可知－a＞a2＞－a3，故选B.
【分析】 由已知中a2+a＜0，解不等式可能求出参数a的范围，进而根据实数的性质确定出a3，a2，-a，-的大小关系．
8．设，则下列不等式中恒成立的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】由 ， 又， 故选A
9．若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】因为，所以，，又，所以， ，故选D.
10．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】解答：A、如果a＜0，b＞0，那么 ，∴ ，故A正确；
B、取a=﹣2，b=1，可得 ＞ ，故B错误；
C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；
D、取a=﹣ ，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；
故选A．
分析：根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．
11．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（　　）
A． B．
C．|a|＞﹣b D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】解答：∵a＜b＜0，
∴ ，A正确，
﹣a＞﹣b＞0， ，B正确，
|a|＞|b|=﹣b，C正确；
，故D不正确．
故选D．
分析：利用不等式的基本性质可逐个判断.
12．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．﹣＜﹣ B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．|a|＜|b|
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，ab＞0，
∴，即﹣＜﹣ ．
故选：A．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
13．（2016高二上·船营期中）若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（　　）
A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b
C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变．
当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．
故选C．
【分析】这考查有关不等式的四则运算的知识，主要是不要忽略了a等于零的情况．
14．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．a2＞b2
C．a（c2+1）＞b（c2+1） D．a|c|＞b|c|
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：当ab＞0时，∵a＞b，∴，但A选项中没有ab＞0的条件，如果a＞0，b＜0，则a＞b时，，∴A选项不正确；
当a＞0，b＞0时，∵a＞b，∴a2＞b2，但B选项中没有a＞0，b＞0的条件，如果a=3，b=﹣5，则a＞b，∴a2=32=9，b2=（﹣5）2=25，即a2＜b2，所以B选项也不正确；
在C选项中，∵c2+1＞0，a＞b，∴a（c2+1）＞b（c2+1），即C选项为正确选项；
在D选项中，∵|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，∴D选项也不正确．
故选C．
【分析】题中给了一个条件a＞b，四个选项就是在考四条不等式的基本性质．逐个选项应用性质进行简单证明，即可得出正确答案．
15．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（　　）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】∵a＞b＞0，
∴ab＞b2，a2＞ab，因此A，C，D正确，而B不正确．
故选：B．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
二、填空题
16．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为　 　
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，
∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，
又∵糖水会更甜，
∴
故答案为：
【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．
17．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）已知﹣1＜a，b，c＜1，比较ab+bc+ca与﹣1的大小关系为　 　．（填“＜”或“=”或“＞”）．
【答案】＞
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，
由函数的性质可得：f（x）是单调函数，
因为f（1）=（1+b）（1+c）＞0，f（﹣1）=（﹣1+b）（﹣1+c）=（1﹣b）（1﹣c）＞0，
所以﹣1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，
所以f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，即ab+bc+ca＞﹣1．
故答案为：＞．
【分析】根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，并且f（x）是单调函数，结合条件可得f（1）＞0，f（﹣1）＞0，进而得到﹣1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，则有f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，进而得到答案．
18．已知实数a＞b，当a、b满足　 　 条件时，不等式＜成立．
【答案】ab＞0
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解 ： 当ab＞0时，∵a＞b，
∴
当ab＜0时，∵a＞b，
∴
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0．
【分析】分ab＞0，和ab＜0，讨论并根据不等式的性质化简即可．
19．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是　 　 ．（填序号，只有一个正确选项）
【答案】③
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：关于①，a+b＞1，可取，，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于②，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于④，a2+b2＞2，可取a=﹣2，b=﹣2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于⑤，ab＞1，可取a=﹣2，b=﹣2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．
关于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．
证明如下：假设a≤1且b≤1，
则a+b≤2．
与已知条件“a+b＞2”矛盾，
故假设不成立．
即有a，b中至少有一个大于1，故③正确．
故选③．
【分析】本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2．”，由些推理可得到正确结论．
20．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2；②；③a3＞b3；④a2+b2＞2ab，恒成立的不等式的个数是　 　
【答案】2
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：①取a=﹣1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
②取a=2，b=﹣1，则
；
③根据函数y=x3在R单调递增，a＞b，∴a3＞b3成立；
④∵a＞b，ab≠0，∴a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．
综上可得：恒成立的不等式有两个．
故答案为：2．
【分析】①取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出正误；
②取a=2，b=﹣1，可判断出正误；
③利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；
作差a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，即可判断出正误．
三、解答题
21．表示下列不等关系
（1）a是正数
（2）a+b是非负数
（3）a小于3，但不小于﹣1
（4）a与b的差的绝对值不大于5．
【答案】解：（1）a是正数，用不等式表示为：a＞0；
（2）a+b是非负数，用不等式表示为：a+b≥0；
（3）a小于3，但不小于﹣1，用不等式表示为：﹣1≤a＜3；
（4）a与b的差的绝对值不大于5，用不等式表示为：|a﹣b|≤5．
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】根据各个描述，正确理解正数、非负数、不小于、不大于等术语的含义，用不等式表示出不等关系即可．
22．已知a，b∈R，x=a3﹣b，y=a2b﹣a，试比较x与y的大小．
【答案】解：∵x﹣y=（a3﹣b）﹣（a2b﹣a）=a2（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a2+1），
当a＞b时，有a﹣b＞0，
∴x﹣y＞0，即x＞y；
当a＜b时，有a﹣b＜0，
∴x﹣y＜0，即x＜y；
当a=b时，有a﹣b=0，
∴x﹣y=0，即x=y；
综上：a＞b时，x＞y；a＜b时，x＜y；a=b时，x=y．
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】作差比较x与y的大小，步骤是一作差，二因式分解，三判断正负，四下结论．
23．（1）当x＞1时，比较x3与x2﹣x+1的大小
（2）已知：a＜b，．判定a，b的符号．
【答案】解：（1）x3﹣（x2﹣x+1）=x3﹣x2+x﹣1=（x﹣1）（x2+1），
又∵x＞1，故（x﹣1）（x2+1）＞0，
∴x3＞x2﹣x+1．
（2）
，
又∵a＜b．即得a＜0＜b．
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）“作差”因式分解即可判断出；
（2）“作差”利用不等式的性质即可判断出．
24．（2016高一上·浦东期中）比较 与（ ）2的大小．
【答案】解： ﹣（ ）2= ﹣ （a2+b2+2ab）= （a2+b2﹣2ab）= （a﹣b）2≥0，
∴ ≥（ ）2
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】利用作差法判断两个多项式的大小即可．
25．（2016高二上·嘉兴期中）已知a，b是正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小．
【答案】解：作差比较（a3+b3）﹣﹣﹣﹣（a2b+ab2）
=（a3﹣a2b）+（b3﹣ab2）=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）
=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）…（4分）
因为a≠b，a＞0，b＞0
所以（a﹣b）2（a+b）＞0
所以a3+b3＞a2b+ab2
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】利用作差法，分析判断即可．
1 / 1人教新课标高中数学必修5 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 同步测试
一、单选题
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x y z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a b c，在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
2．（2017高二下·武汉期中）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞ D．＜
3．设，则下列不等式中不能成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2015高一上·腾冲期末）若，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
6．已知实数满足，且，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·咸阳月考）a∈R，且a2＋a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(　　)
A．＞－＞－a B．－a＞＞－
C．－＞＞－a D．＞－a＞－
8．设，则下列不等式中恒成立的是 (　　)
A． B． C． D．
9．若，且，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
11．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（　　）
A． B．
C．|a|＞﹣b D．
12．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．﹣＜﹣ B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．|a|＜|b|
13．（2016高二上·船营期中）若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（　　）
A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b
C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y
14．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．a2＞b2
C．a（c2+1）＞b（c2+1） D．a|c|＞b|c|
15．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（　　）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
二、填空题
16．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为　 　
17．（人教新课标A版必修5数学3.1 不等关系与不等式同步检测）已知﹣1＜a，b，c＜1，比较ab+bc+ca与﹣1的大小关系为　 　．（填“＜”或“=”或“＞”）．
18．已知实数a＞b，当a、b满足　 　 条件时，不等式＜成立．
19．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是　 　 ．（填序号，只有一个正确选项）
20．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2；②；③a3＞b3；④a2+b2＞2ab，恒成立的不等式的个数是　 　
三、解答题
21．表示下列不等关系
（1）a是正数
（2）a+b是非负数
（3）a小于3，但不小于﹣1
（4）a与b的差的绝对值不大于5．
22．已知a，b∈R，x=a3﹣b，y=a2b﹣a，试比较x与y的大小．
23．（1）当x＞1时，比较x3与x2﹣x+1的大小
（2）已知：a＜b，．判定a，b的符号．
24．（2016高一上·浦东期中）比较 与（ ）2的大小．
25．（2016高二上·嘉兴期中）已知a，b是正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】由x
y
z，a
b
c，所以ax+by+cz-（az+by+cx）=a（x-z）+c（z-x）=（x-z）（a-c）
0，故ax+by+cz
az+by+cx；
同理，ay+bz+cx-（ay+bx+cz）=b（z-x）+c（x-z）=（x-z）（c-b）
0，故ay+bz+cx
ay+bx+cz
因为az+by+cx-（ay+bz+cx）=a（z-y）+b（y-z）=（a-b）（z-y）
0，故az+by+cx
ay+bz+cx，故最低费用为az+by+cx，故选B。
【分析】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小。解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值。本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力。
2．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴＜．
故选：D．
【分析】利用不等式的性质即可得出．
3．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】由已知条件，取，可选项B结果不成立.
【点评】此题利用特殊值代入可较快选出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】取特殊值代入验证较简单：如，代入后可得A，B，C均正确，D项不正确
【分析】本题可用不等式性质推理检验，但较之特殊值的方法显得繁琐，特殊值的方法在求解某些选择填空时比较好用
5．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】解答：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣ ，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．
a2=1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B．
分析：用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．
6．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】因为c0，因为b>c，所以ab>ac，故应选D.
【点评】本小题用到了不等式的性质：若a>b，c>0则ac>bc；若a>b，c<0，则ac7．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】因为a2+a＜0，即a（a+1）＜0，所以-1＜a＜0，根据不等式的性质可知－a＞a2＞－a3，故选B.
【分析】 由已知中a2+a＜0，解不等式可能求出参数a的范围，进而根据实数的性质确定出a3，a2，-a，-的大小关系．
8．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】由 ， 又， 故选A
9．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】因为，所以，，又，所以， ，故选D.
10．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】解答：A、如果a＜0，b＞0，那么 ，∴ ，故A正确；
B、取a=﹣2，b=1，可得 ＞ ，故B错误；
C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；
D、取a=﹣ ，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；
故选A．
分析：根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．
11．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】解答：∵a＜b＜0，
∴ ，A正确，
﹣a＞﹣b＞0， ，B正确，
|a|＞|b|=﹣b，C正确；
，故D不正确．
故选D．
分析：利用不等式的基本性质可逐个判断.
12．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，ab＞0，
∴，即﹣＜﹣ ．
故选：A．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
13．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变．
当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y．
故选C．
【分析】这考查有关不等式的四则运算的知识，主要是不要忽略了a等于零的情况．
14．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：当ab＞0时，∵a＞b，∴，但A选项中没有ab＞0的条件，如果a＞0，b＜0，则a＞b时，，∴A选项不正确；
当a＞0，b＞0时，∵a＞b，∴a2＞b2，但B选项中没有a＞0，b＞0的条件，如果a=3，b=﹣5，则a＞b，∴a2=32=9，b2=（﹣5）2=25，即a2＜b2，所以B选项也不正确；
在C选项中，∵c2+1＞0，a＞b，∴a（c2+1）＞b（c2+1），即C选项为正确选项；
在D选项中，∵|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，∴D选项也不正确．
故选C．
【分析】题中给了一个条件a＞b，四个选项就是在考四条不等式的基本性质．逐个选项应用性质进行简单证明，即可得出正确答案．
15．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】∵a＞b＞0，
∴ab＞b2，a2＞ab，因此A，C，D正确，而B不正确．
故选：B．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
16．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，
∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，
又∵糖水会更甜，
∴
故答案为：
【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．
17．【答案】＞
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，
由函数的性质可得：f（x）是单调函数，
因为f（1）=（1+b）（1+c）＞0，f（﹣1）=（﹣1+b）（﹣1+c）=（1﹣b）（1﹣c）＞0，
所以﹣1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，
所以f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，即ab+bc+ca＞﹣1．
故答案为：＞．
【分析】根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，并且f（x）是单调函数，结合条件可得f（1）＞0，f（﹣1）＞0，进而得到﹣1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，则有f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，进而得到答案．
18．【答案】ab＞0
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解 ： 当ab＞0时，∵a＞b，
∴
当ab＜0时，∵a＞b，
∴
综上所述，当a、b满足ab＞0时，不等式＜成立．
故答案为：ab＞0．
【分析】分ab＞0，和ab＜0，讨论并根据不等式的性质化简即可．
19．【答案】③
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：关于①，a+b＞1，可取，，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于②，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于④，a2+b2＞2，可取a=﹣2，b=﹣2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于⑤，ab＞1，可取a=﹣2，b=﹣2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．
关于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．
证明如下：假设a≤1且b≤1，
则a+b≤2．
与已知条件“a+b＞2”矛盾，
故假设不成立．
即有a，b中至少有一个大于1，故③正确．
故选③．
【分析】本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2．”，由些推理可得到正确结论．
20．【答案】2
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：①取a=﹣1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；
②取a=2，b=﹣1，则
；
③根据函数y=x3在R单调递增，a＞b，∴a3＞b3成立；
④∵a＞b，ab≠0，∴a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．
综上可得：恒成立的不等式有两个．
故答案为：2．
【分析】①取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出正误；
②取a=2，b=﹣1，可判断出正误；
③利用函数y=x3在R单调递增，即可判断出正误；
作差a2+b2﹣2ab（a﹣b）2＞0，即可判断出正误．
21．【答案】解：（1）a是正数，用不等式表示为：a＞0；
（2）a+b是非负数，用不等式表示为：a+b≥0；
（3）a小于3，但不小于﹣1，用不等式表示为：﹣1≤a＜3；
（4）a与b的差的绝对值不大于5，用不等式表示为：|a﹣b|≤5．
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】根据各个描述，正确理解正数、非负数、不小于、不大于等术语的含义，用不等式表示出不等关系即可．
22．【答案】解：∵x﹣y=（a3﹣b）﹣（a2b﹣a）=a2（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a2+1），
当a＞b时，有a﹣b＞0，
∴x﹣y＞0，即x＞y；
当a＜b时，有a﹣b＜0，
∴x﹣y＜0，即x＜y；
当a=b时，有a﹣b=0，
∴x﹣y=0，即x=y；
综上：a＞b时，x＞y；a＜b时，x＜y；a=b时，x=y．
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】作差比较x与y的大小，步骤是一作差，二因式分解，三判断正负，四下结论．
23．【答案】解：（1）x3﹣（x2﹣x+1）=x3﹣x2+x﹣1=（x﹣1）（x2+1），
又∵x＞1，故（x﹣1）（x2+1）＞0，
∴x3＞x2﹣x+1．
（2）
，
又∵a＜b．即得a＜0＜b．
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）“作差”因式分解即可判断出；
（2）“作差”利用不等式的性质即可判断出．
24．【答案】解： ﹣（ ）2= ﹣ （a2+b2+2ab）= （a2+b2﹣2ab）= （a﹣b）2≥0，
∴ ≥（ ）2
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】利用作差法判断两个多项式的大小即可．
25．【答案】解：作差比较（a3+b3）﹣﹣﹣﹣（a2b+ab2）
=（a3﹣a2b）+（b3﹣ab2）=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）
=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）…（4分）
因为a≠b，a＞0，b＞0
所以（a﹣b）2（a+b）＞0
所以a3+b3＞a2b+ab2
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】利用作差法，分析判断即可．
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